對(duì)于齒輪而言，我們知道齒輪的嚙合頻率等于軸頻乘以齒數(shù)。對(duì)于滾動(dòng)軸承而言，軸承滾珠的通過頻率是軸頻乘以滾珠數(shù)嗎？對(duì)于圖1所示的滾動(dòng)軸承，有15顆滾珠，外圈固定，內(nèi)圈所在的軸的轉(zhuǎn)速為600rpm，那么軸承滾珠的通過頻率是150Hz嗎？

圖1 15顆滾珠的滾動(dòng)軸承

當(dāng)然沒有這么簡(jiǎn)單，因?yàn)閷?duì)于軸承而言，運(yùn)動(dòng)部件不僅包括滾動(dòng)體和內(nèi)圈，還包括保持架，甚至有的時(shí)候外圈也運(yùn)動(dòng)。所以，軸承的頻率有多個(gè)，包括滾動(dòng)體自轉(zhuǎn)頻率、滾動(dòng)體通過內(nèi)外圈頻率、保持架的旋轉(zhuǎn)頻率和保持架通過內(nèi)圈的頻率等一系列頻率成分。要確定這些頻率成分，必須要對(duì)軸承的運(yùn)動(dòng)學(xué)有基本了解。理解軸承的運(yùn)動(dòng)學(xué)，對(duì)于軸承的故障檢測(cè)來說很有必要，因?yàn)樗鼪Q定了軸承部件相對(duì)其他部件的旋轉(zhuǎn)速度和軸承故障的理論頻率。

圖2顯示了一種典型的角接觸的滾動(dòng)軸承，首先假設(shè)滾動(dòng)體裝入保持架后在內(nèi)外滾道之間呈均勻分布，且同時(shí)與內(nèi)外滾道相接觸，運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)無相對(duì)滑動(dòng)。一般情況下，內(nèi)外圈都可能旋轉(zhuǎn)，因此，假設(shè)內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)角頻率為ω_i，外圈的旋轉(zhuǎn)角頻率為ω_o。

圖2 角接觸的滾動(dòng)軸承

對(duì)于這個(gè)幾何形狀而言，假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)存在固定的接觸角α，那么軸承的節(jié)徑（滾動(dòng)體中心所在圓的直徑）D可表示為

而D_i和D_o分別是內(nèi)圈滾道和外圈滾道的直徑。滾道直徑可用節(jié)徑、接觸角和滾動(dòng)體直徑d來表示

軸承部件的周向速度可用角速度（rad/s）和半徑（m）來表示。內(nèi)圈繞圓心旋轉(zhuǎn)頻率為f_i，它的周向速度V_i為

外圈的旋轉(zhuǎn)頻率為f_o，周向速度V_o為

保持架的周向速度V_c是內(nèi)圈和外圈速度的平均值，假設(shè)無滑動(dòng)

轉(zhuǎn)換周向速度的單位，通過除以πD，從m/s轉(zhuǎn)換到角頻率Hz，得到保持架的旋轉(zhuǎn)頻率f_c（滾動(dòng)體公轉(zhuǎn)頻率）用Hz表示為

上式是滾動(dòng)軸承保持架的理論旋轉(zhuǎn)頻率，也稱為FTF：Fundamental Train Frequency。經(jīng)常，內(nèi)外圈有一個(gè)是靜止的，而且最常見的是外圈固定，這種情況下，上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

保持架相對(duì)于內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)頻率f_ri（內(nèi)圈靜止時(shí)保持架的旋轉(zhuǎn)頻率；也是外圈靜止時(shí)，保持架與內(nèi)圈之間的相對(duì)旋轉(zhuǎn)頻率）可同樣地得到

將保持架的旋轉(zhuǎn)頻率公式代入上式，得

如果軸承均勻分布的滾動(dòng)體數(shù)目為z，那么滾動(dòng)體通過內(nèi)圈的頻率f_bpfi（BPFI：Ball Pass Frequency Inner race）為

而當(dāng)外圈固定時(shí)，滾動(dòng)體通過內(nèi)圈的頻率公式可簡(jiǎn)化為

滾動(dòng)體通過外圈的旋轉(zhuǎn)頻率，同樣可以得到

代入保持架的旋轉(zhuǎn)頻率公式，得

如果軸承均勻分布的滾動(dòng)體數(shù)目為z，那么滾動(dòng)體通過外圈的頻率f_bpfo（BPFO：Ball Pass Frequency Outer race）為

當(dāng)外圈固定時(shí)，滾動(dòng)體通過外圈的頻率公式可簡(jiǎn)化為

假設(shè)滾動(dòng)體沒有滑動(dòng)，由于滾動(dòng)體繞它自身的軸心旋轉(zhuǎn)，而保持架繞軸承中心旋轉(zhuǎn)，根據(jù)它們接觸點(diǎn)的線速度相等的原則可求得滾動(dòng)體的自轉(zhuǎn)頻率。但另一方面，保持架與內(nèi)圈之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此，這時(shí)使用的頻率應(yīng)是保持架通過內(nèi)圈的頻率f_ri。因此，滾動(dòng)體的自轉(zhuǎn)頻率f_bsf（BSF：Ball Spin Frequency）與保持架相對(duì)內(nèi)圈的頻率之比為二者距離的反比，即

因此，有

如果外圈固定，那么，滾動(dòng)體的自轉(zhuǎn)頻率為

在這些頻率公式中，都假設(shè)不存在滑動(dòng)，若同時(shí)考慮了內(nèi)外圈旋轉(zhuǎn)，則方程為軸承特征頻率的一般形式。現(xiàn)實(shí)中，滑動(dòng)總是會(huì)存在，并且這些期望的理論頻率總是會(huì)以適當(dāng)?shù)姆绞奖徽{(diào)整。很多情況下，都是外圈固定，此時(shí)外圈靜止不動(dòng)，相應(yīng)的頻率公式將簡(jiǎn)化。將兩種形式的特征頻率總結(jié)如表1所示。

表1 軸承特征頻率公式（絕對(duì)值）

在軸承的故障診斷中，計(jì)算上述各個(gè)頻率成分將有助于確定故障。若保持架存在故障，那么振動(dòng)信號(hào)將存在頻率成分f_c。如果內(nèi)圈滾道有故障，如內(nèi)圈剝落、壓痕、不平衡等，那么在振動(dòng)信號(hào)中將出現(xiàn)f_bpfi；若外圈滾道存在這些故障，那么振動(dòng)信號(hào)中將存在頻率成分f_bpfo。若滾動(dòng)體存在這些故障，那么其自轉(zhuǎn)一圈將通過內(nèi)、外圈各一次，因而，其故障頻率是2倍的f_bsf。

以上給出的是故障激勵(lì)的基頻，滾動(dòng)體通過故障激起的是周期性沖擊，它不是單一的簡(jiǎn)諧波，而是展開為漸減的無窮級(jí)數(shù)，因而，在頻譜圖上表現(xiàn)為一定形式的離散譜線簇。

值得一提的是，從理論上講滾動(dòng)軸承的故障頻率就等于相應(yīng)的特征頻率，但由于滾珠除正常的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)外，還會(huì)發(fā)生隨軸向力變化而引起的搖擺和橫向振動(dòng)。因此，尤其是當(dāng)軸承表面存在小缺陷時(shí)，在其滾動(dòng)過程中缺陷時(shí)而能碰到內(nèi)或外滾道，時(shí)而又碰不到，以至產(chǎn)生故障信號(hào)的隨機(jī)性，也就是說可能出現(xiàn)故障信號(hào)時(shí)有時(shí)無或頻率時(shí)高時(shí)低的波動(dòng)現(xiàn)象。

我們知道階次是旋轉(zhuǎn)頻率與參考軸頻率的倍數(shù)關(guān)系，當(dāng)參考軸不同時(shí)，階次也不相同。因此，在這以內(nèi)圈所在的軸為參考軸（假設(shè)參考軸的階次為1，若為其他階次數(shù)，則表2中的階次還需乘以參考軸的階次）。所以，直接使用表1的各個(gè)特征頻率除了參考軸的頻率，即為各個(gè)部件的特征階次，如表2所示。

表2 滾動(dòng)軸承的特征階次（以內(nèi)圈所在的軸為參考）

假設(shè)存在故障的滾動(dòng)軸承如圖3所示，外圈固定，其相應(yīng)的參數(shù)如下：節(jié)徑為1.548英寸，滾珠直徑為0.3125英寸，滾珠數(shù)目為9，接觸角的余弦為0.9397。

圖3 存在故障的軸承

按照表1的公式計(jì)算各個(gè)頻率成分，得到內(nèi)圈在不同轉(zhuǎn)速下的頻率如表3所示。從這個(gè)表中可以看出，保持架的旋轉(zhuǎn)頻率FTF最小，然后是滾動(dòng)體的自轉(zhuǎn)頻率BSF和滾動(dòng)體通過外圈的頻率BPFO，最大的是滾動(dòng)體通過內(nèi)圈的頻率BPFI（即FTF<BSF<BPFO<BPFI）。由于階次獨(dú)立于轉(zhuǎn)速，因此，在不同的轉(zhuǎn)速下，階次始終是相同的，因此，各個(gè)轉(zhuǎn)速下的階次都相同，如表3最后一行所示。

表3 軸承的各個(gè)特征頻率與階次

參考：

1. Ian Howard, A Review of Rolling Element Bearing Vibration "Detection, Diagnosis and Prognosis"

2. 李德葆，陸秋海. 工程振動(dòng)試驗(yàn)分析，清華大學(xué)出版社，2011