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4-顯式和隱式求解方法及穩(wěn)定性.pdf

1 動力學(xué)問題

      在討論隱式與顯式動力學(xué)之前，先討論一下動力學(xué)問題和靜力學(xué)問題。在求解靜力學(xué)問題時沒有時間的概念，即使在載荷步控制力有Time這個選項，但是這個Time的含義更多的是載荷步。Time前后的求解過程相互沒有影響。動力學(xué)問題的特點是施加到結(jié)構(gòu)上的外載荷的大小和方向可能隨著時間的變化而發(fā)生變化，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生速度和加速度。在用有限元求解靜力學(xué)問題時主要是求矩陣方程組的問題，如下所示，只需要考慮結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。

      當(dāng)考慮動力響應(yīng)之后，除了考慮剛度矩陣還需要考慮質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，分別計入速度和加速度的影響，也即阻尼力和慣性力的作用，因而求解動力學(xué)問題的方程可表示為：

       [M]表示質(zhì)量矩陣，[C]表示阻尼矩陣。上式是動力學(xué)的基本方程，屬于二階常微分方程。在靜力學(xué)與動力學(xué)問題中，剛度矩陣是一樣的。

2 Transient structural與Explicit  dynamics區(qū)別

       Transient structural（瞬態(tài)動力學(xué)分析）與Explicit  dynamics（顯式動力學(xué)）都是用于解決隨時間快速變化的載荷作用下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)問題，兩者最大的區(qū)別在與兩者的求解問題的方式不同，Transient structural是基于隱式解法（求解當(dāng)前的時間步還需要用到后面時間步的信息），采用迭代的方式求解方程，而Explicit  dynamics則是采用顯式解法（只根據(jù)前面的時間步就可以得到當(dāng)前的解答了），一般不涉及迭代！一般而言，顯式解法面對的都是時間很短暫的問題，例如沖擊，碰撞，波的傳播等，往往在1second 內(nèi)，隱式解法所面對的時間則要較長一些，1second 以上。如果換成用速度來衡量的話，顯式動力學(xué)一般用于高速，隱式則低速！

3.1 隱式算法

      隱式算法對應(yīng)NewMark法，計算需要迭代。隱式算法在每一增量步內(nèi)都需要對靜態(tài)平衡方程進(jìn)行迭代求解，并且每次迭代都需要求解大型的線性方程組，這一過程需要占用相當(dāng)數(shù)量的計算資源、磁盤空間和內(nèi)存。理論上在這個算法中的增量步可以很大，但是實際運算中上要受到接觸以及摩擦等條件的限制。隨著單元數(shù)目的增加，計算時間幾乎呈平方次增加。由于需要矩陣求逆以及精確積分，對內(nèi)存要求很高。隱式算法的不利方面就是收斂問題不容易解決，且在開始起皺失穩(wěn)時，在分叉點處剛度矩陣出現(xiàn)奇異。

3.2 顯式算法

     ANSYS的動力學(xué)LS-DYNA、explicit dynamics和Abaqus Explict 均是采用顯式算法求解動力問題，基于動力學(xué)方程進(jìn)行求解，其包括動態(tài)顯式和靜態(tài)顯式算法。動態(tài)顯式算法采用動力學(xué)方程的中心差分格式，不用直接求解切線剛度，不需要進(jìn)行平衡迭代，計算速度快，也不存在收斂控制問題。該算法需要的內(nèi)存也比隱式算法要少，數(shù)值計算過程可以很容易地進(jìn)行并行計算，程序編制也相對簡單。它也有一些不利方面，顯式算法要求質(zhì)量矩陣為對角矩陣，而且只有在單元級計算盡可能少時速度優(yōu)勢才能發(fā)揮,?因而往往采用減縮積分方法，容易激發(fā)沙漏模式，影響應(yīng)力和應(yīng)變的計算精度。靜態(tài)顯式法基于率形式的平衡方程組與Euler前插公式，不需要迭代求解。由于平衡方程式僅在率形式上得到滿足，所以得出的結(jié)果會慢慢偏離正確值。為了減少相關(guān)誤差，必須每步使用很小的增量，通常一個仿真過程需要多達(dá)幾千步。由于顯式算法不需要迭代，所以這種方法穩(wěn)定性好，但效率低。