一、問題描述：

某一個矩形薄鋼板，板的長度a=1 m，寬度b=1 m，厚度h=4 mm。材料密度ρ=7850 kg/m³，彈性模量E=200 GPa，泊松比μ=0.3。假設矩形薄板的四邊鉸支，計算該薄鋼板的固有頻率和振型。

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二、問題分析：

彈性薄板是指厚度比平面尺寸小很多的彈性體，它可提供抗彎剛度。在板中，與兩表面等距離的平面成為中面。對板彎曲振動的分析基于下述Kirchhoff假設：

（1）微振動時，板的撓度遠小于厚度，從而中面撓曲線為中性面，中面內無應變。

（2）垂直于平面的法線在板彎曲后仍為直線，且垂直于撓曲線后的中面；該假設等價于忽略橫向剪切變形。

（3）板彎曲變形時，板的厚度變化可忽略不計。

（4）板的慣性主要由平動的質量提供，忽略由于彎曲而產生的轉動慣量。

根據以上Kirchhoff假設，薄板固有頻率的解析解為

解析解參考文獻：《機械振動基礎》，胡海巖，pp118-121。

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三、計算結果：

四、命令流

/PREP7

ET,1,SHELL281

MP,EX,1,2e11

MP,PRXY,1,0.3

MP,DENS,1,7850 

 

sect,1,shell,,  

secdata, 4e-3,1,0.0,3 

secoffset,MID   

seccontrol,,,, , , ,

RECTNG,0,1,0,1,   

/VIEW,1,1,1,1   

/VUP,1,Z

/REPLOT  

 

ESIZE,,50,  

MSHAPE,0,2D  

MSHKEY,0

AMESH,1

DL,all, ,UX

DL,all, ,UY

DL,all, ,UZ

FINISH  

/SOL

ANTYPE,2                 !模態分析

MODOPT,LANB,10     !提取前10階次模態 

EQSLV,SPAR  

MXPAND,10, , ,0    !擴展前10階次模態 

LUMPM,0 

MODOPT,LANB,10,0,0, ,OFF

SOLVE

FINISH  

/POST1  

SET,LIST   !列表顯示各階模態

SET,FIRST   

/DSCALE,ALL,1   

PLNSOL, U,SUM, 0,1.0

SET,NEXT

PLNSOL, U,SUM, 0,1.0