基于火焰面生成流形方法介紹
湍流燃燒在自然界和工程領域隨處可見，湍流燃燒的準確模擬有助于燃燒物理本質的闡釋和實現工程應用的高效率和低成本。
燃燒是個復雜的物理、化學過程，從化學方面講，涉及到眾多組分與基元反應，從而構成一個維度很大的狀態空間，求解這個狀態空間的時間和空間分布對計算資源是個嚴峻挑戰，而且眾多組分的求解通常會涉及到大型剛性微分方程組，求解困難。因而需要簡化模型來降低狀態空間的維數與方程組的剛性。
FGM（Flamelet Generated Manifolds）模型是基于化學反應機理簡化和火焰面方法兩者的結合。其認為實際燃燒中的高維火焰可以視為一系列低維小火焰的系綜，即實際的高維火焰燃燒過程在燃燒化學反應組分空間中的反應流形路徑同低維小火焰中類似。FGM方法既可用于預混火焰面，也可用于非預混火焰面，還可利用零維預混氣的點火過程來構造簡化狀態空間。
在FGM方法中，通過計算低維火焰面中生成的反應流形來模擬高維化學反應系統中的反應流形。對于燃燒反應中的低溫段和高溫段區域，該模型均使用火焰面方程求解，替代了高溫區域的低維反應流形求解，可以減少化學反應建表所需的計算量。
其中，ρ為密度，v是流動速度。
其中，p表示壓力，τ粘性應力張量。
其中，λ為導熱系數，劉易斯數：
cp為定壓比熱，Di是第i種組分的擴散系數。化學反應源項由生成項ω+和消耗項ω-構成。
壓力p由理想氣體狀態方程給定：
其中，R為通用氣體常數，T是溫度。
其中，Mi ，cp,i，hi和hi0分別表示第i種組分的摩爾質量，定壓比熱，比焓和生成焓。
上述方程涉及大量組分，通過化學反應源項強烈耦合，導致方程組剛性很強。需要通過簡化化學反應機理來解決這個問題。為此假定在反應中的大多數次要組分處于穩定狀態，這意味著這些組分的質量分數方程可以忽略化學反應源項的影響，即：
M表示認為是穩態的組分數量。
此方程的解形成了一個流形，可存儲在具有N-M維度的數據表中。
根據穩態組分假設，上述方程組的剛性大大降低。
然而，在火焰中有一個重要區域，其化學反應效應和擴散效應是平衡的，需要考慮輸運過程的影響來得到更精確的描述。
由于一維火焰中同樣存在擴散和對流過程，對其中的化學反應和擴散、對流過程進行組合研究可以引申到更復雜的火焰情況。
圖1 預混火焰的示意圖，曲線x(s)穿過火焰鋒面
如圖1所示的預混火焰的一部分，假定一條通過火焰面的曲線x(s)，垂直于某組分的質量分數Yi等值面，并將弧長s進行參數化。沿著該曲線的組分質量分數Yi的變化情況可以近似地通過公式03的一維等價形式來描述。
其中，m表示恒定質量流量。
由于x(s)曲線垂直于組分質量分數Yi的等值面，因此一維火焰中的擴散和輸運過程可以通過方程08的左邊進行表述。火焰拉伸造成的例如質量流量和曲率變化等多維和瞬態效應則在擾動項Pi(s,t)中體現。
在大多數情況下，擾動項Pi和其他項相比很小，因此接下來需要忽略擾動項的影響，建立一組一維微分方程。
在考慮對流、擴散和化學反應影響下得到的平衡方程09可以認為是穩態的關系。
用同樣的方法對能量方程進行處理，最終得到的一組微分方程組，被稱為火焰面方程。
如何用火焰面方程組來創建流形？
和ILDM方法類似，區分在反應中守恒的變量（元素的質量分數等）和反應控制的變量（組分的質量分數等）。可以注意到，燃燒混合物的化學成分由守恒變量決定，而從未燃燒到燃燒的過程則由反應控制變量描述，因此也將反應控制變量稱為過程變量。
首先，考慮恒定壓力p、焓值h和元素質量分數Zj（守恒變量）的情況。選用第i種組分的質量分數Yi作為過程變量來構造用于預混火焰的流形，將方程組09視為自由傳播的預混火焰進行求解。這意味著未燃側的邊界條件是Dirichlet型。
燃燒側的邊界條件則是Neumann型
質量流量m是系統的特征值，通過求解方程09得到的曲線Yi(s)由其起始條件(Yu,i, hu,i)確定。
構成空間中的一維流形即表示始于未燃混合物處的火焰面模型。通過這種方式，一維流形連接了構成空間中兩個最重要的點：未燃混合物點和反應平衡點。通過增加過程變量的數量，可以提高FGM方法的準確性，尤其當和火焰面方程中其他項相比擾動項Pi不能忽略時。
到目前為止，只考慮了守恒變量p，h和Zj為常數的情況。但這些量中的一個或多個會在空間或時間上發生變化。
例如，在燃燒器中穩定燃燒火焰中，由于輻射可能導致焓降低。為了解釋這些焓變化，可以將焓h作為附加控制參數擴展FGM流形維度。針對不同初始焓值hu的火焰面方程09，對d維流形而言，可以獲得由d個過程變量和焓h參數化后構成的（d + 1）維流形。類似地可以處理其它守恒變量，得到（d + nc）維流形，其中nc是附加過程控制的數量。附加控制變量nc最大值為ne + 1， ne為元素的數量。對于大多數應用情況而言，只需少量的附加過程變量。
在本文的其余部分將討論FGM在層流預混燃燒器穩定火焰中的應用。由于在這些火焰中守恒變量僅有焓h發生擾動，因此將采用具有兩個控制變量的流形：一個過程變量和焓（d = 1，nc = 1）。
在反應流動代碼中實現FGM模型分為兩個部分：首先是火焰面結構數據的計算和儲存，隨后則是FGM模型與多維燃燒計算的耦合。
為了證明FGM方法的性能，采用通過兩個控制變量（YO2和h）的生成流形對燃燒器穩定一維火焰進行計算，并將結果與文獻[2]中根據完整反應動力學機理獲得的結果進行比較。
燃燒器出口位置位于x=0cm處，在x<0cm的燃燒器區域保持Tburner=300K的恒定溫度，計算質量流量m從0.005g/cm2s到0.040g/cm2s之間的穩態解。當量混合比下甲烷/空氣火焰的絕熱質量燃燒速率為m=0.0421g/cm2s，其對應的層流火焰速度為SL=37.5cm/s。
m=0.030g/cm2s時，控制變量YO2和h的變化曲線如圖2所示。可以看出FGM模型計算結果和詳細化學機理計算得到的結果一致性良好。由于Le數效應引起的大梯度火焰鋒面和焓降一起被很好的展現出來。
圖2 m = 0.030g / cm2s時YO 2與h隨x變化曲線
CH2O和H的質量分數隨x變化情況如圖3所示。
對于這兩種IDLM方法很難精確計算的組分而言，FGM模型計算得到的結果同樣和詳細化學反應機理計算結果吻合的很好。
圖3 m = 0.030g / cm2s時YCH2O與YH隨x變化曲線
圖4展示了非絕熱燃燒溫度和間隙距離與質量流量之間的關系，可以看出在不同質量流量下，FGM模型在非絕熱燃燒溫度上同詳細機理計算結果一致性良好。對于間隙距離，在較低質量流量下兩者之間略有差距，但是一致性仍然較好。
圖4 不同入口流量下 Tb’與δ變化曲線
接下來通過計算二維燃燒器中穩定的層流預混火焰來驗證FGM模型的精確性。在這個測試案例中，幾乎所有在層流預混火焰中發現的特征——如火焰冷卻、拉伸和彎曲，都存在。
二維燃燒器的結構如圖5所示，燃燒器槽寬6mm，盒寬為24mm。燃燒器和盒子壁面溫度維持恒定，Tburner=300K。燃燒器入口處速度分布為拋物線形，最大速度Vmax=1m/s。工質為當量比為0.9的甲烷/空氣混合物。
圖5 二維燃燒器結構
FGM模型和詳細化學反應機理計算得到的溫度、CH2O和H的質量分數等值線在部分計算域上的分布如圖6所示。可以看出，用FGM模型計算得到的結果和用詳細化學反應機理計算得到的結果非常一致。FGM模型不僅能準確捕捉火焰鋒面的位置，對組分質量分數的結果同樣準確。此外，FGM模型很好地捕捉到了控制燃燒器火焰穩定燃燒的火焰冷卻現象。
圖6 (a)溫度 (b)YCH2O (c)YH 等值線
除了準確性之外，高效率是FGM方法的另一個優點。為了給出FGM模型的具體效率提升情況，對FGM模型和詳細化學反應機理模型，在相同條件下對1D火焰模擬進行求解，得到計算時間情況如表1所示。
表1 FMG方法和詳細化學反應機理計算時間消耗
可以看出，采用FGM模型時，每時間步的CPU計算時間減少約8倍。這種時間上的減少是由要求解的微分方程的數量的減少和化學源項快速評估引起的。FGM模型的另一個優點是可以采用更大的時間步長，因為已經消除了最小的時間尺度的影響。因此，FMG模型的總CPU計算時間比詳細化學反應機理模型約少20倍。如果將顯式求解器用于FGM模型計算，效率將會提高的更多。
FGM模型能夠簡化化學反應機理，減少運算資源需求和運算時間消耗，同時計算結果同詳細化學反應機理一致性良好，具有應用于燃燒仿真領域的良好前景。
【參考文獻】
[1] Oijen J A V, Goey L P H D. Modelling of Premixed LaminarFlames using Flamelet-Generated Manifolds[J]. Combustion Science &Technology, 2000, 161(1):113-137.
[2] Smooke M D. Reduced Kinetic Mechanisms and AsymptoticApproximations for Methane-Air Flames[M]. Springer Berlin Heidelberg, 1991.
來源：多相流在線
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