來源：模態空間   作者：譚祥軍

在進行包絡分析時，首先需要對實值的時域信號進行希爾伯特變換，將其相位移動90度，變換成一個純虛數，然后再與實值的時域信號組成一個復值的解析信號。由于在希爾伯特變換的過程中涉及到相量、解析信號等概念，因此，首先，我們需要明白這兩個基本概念。

為了直觀地表明簡諧運動的三個基本特征量的物理意義，可以用一個旋轉矢量來表示簡諧運動：

l  旋轉矢量的長度等于振動幅值A；

l  矢量在平面內繞原點以角速度ω作逆時針勻速旋轉；

l  在t=0時刻，矢量與x軸正向的夾角等于初相位φ。

則在任一時刻t，該矢量與x軸正向的夾角為ωt+φ，矢量末端在x軸上的投影的長度為時間的余弦函數

x(t)=Acos(ωt+φ)

因此，旋轉矢量的末端在x軸上的投影點的運動是簡諧運動，如圖1所示。

在物理和工程領域，經常會用到名詞相量（Phasor），它實際上是上述旋轉矢量的擴展，上述旋轉矢量是在實數范圍內描述。而相量是在復平面內描述一個旋轉的位置矢量，是相位向量的混合詞，也具有上述類似的特征。在復平面內，相量是一個位置矢量，原點是復平面的零點，而終點以恒定的速度作圓周運動，終點到原點的距離是恒定的，因此，它的運動軌跡在復平面上是一個圓。隨著圓周運動的進行，相量在實軸上的投影的長度是一個隨時間變化的向量，這個向量的長度是時間的余弦信號。因此，相量是一個余弦信號的時變復數描述。

根據歐拉公式，有

A·exp(+j(ωt+φ))=Acos(ωt+φ)+j·Asin(ωt+φ)

因而，有

Acos(ωt+φ)=A/2·exp(+j(ωt+φ))+A/2·exp(-j(ωt+φ))

這表明余弦信號數學上可表示成兩個復值函數之和。實旨上，上式也表明了一個余弦（或正弦）信號的傅立葉變換是一個雙邊頻：存在正負相同的頻率成分，但兩個頻率處的幅值為原來幅值的一半。

或者，余弦信號也可以表示成歐拉公式的實部，即

Acos(ωt+φ)=Re{A·exp(+j(ωt+φ))}=Re{A exp(jφ))·exp(jωt)}

我們知道，在復平面，函數A·exp(+j(ωt+φ))是一個長度為A的旋轉矢量，軌跡是一個半徑為A的圓，如圖2所示，我們稱這個函數是一個相量。

圖2 相量實例

相量在復平面的實軸上的投影是一個隨時間變化的余弦函數，投影的長度就是這個余弦函數的幅值，相量旋轉的角頻率是這個余弦函數的角頻率，相量在初始位置與實軸正向的夾角是余弦函數的初相位。因此，實值的余弦信號可以寫成兩個長度相同、頻率相同、初相位相反，旋轉方向相反的相量之和，即：

Acos(ωt+φ)=A/2·A·exp(+j(ωt+φ))+ A/2·A·exp(-j(ωt+φ))

定義

那么，任何時刻這兩個相量之和是一個沿實軸方向長度隨時間變化的向量，如圖3所示，這個向量也就是一個實值的余弦函數。相加之后的信號幅值為原始相量幅值的2倍。

圖3 實值信號可以認為是兩個相量之和

如果一個信號只有正頻率部分，則稱這個信號是解析信號，它也是一個復值信號，因為虛部是實部的希爾伯特變換。一個信號的解析信號是其頻譜的正半軸對應的信號的2倍。對于希爾伯特-包絡分析而言，首先就要構造相應的解析信號。

一個沿正方向（逆時針）旋轉的相量就是一個解析信號。對于希爾伯特變換而言，變換之前的信號為實值的時域信號，而相量X⁺和相量X^-旋轉方向相反，旋轉速度相同，它們之和將生成一個實值的時域信號，即

雖然這兩個相量都是復數，但它們的和是一個隨時間變化的實數，這就是我們要變換的實值時域信號x(t)。為了使信號成為解析信號，需要消除X^-，這就需要一個相位相反、方向相同的相量-X^-。令

也即是，正方向旋轉的相量的相位向后移動90度變成了負方向，這個相位移動等于相量X⁺與-j的乘積。負方向旋轉的相量的相位向前移動90度變成了正方向，這個相位移動等于相量X^-與j的乘積。

實際上，上式就定義了希爾伯特變換，相量Y⁺與相量Y^-的和為

解析信號是一個有虛部的復值信號，這個虛部就是信號實部的希爾伯特變換。解析信號Z定義如下

解析信號的定義表明解析信號是正方向的原始信號的相量的2倍。

首先，我們要明白希爾伯特變換是針對包含正弦（或余弦）成分的連續時域信號，因此，信號具有周期性。希爾伯特變換一定是在時域，是將時域信號通過希爾伯特變換后再回到時域。那么，對希爾伯特變換而言，輸入輸出信號都是時域信號，只不過是相位發生了變化：移動了90度。因而，希爾伯特變換可視作一個濾波器，可以通過傳遞函數來描述它。起到希爾伯特變換作用的濾波器，我們稱之為希爾伯特變換器或90度相位移動器。假設輸入信號x(t)和輸出信號y(t)的傅里葉變換分別為X(jω)和Y(jω)，那么，希爾伯特變換使相位移動90度，定義為

我們知道正弦信號相位移動90度，可以變成余弦信號，反之亦然。那么，我們可以說，正弦信號的希爾伯特變換是余弦信號，余弦信號的希爾伯特變換是正弦信號。

除了用傳遞函數來描述希爾伯特濾波器的特性之外，還可以用脈沖響應函數來描述。脈沖響應函數由頻響函數經傅里葉逆變換得到。但上式不能直接進行逆變換，因為它不是一個衰減函數。為了使之滿足逆變換的要求，對上式乘以一個指數函數，而指數函數求逆非常方便。如果變量σ趨于0，如圖4所示，那么，原始的傳遞函數乘以指數函數后，變換成

圖4 希爾伯特變換的頻響函數和脈沖響應函數

修改后的傳遞函數H(jω)的脈沖響應函數為

對上式求極限，我們可以得到希爾伯特變換的脈沖響應函數為

時域信號的希爾伯特變換也可以通過一個確定的公式來計算，類似傅里葉變換。通過上面的脈沖響應函數我們知道，它在t=0時刻是沒有定義的。對于這個定義而言，涉及到卷積積分。而對于無窮積分或瑕積分而言，可使用柯西主值（Cauchy principal value, PV）來表示，如對于

則稱

為柯西主值。

使用柯西主值表示的輸入信號x(t)經希爾伯特變換的輸出信號y(t)可定義為

一些常見函數的希爾伯特變換如表1所示。

表1 希爾伯特變換

希爾伯特變換的以上定義都是針對連續的時域信號，而實際工程上的采樣都是離散的數字采樣點信號。針對采樣信號有兩種方法可用于計算希爾伯特變換，一種為快速傅里葉變換（FFT），一種為數字濾波器方法。但是由于數字濾波器存在相位延遲，因而，通常使用FFT來計算希爾伯特變換。

對于FFT計算而言，每幀數據點數都是2的n次冪，因此，數據點數都是偶數，這就保證了相量能成對出現。基于FFT的希爾伯特變換分三步：

第一步，對有限偶數個采樣點的輸入數據進行FFT變換，以便得到信號中包含的正負相量。

第二步，對正方向的相量旋轉-90度（乘以虛數單位-j）；對負方向的相量旋轉90度（乘以虛數單位j）。這相當于交換了信號的實部與虛部。

第三步，準備數據用于快速傅里葉逆變換計算（IFFT），然后進行逆變換到時域。

如圖5所示為頻率為100Hz，初相應為70度的正弦信號（紅色）和它的希爾伯特變換信號（綠色）。我們知道時間移動對應于相位移動，而相位φ與時間t的關系為

取圖5相鄰的峰值數據點的時間差來計算，應滿足以下關系

二者的時間差為2.5ms，代入上式，剛好滿足，因此，驗證二者的相位差為90度。

圖5 正弦信號和它的希爾伯特變換

參考：

1. Jiri Tuma，Vehicle Gearbox Noise and Vibration: Measurement, Signal Analysis, Signal Processing and Noise Reduction Measures. John Wiley & Sons, Ltd, 2014