模態參數提取技術之一

geely

2018年9月6日 19:56

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5.3模態參數提取

使用上面定義的一些基本概念，現在將討論一些更基本的參數估計方法，之后將概述常用的方法。注意，這里只包含了總結性的方程和概念，詳細的理論擴展已超出了本書的范疇。感興趣的讀者可以查閱已發表的論文，了解每種常用方法的具體細節。

5.3.1峰值拾取技術

早期開發出來的參數估計技術之一是峰值拾取法，該方法獲得的系統留數是一種粗糙估計。倘若系統各階模態之間分離得足夠遠，這個方法能提供系統留數的合理估計。通過峰值位置確定頻率，通過半功率帶寬法估計阻尼。如果是在系統的固有頻率處估算頻響函數，則留數可用單自由度系統近似：

對于小阻尼系統而言，由于有阻尼固有頻率和固有頻率近似相等，因此，留數可以近似為

本質上這意味著頻響函數的峰值直接與留數（帶一個系統阻尼的比例常數）相關。在圖5-11中示意性地顯示了峰值拾取處理。如果對結構上所有點都進行評估，那么，能得到模態振型的良好估計，這作為數據處理的第一步。雖然，總的說來峰值拾取方法并不是最精確的方法，但還是能對模態振型做一個良好的全面描述。通常，這種方法對于識別位置錯誤的傳感器或方向不正確的傳感器來說是非常有用的。有時，在進行更完整的測點測量和更完整的數據處理之前，測量一組縮減的測點可使用峰值拾取法快速識別振型。

圖5-11 示意性顯示峰值拾取技術

5.3.2圓擬合——Kenedy和Pancu

對于小阻尼、模態分離好的情況而言，單自由度近似是準確的。如果頻響函數用復數形式表示，那么在復平面（奈奎斯特平面）中，頻響函數顯示為一個圓，如圖5-12所示。這個圖與理論章節的是相同的，在這里我們引入了響應測量。在這種形式下，一個圓的方程可以用最小二乘方法來提取感興趣的參數，即極點和留數。頻率由奈奎斯特圖中顯示的兩個數據點之間存在最遠的距離確定。系統的阻尼可由半功率帶寬法確定。留數aij可以近似于圓的直徑。圓擬合是由于圓方程的簡單性而開發出來的最早的數學提取技術之一。圓擬合的擴展能考慮到相鄰模態的重疊，以及復雜的模態特征。雖然圓擬合很簡單，但這種方法在模態測試中并不常用，因為通常情況下，模態的密集性使得這個圓擬合方法不適用于大多數系統。

圖5-12 示意性顯示SDOF系統在奈奎斯特圖（右）中的圓表示

5.3.3 SDOF多項式

圓擬合技術的擴展之一是單自由度多項式頻域方法。這個方法使用下式來估計參數

利用這個技術，提取出的參數是極點和留數。SDOF系統的這種近似示意性地顯示如圖5-13所示。

圖5-13 示意性顯示SDOF系統的曲線擬合

5.3.4帶外模態的殘余效應

模型中應包含的其他相鄰模態的殘余效應，因為低階模態有質量影響，高階模態有剛度影響：

在圖5-14中，帶殘余效應的曲線擬合效果最好。描述頻響函數的完整方程顯示在圖的上部分，還有整個頻率范圍內每階模態的貢獻。然而，當估計參數時，只使用感興趣的帶寬來估計參數。在這個例子中，紅色的第2階模態是感興趣的模態，但是還有帶外的第1階模態（藍色）和第3階模態（綠色）的影響。由單自由度理論可以看出，低于共振頻率的部分響應被認為是一種剛度效應，而高于共振頻率的部分則被認為是質量效應。因此，在圖中下部分顯示的感興趣頻帶內第2階模態占主導，第1階模態（藍色）在這個帶寬內主要是質量影響，而第3階模態在這個帶寬內主要是剛度影響。因此，使用這些簡單的效應可以很容易地處理出帶外模態的影響。然而，這只是一種近似值，而且模態之間越密集，這種近似就越不準確。

圖5-14 示意性顯示曲線擬合的質量和剛度的殘余效應

5.3.5MDOF多項式

開發SDOF多項式技術的擴展技術去處理多階模態。早期的研究使用了各種不同形式的方程來處理數值問題，由于與多項式相關的強大處理功能將導致可處理多階的模態。在最簡單的形式中，方程可以寫成部分分式形式：

其中只有兩階模態（本例中的第2階模態和第3階模態）顯示在圖5-15中，如果需要的話，殘余項也可以添加到這個等式中來。

圖5-15 示意性顯示MDOF系統的曲線擬合

顯然，可以擴展這個方程去處理多個不同頻段的模態。這個多項式方程的變量已經被創建出來了，最受歡迎的形式是有理分式多項式，它在分子和分母上都是多項式的形式。這個方法通常只適用于感興趣頻帶內的只有少數幾階模態的情況。它利用正交多項式更適合對數據進行數值處理。這是一種非常流行的方法，它仍然被商業軟件廣泛用于估計模態參數。

5.3.6最小二乘復指數法

一種非常流行的方法是使用時域數據，系統時域響應為有阻尼的指數衰減的正弦響應。這是最早的時域技術之一，它只使用時域響應測量數據，采集時域數據并分解它去提取模態參數。最小二乘復指數法可以寫成

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這個等式在模態分析中使用了一種稍微不同的形式。由于通常頻響函數是采集得到的，測量到的頻域數據必須進行傅立葉逆變換，以獲得這個方法所需的時域數據。圖5-16示意性地顯示了利用這種方法從頻域變換到時域的過程。

圖5-16 逆變換FRF獲得等效的時域數據

這個變換本質上是為最小二乘復指數模態參數估計過程提供了時域數據，這個方程可以寫成總和的形式，如

通常，復指數按指數形式寫出。在這種形式下，通過采樣數據，可以將解寫成2m階常系數的線性微分方程。相應的特征方程可以使用最小二乘方法求解高度超定的方程組。在將方程轉化為正則形式的過程中，形成了一個緊湊系數矩陣，即協變矩陣，這個矩陣的秩用于使用最小二乘誤差圖或奇異值圖方法確定模態數量。

這種方法是模態測試早期使用的第一個多自由度技術之一，它現在仍被應用于幾種不同的曲線擬合技術中。該方法利用Prony算法求解方程組，使用Toeplitz方程來形成特征多項式，在此基礎上利用Vandemonde方程進行模態振型提取。

與頻域技術相比，該技術具有快速、穩定的特點，但可能會遭遇數值問題，通常可以處理多階模態。與頻域技術相比，時域技術不能包含殘余項，在數值處理過程中需要指定合理的、附加的模態，這些額外的模態必須從系統真正的極點中篩選出來。早期模態分析的另一個困難是需要對數據進行傅立葉逆變換，而這些數據量被指定為2的冪次方。有時，逆變換可能包含時域泄漏，這對結果有影響。然而，今天的計算機速度更快，可以使用DFT，能減少時域的泄漏影響。

5.3.7時域和頻域估計的高級形式

上面給出的模態參數估計技術有助于引入一些簡單的概念，這些方法是當今可用的商業軟件所使用的高級技術的基礎。理解這些基礎知識可以幫助讀者理解更高級的技術，而不必過于深入地涉及數學和理論的開發。有大量的研究和論文闡述了這些技巧，感興趣的讀者可以參考。

5.3.8通用的時域技術

其他的時域技術擴展了上面描述的復指數法。例如易卜拉欣（Ibrahim）時域法和多參考最小二乘復指數法利用了脈沖響應方程的變量。