來源：易萌森戈CAE工作室公眾號（ID：EMSGCAE），作者：黃森。

一、前言

疲勞分析通常是在時域進行，所有的輸入載荷和輸出應力都是基于時間的信號。時域疲勞可以通過靜應力分析或者模態瞬態法進行分析，其中模態瞬態法一般用于需要考慮共振對疲勞的影響，載荷的加載頻率接近系統的共振頻率。在一些情況下，共振應力和輸入載荷卻通過頻域信號來分析，通常用PSD功率譜密度來表達，基于的PSD頻域疲勞預測方法比時域疲勞預測方法有以下優勢：

• 時域所得損傷是取自對一段隨機變化信號的計數，因此通過時域方法獲得的損傷本身就是一個隨機變量，無法避免對所得的損傷結果進行統計推斷。通常，用雨流計數法得到的零部件應力幅值服從威布爾分布，均值服從正態分布。這些需要進行循環計數，數據處理量非常大。而基于PSD的頻域分析方法計算簡單，不需要循環計數。

• 隨機動態應力，在時域內需要很長的信號記錄才能準確地描述隨機響應，同時處理長的時域信號非常困難，而得到頻域功率譜應力信號則較為方便。

• 用來進行疲勞分析的頻域信號采樣率，只要達到時域信號采樣率的1/10就可以得到與用時域信號預測同樣精度的結果，頻域信號的讀取、儲存都比時域信號方便。

二、隨機振動信號的特征

當系統所受到的載荷信號是隨機不確定的時候，我們通常采用隨機振動分析的進行疲勞分析。假設所受載荷X(t)在x 和x+dx 范圍內，在一個總時長T 的時間段內，載荷出現的概率為fx(x)。

圖1

如果T 足夠長，fx(x) 可以通過下式表達：

相對的概率密度函數PDF可以通過總的時間段在帶寬X 和X+dX 段，如圖2所示

圖2

隨機信號X(t) 的均值和均方根值可以表示為：

這里T 是總的時長，當ux=0時，就是隨機信號X(t) 的均方根RMS Fx(x)服從高斯正態分布

圖3

圖4

因為隨機振動激勵被假設為服從高斯正態分布，各幅值發生概率為：

圖5

基于這個特點，在實際計算中一般取3 sigma為計算的上限。高斯正態分布具有以下重要屬性：如果高級正態分布激勵作用在線性系統上，則輸出的激勵是不同的隨機過程，但是仍然服從另外一個高斯正態分布。

舉個隨機信號的處理過程的例子：

圖6

圖7

信號X(t) 被分解為幾段，如圖6和圖7所示，對于平穩的隨機過程x(t) ，時間歷程是非周期的，因此不能用傅里葉級數表示；而且x(t)是一個無限長的信號，不能通過傅里葉變換得到該隨機過程的頻域信息。這個困難可以通過對該隨機過程的自相關函數Rx(τ) 做傅里葉變換來解決。

由于X(t) 是平穩隨機信號其均值和標準差是獨立于時間t 的，因此

相關系數

如果對隨機過程x(t) 的零點進行處理，使得該過程的平均值為0，并且假定x(t) 不含有周期性分量，那么Rx(τ∞)=0，條件得到滿足。我們就可以得到自相關函數的Rx(τ) 傅里葉變換和逆變換。

其中函數Sx(ω) 稱為功率譜密度。我們令τ 為0，則得到：

圖8

這是Sx(ω) 最重要的一個特性，即功率譜密度曲線下的面積就是平穩隨機過程x(t) 的均方值，所以函數Sx(ω) 又叫均方譜密度，其單位是(x的單位)2/(rad/s)，常見的有加速度隨機激勵單位為(mm/s2)2/Hz或G2/Hz。速度隨機激勵單位為(mm/s)2/Hz ；位移隨機激勵單位為(mm)2/Hz。

在上面的推導過程中，圓頻率ω 取值是從負無窮到正無窮，但我們研究振動更習慣用頻率f而不是圓頻率ω，頻率f 的取值應該是從0到正無窮，單位應該是Hz而不是rad/s。所以雙側譜密度Sx(ω) 可以變換為一個等效的單側譜密度。

圖9 依次為窄帶、寬帶、白噪聲信號

圖10 依次為其頻譜圖

窄帶隨機過程的時間歷程類似于振幅和相位隨機變化的正弦波。根據窄帶隨機過程的PSD曲線，我們可以得到它的很多特性，如頻率成分和有效值等，還可以進一步得到其峰值分布的信息，即組成這個過程的一系列正弦波的幅值分布信息。也就是說，我們可以依據應力PSD曲線求得時間段T內的應力循環次數，以及應力幅值在S 和S+dS 之間的概率Pp(S)dS 。由PSD求得應力循環次數v 和應力幅值區間概率Pp(S)dS 的公式推導比較復雜，建議讀者參考《隨機振動與譜分析概論》一書，本文不再介紹。

對于寬帶隨機過程，以上述窄帶分析法為基礎進行拓展，也可得出計算疲勞損傷的近似表達式。常見的寬帶疲勞算法有DirliK算法、Wirsching-Light算法等，其中Dirlik算法的計算結果與試驗結果接近，成為基于功率譜密度計算疲勞失效的首選算法，已被大多數商用疲勞分析軟件采用。