一．問題描述

一根長度為0.1米m，截面為0.01m*0.01m的等截面桿，一端完全固定，另外一端自由。其彈性模量是2e11（N/M2）,密度為7800kg/m3,要計算桿縱向振動的固有頻率。

二．理論分析

根據機械振動的理論，可以計算出其前五階縱向振動的固有頻率是：F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；F3 = 63296 HZ；F4 = 88615 HZ；F5 = 113933 HZ

三．建模分析

• 由于只計算桿件的縱向振動，使用LINK180

• 逐漸增大單元數目，考察固有頻率的多少及大小

四．建模過程

1. 進入ANSYS APDL.

2. 選擇LINK180

3. 輸入截面尺寸，只需要輸入橫截面積為1e-4.

4. 確定材料模型。

彈性模量為2e11（N/M2）

密度為7800kg/m3

6. 創建幾何模型

先創建兩個關鍵點（0，0,0），（0.1,0,0),然后將它們連接成為直線。結果如下圖。

7. 劃分網格

只劃分一個單元，并打開橫截面開關，結果如下圖。

8. 固定左邊端點（關鍵點）

9. 直線在Y和Z方向無位移

約束后結果如下圖

10. 確定新分析是模態分析

11. 確定模態提取算法及要展開的模態數

這里使用BLOCK LANCZOS方法提取前10階模態，并展開之。

12. 進行計算

13. 查看結果

可見，只有1階模態，固有頻率是13959，與理論值有出入。

理論值有5階模態，而且第一階固有頻率是12659 HZ，顯然與這里的13959是有差距的。

出現這種現象的原因，是這里劃分的單元太少，只有1個單元，2個節點，而其中還有1個節點被固定，因此只有1個節點是自由的，而該節點的Y,Z自由度都被限定，所以最終只有X一個自由度，所以只有一階頻率。

要得到5階頻率，需要進一步增加單元數目。

 

14.討論

（1）對直線劃分2個單元，重新計算。結果如下圖

計算結果如下圖

可見，現在有了2個固有頻率。與理論值相比

F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；

第一階頻率已經比較接近，但是第二階頻率還頗有差距。

 

（2）對直線劃分3個單元，重新計算。結果如下圖

計算結果如下圖

可見，現在有了3個固有頻率。與理論值相比

F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；F3 = 63296 HZ；

第一階頻率更加接近，二階頻率也更接近，而第三階頻率則還有距離。

 

（3）對直線劃分5個單元，重新計算。結果如下圖

計算結果如下圖

可見，現在有了5個固有頻率。與理論值相比

F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；F3 = 63296 HZ；F4 = 88615 HZ；F5 = 113933 HZ

前面的2階頻率比較接近，而后面的3階頻率還有距離。

 

（4）對直線劃分10個單元，重新計算。結果如下圖

計算結果如下圖

可見，出現了10個頻率。與理論值相比

F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；F3 = 63296 HZ；F4 = 88615 HZ；F5 = 113933 HZ

前3階比較接近，而后面階仍舊有距離。

 

（5）對直線劃分20個單元，重新計算。結果如下圖

計算結果如下圖

可見，還是只有10個頻率（因為只設定了計算10個頻率）。與理論值相比

F1 = 12659 HZ；F2 = 37978 HZ；F3 = 63296 HZ；F4 = 88615 HZ；F5 = 113933 HZ

前5階頻率的誤差進一步減小。

【小結】

對于連續體而言，其固有頻率是無限多的。使用有限元方法，有幾個活動自由度，就有幾個頻率。當網格劃分增加時，節點自由度增加，從而固有頻率數目增加，而同時計算精度也增加。