來源：模態空間 作者：譚祥軍

對于滾動軸承早期故障的檢測和診斷而言，包絡分析已經成為振動信號主要的處理技術之一。它是由美國機械技術公司于上世紀70年代早期開發出來的，最初稱為高頻共振技術。它也有很多其他名稱，如幅值調制解調、共振解調分析、窄帶包絡分析，而稱之為包絡分析似乎更受歡迎。包絡信號的計算可用于穩態信號、非穩態信號以及瞬態信號。

包絡分析的基礎是基于滾動軸承的一個局部缺陷每次在受載荷作用下與軸承其他表面接觸時，總是會產生振動沖擊。這個沖擊作用時間極短，遠小于相鄰兩個沖擊之間的時間間隔，因此，它的能量將分布在極寬的頻率范圍內。結果是它將激起軸承各部件和周圍結構的固有頻率。這個激勵是重復的，因為故障缺陷與其他接觸面的接觸是周期性的。沖擊出現的頻率也稱為軸承故障特征頻率。人們經常認為共振受故障特征頻率的幅值調制，這樣就不能檢測到受共振激勵的故障存在，也不能診斷出軸承出現故障的部件。而包絡分析為提取出周期激勵或共振中的幅值調制提供了手段。

計算窄帶包絡曲線的經典方法是使用模擬電路對模擬振動信號進行帶通濾波，圍繞結構的共振頻率進行濾波，然后使用半波或全波整流，接下來再用平滑電路去恢復近似的包絡信號。市場上可用的模擬電路包絡分析通常是個黑匣子。

包絡分析的困難之一是如何確定最佳的頻率范圍進行分析。市場上絕大多數可用的模擬電路包絡分析設備都有許多固定的頻率范圍可用。這些固定的頻率范圍可能包括，也可能不包括由軸承缺陷激起的結構共振頻率。通常，頻譜比較技術，如常百分比帶寬頻譜，可用于去確定這些頻率范圍。如果幅值有明顯的增加（如6dB），那么這個頻帶是包絡分析潛在的候選頻帶。對于復雜的旋轉機械，如直升機的齒輪箱，在一些更高齒輪嚙合諧頻之間，這些頻率是隔開的。當精確地指明濾波頻帶時，包絡分析是有效的。然而不幸的是，模擬包絡分析不能輕易滿足這些要求。

進一步調查模擬包絡分析（帶通濾波之后進行整流，然后是平滑）的一個非常有用的近似方法，即使用平方操作代替整流，通過低通濾波器代表平滑電路，這個方法在數學上很容易實現（這也稱作為平方解調）。假設帶通濾波之后的振動信號包含N個頻率成分，那么，這個信號在時域上可以寫成

其中，ω_i是濾波后的信號中第i個幅值為a_i，相位為φ_i的頻率成分。平方以后，這個信號可以寫成

展開上式之后，得

可以看出，平方之后由原始的頻率成分產生了和頻與差頻。和頻為(ω_i+ω_j)，而差頻是(ω_i-ω_j)。平方之后，低通濾波這個信號，濾掉了高頻的和頻項，保留了低頻的差頻項，這個步驟類似于平滑處理。最終的包絡信號為

應該注意到原始頻譜圖中頻率間隔相同的所有對譜線在包絡信號中只給出了一個單頻成分。而原始的振動信號可能具有相對高的頻率成分，但相應的包絡信號只包含低頻成分。

接下來將舉例說明這個處理過程?？紤]一個振動信號包含隨機噪聲和三個頻率成分，分別為1320Hz、2048Hz和2242Hz，采樣頻率為12800Hz，帶通濾波1280~2560Hz后的頻譜如圖1所示。

圖1 原始信號的頻譜

濾波后的信號包含三個頻率成分，對它進行平方后的頻譜將包含這三個頻率成分的和頻與差頻，如圖2所示。從圖中可以看出，和頻分別各個頻率成分的2倍頻和彼此之間的代數和，即為2640Hz、3368Hz、3562Hz、4096Hz、4290Hz和4484Hz，而差頻彼此之間的代數差，即為0Hz，194Hz、728Hz和922Hz。如上面討論的一樣，對平方后的信號進行低通濾波可以移動和頻成分，僅保留差頻成分，而這恰恰是包絡信號。

圖2 原始信號平方后的頻譜

隨著信號處理技術的發展，逐漸使用數字信號處理技術代替了模擬電路包絡分析，就是以希爾伯特變換為基礎的包絡分析，因而，也稱為希爾伯特-包絡分析。此時的解析信號是一個復值的時域信號，有實部與虛部，而虛部是由實部經希爾伯特變換得到的。假設原始的時域信號為a(t)，經希爾伯特變換后的信號為

H表示希爾伯特變換，那么，解析信號定義為

j表示復數符號。希爾伯特變換沒有改變信號中的獨立變量，因而同一個域的結果與原始信號相同。希爾伯特變換只是在時域將信號的相位移動了90度。因此，可使用傅里葉變換計算希爾伯特變換，通過對正頻率成分乘以-j（相位移動-90度）；對負頻率成分乘以+j（相位移動90度）實現。這就為計算解析信號提供了非常便捷的計算方法，因為通常信號中的負頻率是0，正頻率的幅值加倍，而DC項保持不變。時域信號通過傅里葉變換到頻域，可計算得到解析信號，設置負頻率為0，正頻率幅值加倍，然后逆變換到時域。

對于復數而言，可以用幅值和相位寫成復指數形式，因此，解析信號可以表示成復指數形式

其中幅值為

相位為

一個普通的調制信號可以描述成解析信號的實部，解析信號的幅值表示幅值調制函數（包括DC偏置），也就是信號的包絡部分。解析信號的相位表示相位調制。因此，解析信號為獲得信號的幅值和相位調制提供了一種便捷的方法。

可用一個簡單的例子來幫助理解使用解析信號去計算幅值調制或包絡函數和相位調制。如果實際的時域信號是用頻率為ω₀的余弦函數表示，那么希爾伯特變換可以用正弦函數來表示，分別為

按上述的理論，幅值調制或包絡曲線的幅值為單位幅值，相應的相位將隨時間按ω₀t線性增加，相位曲線的斜率代表頻率。圖3給出了相應的解析信號是圍繞時間軸前行的螺旋線，如圖3所示，復值時域信號的幅值或包絡是單位幅值，相位每個周期線性增加2π。

圖3 余弦信號對應的解析信號

一個模擬的實例可用于說明包絡分析可獲得時域信號幅值調制的包絡曲線。一個頻率為5kHz，幅值為1的余弦信號為載波信號，顯示0.01s的時域信號如圖4a所示。圖4b為頻率為500Hz的調制信號，調制載波信號的50%，相應的調制后的信號如圖4c所示。如同上面討論的，兩種方法都可得到信號的包絡曲線，首先使用解析信號，然后使用信號的平方去產生和頻與差頻，接著使用低通濾波去移除高頻的和頻成分。圖4d顯示了使用希爾伯特-包絡分析從圖4c中的已調信號中獲得的幅值調制的包絡曲線，圖4e顯示的是使用平方和低通濾波方法獲得的幅值調制的包絡曲線，縱軸尺度有所調整?？梢钥闯觯似椒教幚碓谄鹗疾糠种?，兩種方法都精確的獲得了原始的調制信號的波形（圖4b）。

圖4 幅值調制的包絡實例

參考：

1.   Ian Howard, A Review of Rolling Element Bearing Vibration "Detection, Diagnosis and Prognosis"