動力學的世界里，無所謂色彩味道，只在乎系統所包含的自由度-或者說維度，一定的維度對應一定的現象。

維度是動力學系統的最基本屬性 。它決定系統的復雜性，及其可能具有的基本性質。 還有，我們有多大把握預測系統的未來。高維空間的屬性絕非只有愛因斯坦在乎，而是與你我息息相關。

一維的世界里我們看到的是反饋和定點-或者說靜態平衡的法則，二維的世界我們看到振動這一自然永恒主題的出現，這是大自然的動態平衡。二維系統可以穩定存在的運動狀態有兩個，一個是定點，一個是振動。這兩種狀態卻不是一乘不變而是經常可以轉變，有的是從一個定點到另一個定點的轉化，也有的是定點和振動之間的轉化。這就涉及一個非線性動力學永恒的主題-Bifurcation（分叉）。

Bifurcation與相變

我們用Bifurcation研究一個動力學系統的演變。動力學系統由狀態變量（系統可以自由變化的量）和控制變量（參數）組成。在初步討論一個動力學系統性質的時候，我們先假設參數不變，因此可以得到系統動力學在相平面的拓撲圖，然后求定點和軌道。在二維的情況下，參數給定，動力學流型得出，則一切皆可精確預測。

真實的世界里從來沒有一成不變的參數，真正不變的只有變化，而有的時候參數和變量甚至難以區分彼此。因此，非線性動力學給出的對世界的最精密的描述，不是確定參數下的流型，而是在參數空間里對應的不同相平面流型。簡單的講，動力學不僅感興趣我們現在所在的那個世界，而是所有可能的世界（每個參數就是一個世界）。參數的空間好比小徑分叉的花園（無限可能性的博物館），每一點上你都有一扇窗戶， 打開可以看到那個世界的可能性。在這個花園里走路，你將看到一種可能性是如何演化成另一種可能性的。

下面我們就到二維世界里去玩一玩，請看下圖， 你一定看到了十字架和一個拋物線。這是最簡單的線性二維動力學系統，完全可以通過求解系數矩陣（對應于一維情況下的單一系數）的特征值解決。首先看這個系統的定點，即發現 (0,0)，好簡單（帶入方程微分為0）。但是系統是被這個定點牢牢抓住，還是圍繞它振動，還是遠離它而去，確取決于系統的參數。

而這個平面的橫軸和縱軸就代表這一矩陣特征值的實部和虛部。當系統的參數變化，表現為系數矩陣的特征值在這一平面上的運動。特征根的實數部分的正負決定系統是趨于穩定的定點還是發散。為負的話你將收斂到到她身邊，為正你將遠離她而去。而如果實數部分為0，特征根只有虛部，那么系統意味著系統既要遠離定點又出不去她的引力范圍，最后就成圍繞他繞轉，即振動的情況。虛部的正負決定系統圍繞定點轉動的方向，在此不多敘述。

圖 最簡單的二維動力學系統-由一個線性微分方程組給出

那么什么是Bifurcation呢？它就是參數空間里系統動力學流的性質發生質變的點。例如上圖里的那個拋物線，當系統的參數變化越過拋物線的時候，系統就從穩定吸引變成了發散遠離定點，這個過程就是Bifurcation。

而在拋物線一側的變化只是定量的變化，卻無定性改變，這就是普通的變化。Bifurcation標志系統的動力學性質就發生徹底的變化。好比兩個人在一條路上走著走著，突然到了岔路口，從此南轅北轍。

在動力學家的眼里，只有那個bifurcation point 具有關鍵意義，起到區分不同系統的作用。其它小的變化都忽略了（這恐怕是他們不好找女朋友的原因）。

另一種典型的bifurcation情況：

圖中的小球一開始在谷底，處于穩定平衡。這個谷就代表系統的參數，當參數固定，山谷的形狀就是確定的。當我們改變參數，山谷的形狀發生變化，谷底逐步被拉平，而最后隆起出一個小山。在這個過程里，中心點的穩定性喪失，小球將面臨一次全新的選擇，是向左還是向右？ 這個谷底變成小山的過程就叫Bifurcation，而谷和丘的臨界點，就是Bifurcation Point。

從此圖可見，Bifurcation的本質是系統反饋性質的變化。當小球在谷底，一個負反饋保證它不離開（穩）；而當谷底逐步變平突起的過程，負反饋演化成離開谷底的正反饋。

Bifurcation Point上的小球具有“自由意志”，或者說非常敏感。一個隨機的擾動都可以被放大（正反饋的作用），使它向左或向右，這就是歷史的轉折點。而當Bifurcation的過程結束，小球就落入了新的平衡點，此時的它，已經被一個負反饋束縛住，非有強大的能量，是不會離去了。

Bifurcation正是物理里相變的化身，在動力學的世界觀里，那些定量的改變等于沒變，而只有Bifurcation-分道揚鑣，才是真正的變化。物理、化學、生物一切最有趣的現象，都在Bifurcation點上，因為它的敏感，它的無限可能。

Bifurcation Point就是我們所說的決定性瞬間。在這個時候，系統的前途未卜，而有任何一個風吹草動都可能使它轉左或轉右而走向截然不同的未來。 如同高考考場上的同學，蒙對蒙錯一個選擇題就去往了截然不同的城市，遇到了截然不同的愛情。

還有歷史上的關鍵期。如同影片《一步之遙》主角馬走日的故事，作為滿清貴族的他，被老佛爺賦予下達全國男人剪辮子的命令，那天他跑出去下達諭旨， 天卻下起大雪，他躲進一個小酒吧喝了兩桶酒睡到天亮，沒想到天下已經民國了....他那個哭啊！

這個故事看似荒唐卻很真，因為1911年就是中國歷史的Bifurcation Point，只有在Bifurcation Point -相變點上， 一個人的小事才能左右國運，一個小時就是一世紀。

君主立憲還是走向共和？ To be or Not to be，That is a Bifurcation！

Hopf-Bifurcation——溝通平衡與振動的世界。用一句話說，Hopf-Bifurcation描述一個系統定點失去吸引力并最終產生閉合軌道的過程。這與我開頭引題的拋物線那個圖其實是一回事，我們把非線性系統在定點附近進行線性近似就可以沿用上面的分析。

BZ反應 (Belousov Zhabotinsky 化學反應 )。我們高中課本有個東西叫化學平衡，說的是化學過程最終都導致平衡，該反應的反應過了，我們就得到一堆萬年不變的反應產物。但是1950年代的一個蘇聯科學家belousov卻在它的反應里發現了一個十分驚人的現象，他發現他手里的混合物反應后還會在一段時候回到原來的狀態，然后又重新反應，如此周期反復。這一現象一出，他就被封殺了。因為他的結果不符合熱力學第二定律（根據熱力學第二定律，自發狀態下系統必須趨于平衡），又加上適逢冷戰，他到死也沒看到他的成果被承認，成為科學史上幾個重大悲劇之一。

但是它的發現卻開拓了一個全新的領域-化學振蕩，而他的發現也成為復雜性可以從簡單系統中誕生的典型例子，與圖靈對生物斑圖的研究一起，開拓了復雜科學的先河。

周期振蕩的化學反應，紅變藍又變紅

Belousov的化學振蕩可以自發產生美麗復雜的斑圖（下圖），被認為是復雜性從簡單系統產生的典范，對生命起源等問題都很有啟發。

如果我們給這個化學反應寫出熱力學方程，就可以發現循規蹈矩的化學平衡和“異常”的化學振蕩可以完全統一在一個系統里，只是根據反應物濃度不同而不同。它的本質即Hopf Bifurcation。

Belousov反應具有眾多反應物和接近20個步驟，但是可以簡化為一個二維動力學系統（內容繁雜在此不續）：

隨著參數a、b的變化，系統具有完全不同的動力學模型，見下圖：

Hopf Bifurcation，左圖是一個具有靜止平衡態（定點）的系統，動力學流從不同的位置旋入這個系統。右圖為振動解 (limit cycle) 的誕生， 事實上，兩張圖描述的是一個系統的連續變化，開始那個穩定的平衡點失去穩定屬性，流行從旋入這個點變為旋出，而歸于確定的閉合軌道。這就是Hopf Bifurcation的范式。

Hopf Bifurcation作為闡述振動和靜態平衡互相演化的基本手段， 在生物、經濟等領域反復出現。甚至我們的生命過程本身也可以理解為一個大的Hopf Bifurcation。心臟的跳動和新陳代謝的循環伴隨我們一生，這是系統的振動解。 我們死的那一刻，振動停止我們步入了靜態平衡。這就是Bifurcation Point，from live to death。

中國歷史的演變可以看做一個大Hopf Bifurcation。從中國歷史的初始階段-東周列國（不考慮部落傳說時代的夏商）到大秦帝國的誕生，可謂經歷了Bifurcation。因為動力學系統的性質前后發生了根本變化， 從之前小邦國的平衡狀態發展到帝國循環的動力學模型。春秋戰國可謂中國歷史的關鍵期 (critical period)，但即使在秦帝國初建的時候，前一個動力學模型依然沒有完全結束，兩個模型依然在競爭 (Bifurcation point)。 所以秦帝國才只持續那么短，因為邦國并立的組織雖已破壞，但其“鬼影”還在，新帝國的形式并不穩定。

所以陳勝之后，才有六國后人的爭相復辟，而項羽則作為舊的動力學模型的最后驚魂一瞥劃過天空，作為楚國貴族的他奪了天下，卻只想分封諸侯，回到六國舊夢。因此，注定他只是一顆流星，他終是敵不過作為新帝國模型代言的劉邦。他的失敗根本是他所代言的動力學模型的失敗，而非孤勇。漢帝國能夠成為中國第一個持續兩百年以上的帝國，也是因為漢初皇帝徹底瓦解了邦國的舊動力學體系。他們所做的分封劉氏皇族，進一步加強大一統，都徹底瓦解了舊的社會組織，舊貴族的夢是在幾千年都興不起來了。

注： 雖然中國歷史也多次經歷分裂諸侯并立的時代，但那都是作為帝國循環的某個特殊轉化期而存在，而非穩定的狀態。

高維系統與混沌

當系統的維數達到三維，主宰動力學模型的就不再是那些穩定可測的點或圓環，而是初值敏感，極難預測的混沌。

混沌其實沒有你想的混沌，系統依然具有確定性的方程，只是其復雜性使得它看上去像是隨機，毫無秩序而已，所以，混沌實則亂中有序（人類社會縮影？）。

我用一種最簡潔的方法說明混沌如何可以產生。剛才我在一維系統反復強調定點，因為定點是一維系統唯一可以具備的穩定狀態。而在二維非線性系統我反復強調閉合軌道，因為二維系統定點和閉合軌道是二維系統唯一可能的穩定狀態（龐加萊大法）。順下去推理三維非線性系統，可能的穩定狀態是什么？遵守點線面的順序， 你一定猜到了是曲面。對，三維系統的穩態可以是三維空間里復雜的曲面。只是說一個曲面穩定已經不再有意思了，我們管它叫吸引子，是三維空間里吸引系統進入的一個物體。

圖 為吸引子去曲面的范例-洛倫茲吸引子的形狀

那么好了，為什么三維非線性系統可以產生混沌？ 因為物體被一個整個曲面吸引，不知道往哪里去了。即使它被緊閉在這個曲面上，它也可以具備無數的軌道（面上的曲線）。軌道變得復雜不可預測，因而混沌。

洛倫茲以它優美絕倫的洛倫茲方程，證明了混沌是如何可以從一個三維的確定性系統里產生出來。洛倫茲方程產生的混沌，被后人稱為蝴蝶效應。傳說南美洲的蝴蝶煽煽翅膀，就可以引起北美的颶風。即使這是真的，它也不是洛倫茲的本意，因為蝴蝶效應說的其實是- 動力學流行在相空間的姿態類似一只蝴蝶！

洛倫茲方程具有優美簡潔的形式：

當這組方程的參數正好位于Hopf Bifurcation的點，我們就得到翩翩起舞的蝴蝶。

圖 為洛倫茲吸引子，由洛倫茲方程確定的三維系統具有兩個吸引中心（定點），系統圍繞兩個定點旋轉，形成極為復雜不可捉摸的軌道，形如扇扇翅膀的蝴蝶。

對這一系統最簡單的理解是，洛倫茲系統依然描述閉合軌道，這和之前描述的二維系統的振動是相同的。但是在三維系統里，我們有兩個定點及隨之確定的吸引子曲面。系統時而繞著其中一個定點旋轉，時而繞著另一個定點旋轉，但是它哪個時候改變繞轉的對象卻是不可測的。

混沌準確的定義是相鄰軌道的穩定性-或者說初值敏感性，你是否可以從一步之遙，發展到天壤之別。不過和之前我分析定點的穩定性不同的是，這次需要的是分析軌道的穩定性。

如何分析軌道的穩定性？ Simple。我們選取在相空間里期初無限接近的兩條軌道，分析它們之間的距離在之后是擴大還是縮小。如果兩條軌道的距離是擴大的，則預示著系統是混沌的。

我們利用一個叫Liyaponov指數的量來分析軌道距離變化的趨勢，如果指數為正，則意味著開始一步之遙的兩條軌道會變成天壤之別；而指數為負，則意味著它們將歸于一處。

圖 為混沌的判定原理-初值敏感性，無限靠近的兩條曲線，未來會怎樣？

混沌與秩序：

混沌實則是復雜秩序的產生者，它所產生的秩序，叫做分型結構-Fractal。分型結構的本質是自相似性-或者說標度不變形。就是說把它放大或縮小N倍和原先張的一樣，或者說宇宙里包含著小宇宙的無限迭代形式。分型是自然界中的圖案的主宰，從樹葉到海岸線，到我們的肺都具有此類結構。分型如此常見，是自然界中的混沌動力學體系寫下的詩篇。每一個分型結構的背后，大概都藏著如蝴蝶翩翩起舞般美麗的動力學方程。

圖 為混沌體系產生的某種圖案，像不像葉子？

混沌與市場自由-凱恩斯vs哈耶克

混沌是美麗的，因為它代表自由，自由競爭的市場往往最后產生壟斷（定點），但壟斷格局卻從不持久，因為參與市場競爭的個體實則無數，所以市場其實是個高維的混沌系統，而對于這樣的系統，即使一時產生壟斷，其風云莫測的性質也會打破它。

那么政府應不應該干預市場呢？ 對于一個混沌系統，一個短期內看似有益的干預在長期卻可以產生不可預測的影響，或災難。 因此，政府對市場的干預并沒有政府官員想的那么簡單。

凱恩斯是政府干預理論的創始人。他的理論基于一個二維的模型，以市場供求永不能自發平衡為原因，主張以政府干預調節市場周期。而哈耶克作為凱恩斯的大反派堅決反對市場干預，他的模型是高維的、混沌的，認為對市場這樣的高維體系，沒有人能夠真正預測其走勢，政府干預多害少利。兩者模型的維度大小決定了理論的高度。

混沌的不可預測其實是描繪初值敏感，兩個起初靠在一起的軌道注定要發散。 但是它終究是確定性系統，與量子力學的不確定不同。

高維系統與復雜網絡

當系統的維度發展到大于三，或者任意N維，我們就得到了一個復雜網絡。因為系統的維數即變量個數，一個N維的系統意味著N個互相作用的變量，這就已經是一個復雜網絡了。復雜網絡是復雜科學的物質載體，而得到我們這個時代或未來任何實用的理論模型，都離不開它。

你如何做出比凱恩斯更準確的經濟學理論？請把經濟體系看做一個復雜網絡。你如何了解思維是如何產生的，大腦如何運作？請把神經系統看做一個復雜網絡。你如何能夠通過facebook找到最心儀的對象？社交網絡本來就是復雜網絡。

圖 無標度自由網絡專家Balbus建立的經濟模型新范式。

尾聲： 展望大數據時代

整篇文章升華到高維系統，以不是一篇文章所能維系。關于高維系統，傳統的先找出動力學的變化機制，列出方程的方法已經沒有那么好用，而一種新的方法，由大數據反推動力學模型的方法正在逐步流行。

這些新的方法，正在增強我們對復雜系統的預測力量，也許有一天，混沌將沒有那么混沌。

來源：混沌巡洋艦公眾號（ID：chaoscruiser），作者：許鐵。