接觸是在固體力學各個領域中普遍存在的問題。對自然界中許多物理問題的描述都涉及接觸現象。例如零部件裝配時的配合，橡膠密封元件的防漏，輪胎與地面的相互作用，撞擊問題以及壓力加工行業的大量成型工藝過程等。

接觸過程中兩個物體在接觸界面上的相互作用是復雜的力學現象，同時也是它們損傷直至失效破壞的重要原因。從力學分析角度看，接觸是邊界條件高度非線性的復雜問題，需要準確追蹤接觸前多個物體的運動以及接觸發生后這些物體之間的相互作用，同時包括正確模擬接觸面之間的摩擦行為和可能存在的接觸間隙傳熱。其中極少數的接觸問題可以解析處理，絕大多數接觸問題只能采用有限元、離散元、邊界元等數值方法進行模擬，其中有限元法的應用最為廣泛。對接觸全過程進行有限元仿真，現在不僅可以實現，而且正逐步成為CAE/CAM的重要組成部分。

在實際工程中，有限元接觸分析的計算結果經常用于對某些設計參數進行優化設計，例如對輪胎進行結構優化以提高安全性和壽命。如果采用基于梯度的優化算法，需要得到力學變量（位移、應力、接觸反力分布狀況等）相對于設計參數（材料、尺寸、形狀、拓撲結構等）的變化曲線和相應的敏度（梯度）。對于無摩擦接觸情況，現有的有限元接觸算法，例如拉氏乘子法、罰函數法等，能夠得到足夠穩定的敏度數據；但是對于有摩擦接觸情況，如果不采取一些特殊的處理，則很難得到穩定的數值結果，梯度的數值通常隨載荷和網格的改變而發生劇烈的振蕩，不具備可用性。

雖然接觸力學和相關的數值方法已經廣泛應用于工程開發和科學研究，但對于接觸和摩擦的物理機制，目前尚未有完全的理解。

從工程的觀點來看，計算機技術和計算方法的發展，使我們能夠更精確的分析接觸問題以適應工程需要。對接觸問題的仿真和模擬在工程設計的多個方面已經發揮了重要的作用，例如減少磨損、降低噪聲和提高安全性等。

但從科研的觀點來看，現有的接觸數值算法流程過于復雜，需要耗費大量的內存空間和計算時間，一般經過反復的校核、修正才有可能得到符合實際情況的計算結果。迄今為止，對于帶摩擦的接觸分析，當前各種商用有限元軟件經常不能給出精確可靠的結果。開發穩定、高效、健壯的接觸算法仍然是一個亟待解決的問題。

以上挑戰性不僅來自接觸過程中復雜的變形和受力狀況，更主要的原因是接觸界面的邊界條件非線性。

接觸界面的非線性來源于兩個方面：

(1) 接觸界面事先未知。接觸界面的區域大小和相互位置以及接觸狀態不僅事先都是未知的，而且是隨時間變化的，需要在求解過程中確定。

(2) 接觸條件的非線性。接觸條件的內容包括：兩個互相接觸的物體不可相互侵入；接觸力的法向分量只能是壓力；切向接觸的摩擦條件。這些條件區別于一般約束條件，其特點是單邊性的不等式約束，具有強烈的非線性。

接觸界面的事先未知性和接觸條件的不等式約束決定了接觸分析過程需要經常插入對接觸區域的搜索，需要多次迭代求解以確定接觸壓力和摩擦力。

另外，接觸過程常常涉及材料非線性和幾何非線性。例如，汽車輪胎與路面的接觸是接觸力學中最典型的實際工程問題，進行數值模擬時，必須考慮由于大變形引起的幾何非線性，為得到可靠的計算結果，還應使用復雜的非線性材料本構關系。因此，通常要求有限元接觸算法具備同時處理三種非線性（材料、幾何、邊界條件非線性）的能力。

如圖1，考慮兩個物體B^I(I=A,B)互相接觸的情況，物體所占據空間域為Ω^I∈R³。物體B^I的表面Γ^I由三部分組成：Γ_σ^I上面力已知；Γ_u^I上位移已知；Γ_c^I則是兩個物體的接觸面。

圖1 接觸體之間的法向間隙

接觸物體在運動學方面需要滿足不可貫入性要求，不可貫入性是指物體B^A和B^B的位形在變形和運動過程中不允許相互貫穿（侵入和覆蓋），可用下式表達：

對于變形體與剛性表面接觸的情況，上式仍然成立，此時x^A≡X^A，n^A≡N^A。

接觸物體在動力學方面需要滿足法向接觸力為壓力的條件。在不考慮接觸面間的粘附的情況下，物體之間的法向接觸力只可能是壓力，不能為拉力。

如果g_N=0，法向接觸力p_N=p^A_N=p^B_N<0。如果g_N>0，意味著兩個物體間存在間隙，此時p_N=0。即

摩擦是由于兩接觸表面相互作用而引起的，其結果是產生運動阻力。當兩個表面相對運動時，摩擦力將做負功，在接觸表面上產生能量的損耗。在工程分析中，Coulomb模型因其簡單和適用性而被廣泛應用。摩擦的物理機制非常復雜，最終可追溯到原子尺度。

法國工程師Amontons于1699年提出了兩條基本的摩擦定律。這兩條定律已為實驗所證實，能適用于大多數條件，但是也有一些顯著的例外。

第一定律：摩擦力與兩接觸體表觀接觸面積無關。

實際上，任何表面從微觀上幾乎都是粗糙的，實際接觸面積只占表觀接觸面積的很小一部分，摩擦力的大小僅與實際接觸面積有關。

第二定律：摩擦力t_T與法向載荷f_N成正比。

當兩個表面相互壓緊時，會在接觸區的某些部分發生粘著，這是引起摩擦的表面作用的一種形式。如果兩接觸表面產生相對運動，表面的材料微凸體將發生變形和位移來適應相對運動，這種變形和位移將產生運動阻力，這是引起摩擦的表面作用的另一種形式。

當兩個接觸表面相對運動時，材料微凸體可能發生彈性變形、塑性變形或者斷裂。塑性變形總是能帶來能量的耗散，在大多數實際情況下，這種能量損耗占金屬摩擦的大部分。當表面相互作用為粘著形式時則必然發生斷裂，當互嵌的微凸體相對運動時也會引起斷裂，然而，對于大多數金屬，斷裂引起的能量耗散小于塑性變形。

金屬材料發生彈性變形所需要的能量絕大部分可以回復，因此彈性能量耗散與塑性能量耗散相比可以忽略不計。但是橡膠材料在發生彈性變形后，由于產生彈性滯后，顯示出很大的不可逆的能量耗散，在某些情況下，這是摩擦的主因。

綜上所述，引起摩擦的表面相互作用有兩個來源：即粘著和材料位移。發生微觀的彈性和塑性變形以及斷裂，會引起能量的耗散。這些表面作用涉及到界面的原子間復雜的化學和電磁作用，因此一些研究者試圖將承受切向載荷的接觸界面考慮為一層獨立的物質。

Bowden和Tabor提出了簡單粘著磨擦理論，其出發點是：當金屬表面壓緊時，微凸體頂端相互接觸。接觸著的微凸體上壓力很高，導致塑性變形，令接觸面積增大到實際接觸面積A恰好能法向支承載荷f_N為止。因此，對于屈服壓力為p₀的理想的彈塑性材料，有

f_N/p₀為僅考慮法向載荷影響而得出的接觸面積，而α(t_T/p₀)²表示由剪力或摩擦力產生的增量。

Green則提出微凸體塑性相互作用理論，后來由Edwards和Halling加以推廣，他們考慮了相對滑動時微凸體上法向應力和切向應力隨時間的變化，將摩擦系數定義為所有接觸微凸體的瞬時剪力之和除以所有接觸微凸體的瞬時法向應力之和。

微凸體相互作用理論與粘著理論并無原則性矛盾，事實上它們能夠得出相同的摩擦系數表達式。微凸體相互作用理論更加完善，可進一步推廣從而適用于具有實際微凸體高度分布并考慮加工硬化的表面摩擦。粘著理論的物理現實性稍差，但是它能夠在各種條件下得到正確的摩擦系數值，且在分析上遠比微凸體相互作用理論簡單。

來源：模態空間   作者：王朋波

王朋波，清華大學力學博士，汽車結構CAE分析專家。重慶市科協成員、《計算機輔助工程》期刊審稿人、交通運輸部項目評審專家。專業領域為整車疲勞耐久/NVH/碰撞安全性能開發與仿真計算，車體結構優化與輕量化，CAE分析流程自動化等。王朋波私人微信：poplewang；加微請注明：單位+姓名。