在描述一點處的應變時，我們提到一個矛盾：即點是只占據空間位置而沒有大小的幾何元素，而應變是通過微段來定義的，如線應變通過微段的伸長/縮短量除以原長，角應變通過微段之間夾角的改變來定義。為了解決這一矛盾，先從一點出發引出三條平行于坐標軸微段定義應變，然后再令微段趨近于0，使得沒有大小的點和需要大小的應變定義在動態趨近中取得了一致。不過，即便是這樣，一點處的應變概念仍然存在一個漏洞沒有解決。

 

如圖1所示，假設平面內一塊平板在F作用下收縮變形，定義P點的應變，必然要在P點引出兩個微段，如圖1中所示，可以引出PA和PB來定義P點的應變，同樣也可以引出PC和PD來定義。一般情況下，所引出的微段平行于坐標軸，意味著有多少種坐標系的構造方式，就多少種微段的構造方式。

更麻煩的是，從圖1中可以看出，當圖示平板被壓縮后，PA、PB的變形量和PC、PD的變形量在數值上是不一樣的，其它方式構造的微段變形在數值也不相同。這樣一來，到底應該選擇哪一組微段去描述P點的應變？一點處的應變是確定的還是不確定的？回答這個問題，就必須理解應變狀態的概念。 

所謂應變狀態，就是指在所有可能的坐標系下，一點處各種應變描述的總和。對于應變狀態，一個重要的問題就是如何描述不同坐標系下的各種應變狀態？

 

在描述物體變形時，我們提到無論再復雜的物體變形，在力學上都可以簡化為線段長度的改變（膨脹或收縮）以及線段夾角的改變（畸變）兩類，這就是力學描述的簡潔性！同樣，雖然一點的應變狀態隨著坐標變化可能出現無數多種可能，但從力學角度看來，這無數多種應變描述的背后也存在簡潔的規律可循，依然可以用簡潔的方式進行描述。

 

這里分任意方向上的線應變和角應變來解釋，需要強調一點，任意方向的角應變實際是任意方向上線段夾角的改變，組成夾角的兩個微段方向是任意的。

圖3 各式各樣的應變花  百度圖片搜索

第三、空間情況推廣

 

到現在為止，我們求出了任意方向上的線應變和角應變，只不過是在平面上求得的。對于空間情況，可以參照平面向量拓展為空間向量時的差異，將任意方向上的線應變和角應變從平面拓展到空間。空間坐標系比平面坐標系多一個坐標軸，空間任意線段就需要用三個投影來描述，表1列出了向量和任意線段在空間和平面坐標系中的投影分量，以及它們的方向余弦。

總結

對于一點的應變狀態，其一要明白為什么要提一點的應變狀態（建立坐標系不同，就會得到一點處不同的應變值），其二要明白一點處應變狀態的描述方法（先任選一個坐標系，然后依據任意方向的應變公式導出其余坐標系下的應變描述）。任意方向上的應變實際是為了描述不同坐標系下一點的應變狀態，在其推導過程中尤其要理解方向余弦和投影的意義，畫出任意方向上應變的推導過程如下：

在一點處應變狀態的推導過程中，用到了高數中泰勒級數、中學學過的向量內積運算，以及小學學過的勾股定理。在學習中，如果可以把新的知識點拆解，與之前學過的課程對接，新的知識點就變成了老的知識點，消除學習難點，同時這樣的對接還加固了原來的知識點，一箭雙雕、一舉二得，使得學習收益最大化。

 

如果把學習看作是學習者搭建自身知識架構體系的過程，知識點的拆解、重組過程就相當于找到承載新知識點的傳力途徑，如果這種傳力途徑一直可達中學、甚至是小學的知識點，由此搭建的知識架構就越穩定，知識點就越不容易遺忘。相反，如果每學一種新的知識點都將其作為全新的知識而不能分解與重組，那么學習就會變成一種負擔，學習者就會越學越累直至架構不能承載而發生坍塌。

來源：力學酒吧

作者：張偉偉