信號(hào)處理從最早的時(shí)域統(tǒng)計(jì)到Fourier變換的頻域分析，是人們認(rèn)識(shí)信號(hào)本質(zhì)的一次巨大飛躍，信號(hào)分析的角度從時(shí)域轉(zhuǎn)變到頻域。傅里葉真正得到廣泛應(yīng)用是在fft算法的出現(xiàn)后，關(guān)于Fourier變換理論，課程介紹的太多了，就不一一介紹了。

信號(hào)的傅里葉分析圖

下面，說說傅里葉變換的缺點(diǎn)，考慮下面一個(gè)信號(hào)s(t)：

信號(hào)s(t)，初始頻率較高，中間頻率較低，F(xiàn)ourier變換中包含了這些信息，但是卻無法指示高頻、低頻發(fā)生的時(shí)間。Fourier變換作為一個(gè)全局變換，天然的少了另一個(gè)維度（時(shí)域），如果將時(shí)間域信號(hào)比作一個(gè)平面中的物體的話，那么頻域信號(hào)也同樣是一個(gè)平面中的物體，只是給我們換了一個(gè)角度而已，而人們總是希望能對(duì)三維世界的物體更具有直觀了解。信號(hào)也一樣，工程人員總是想知道信號(hào)有哪些頻率，且這些頻率在何時(shí)產(chǎn)生，而這個(gè)需求就給分析方法提出了一個(gè)要求，必須多一個(gè)維度，也就是給出信號(hào)的時(shí)頻域信息。

需求促成技術(shù)的突破。這時(shí)短時(shí)傅里葉變換 (SIFT) 便出現(xiàn)了，這個(gè)信號(hào)分析帶來了時(shí)頻分析的概念，而其優(yōu)點(diǎn)是同時(shí)給了我們時(shí)間和頻率的信息。其方法的形象化的描述就是“把整個(gè)時(shí)域過程分解成無數(shù)個(gè)等長的小過程，每個(gè)小過程近似平穩(wěn)，再做Fourier變換，就知道在哪個(gè)時(shí)間點(diǎn)上出現(xiàn)了什么頻率了?！边@就是短時(shí)傅里葉變換。時(shí)域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨著時(shí)間的變化情況了嗎！用這樣的方法，可以得到一個(gè)信號(hào)的時(shí)頻圖了。

下面信號(hào)s(t) 被分解為4個(gè)時(shí)間段，其分別對(duì)應(yīng)的fft結(jié)果如下。這樣，我們可以知道在每段時(shí)間信號(hào)的頻率信息。

短時(shí)Fourier變換選Gauss窗函數(shù)一般被稱為Gabor變換。選高斯窗的原因在于：

• Gauss函數(shù)的Fourier變換仍是高斯函數(shù)，這使得Fourier逆變換也用窗函數(shù)局部化了，同時(shí)體現(xiàn)了頻率域的局部化；

• 根據(jù)Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理，Gauss函數(shù)窗口面積已達(dá)到測(cè)不準(zhǔn)原理下界，是時(shí)域窗口面積達(dá)到最小的函數(shù)，即Gabor變換是最優(yōu)的STFT。

數(shù)學(xué)上的描述是將Fourier變換的核函數(shù)修改了一下，Gabor變換的基函數(shù)為

Gabor變換的定義為

Gabor變換是兩個(gè)變量t 和ω 的函數(shù)，即它是一種時(shí)頻變換。g(τ?t) 函數(shù)充當(dāng)時(shí)間濾波器，用于在特定的時(shí)間窗口上定位信號(hào)。對(duì)參數(shù)進(jìn)行積分τ 滑動(dòng)時(shí)間濾波窗口下的整個(gè)信號(hào)，以便在每一時(shí)刻提取頻率信息。

但由于一旦窗口函數(shù)選定后，時(shí)頻窗口的形狀便保持不變，割斷了頻率與窗口寬度的內(nèi)在聯(lián)系，Gabor變換實(shí)質(zhì)是具有單一分辨率的分析。

舉個(gè)例子，構(gòu)建三種Gauss窗函數(shù)：

利用一種窗函數(shù)對(duì)信號(hào)s(t) 進(jìn)行STFT變換提取局部頻域信息和時(shí)域信息。

再看看不同形狀窗口下的時(shí)頻分析圖：

左上圖有較好的時(shí)間分辨率但卻損失了頻率分辨率，右下圖在頻域上有很好的分辨率，但無法在時(shí)間上準(zhǔn)確的定位信號(hào)。

因此，Gabor變換在一定程度上解決了局部分析的問題，但對(duì)于突變信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)仍難以得到滿意的結(jié)果，即Gabor變換仍存在著較嚴(yán)重的缺陷。

• Gabor變換的時(shí)頻窗口大小、形狀不變，只有位置變化，而實(shí)際應(yīng)用中常常希望時(shí)頻窗口的大小、形狀要隨頻率的變化而變化，因?yàn)樾盘?hào)的頻率與周期成反比，對(duì)高頻部分希望能給出相對(duì)較窄的時(shí)間窗口，以提高分辨率，在低頻部分則希望能給出相對(duì)較寬的時(shí)間窗口，以保證信息的完整性，總之是希望能給出能夠調(diào)節(jié)的時(shí)頻窗；

• Gabor變換基函數(shù)不能成為正交系，因此為了不丟失信息，在信號(hào)分析或數(shù)值計(jì)算時(shí)必須采用非正交的冗余基，這就增加了不必要的計(jì)算量和存儲(chǔ)量。

為了解決這些問題，小波變換誕生了。小波直接把Fourier變換的基給換了——將無限長的三角函數(shù)基換成了有限長的會(huì)衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時(shí)間了。小波將時(shí)頻分析推向了研究高潮，這一時(shí)期小波理論不斷發(fā)展，出現(xiàn)了許多小波，db系列小波，coif系列小波等等?？梢钥闯鰜恚〔ㄑ芯慷际腔谛〔ɑ瘮?shù)的研究，它不像傅里葉變換一樣，基是固定的，而小波基函數(shù)有很多形式。這種靈活性給了小波廣泛的運(yùn)用優(yōu)勢(shì)。

在STFT基礎(chǔ)上，不妨假設(shè)窗函數(shù)具有抽象的形式

它是ψ(t) 經(jīng)平移和放縮的結(jié)果。引入形如ψa,b(t) 的窗函數(shù)，在a 自動(dòng)改變的情況下，它能夠?qū)Φ皖l和高頻信號(hào)起到自適應(yīng)的短時(shí)分析效果。

因此可以定義連續(xù)小波變換 (CWT)

小波滿足條件

不像Fourier變換用sin、cos函數(shù)來表示信號(hào)，而是利用有限長的會(huì)衰減的小波基來表示信號(hào)。第一個(gè)構(gòu)造的小波是Haar小波。

從上圖可以看出，在定位信號(hào)方面，haar小波比Fourier變換更有效，然而在頻域卻有較差的定位性能，因?yàn)樗趕inc函數(shù)一樣衰減，這也是Heinsenberg不確定原理導(dǎo)致的。然后改變母小波基的a、b參數(shù)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)信號(hào)的時(shí)頻分析。

這張圖反映了四種方法的特點(diǎn)：

• 時(shí)序分析在時(shí)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)了好的分辨率，但沒有頻率信息；

• 在傅里葉變換中，頻域被很好的解決但損失了時(shí)域信息；

• Gabor變換在時(shí)頻域內(nèi)都有一定的分辨率，每一小格的面積卻固定；

• 小波變換擁有多分辨率的能力，開始于較大的頻域窗口，不斷改變時(shí)頻窗的大小，直到達(dá)到期望的時(shí)頻分辨率。

離散小波變換

在實(shí)際應(yīng)用中，通常將ψa,b(t) 中的a、b取為整數(shù)離散的形式，表示為

相應(yīng)的小波變換稱為離散小波變換。

ψm,n(ω)的頻窗中心為ω*；ψm,n(ω)的頻窗半徑為Δω。

經(jīng)過ψm,n(t)作用的小波變換實(shí)際上把信號(hào)f(t) 的頻率范圍限制在[ω*-Δω，ω*+Δω]自頻帶內(nèi)，小波變換的結(jié)果是這個(gè)頻帶內(nèi)的時(shí)域分量。

小波變換不像Fourier變換那樣把時(shí)域信號(hào)變視為若干個(gè)精確的頻率分量之和，而是將其變視為若干描述子頻帶的時(shí)域分量之和。

考慮兩個(gè)問題：

• 一是如何將時(shí)域信號(hào)分解為代表子頻段特點(diǎn)的時(shí)域分量之和，這些時(shí)域分量正是小波變換所確定的。

• 二是如何確定構(gòu)造小波函數(shù)的統(tǒng)一方法。

數(shù)學(xué)上把能量有限的信號(hào)（函數(shù)）的集合記為L2(R)，L2(R) 是一個(gè)無窮維的函數(shù)線性空間，空間中有無窮個(gè)線性無關(guān)的向量，{Φ(t)}1^inf(t) 構(gòu)成L2(R)的基函數(shù)族。更進(jìn)一步考慮基函數(shù)族的正交性。正交性非常重要，像Fourier展開中計(jì)算系數(shù)。

同樣， L2(R)空間中也有子空間的概念。設(shè)Wm和Wn是L2(R) 的兩個(gè)子空間，若對(duì)任意的f(t)∈Wm，g(t) ∈Wn，f(t) 與g(t) 正交，則稱Wm和Wn是正交子空間。

設(shè)Vj ? L2(R)，Wj ? L2(R)，Vj +1 ? L2(R)，若Vj +1= Vj + Wj ，則稱Wj 是Vj 在Vj +1中的補(bǔ)子空間，若Wj 和Vj 還是正交的，則稱為正交補(bǔ)空間。

多分辨率分析 (MRA) 是理解和構(gòu)造小波的統(tǒng)一框架，比較復(fù)雜，它將一個(gè)函數(shù)表示為一個(gè)低頻成分與不同分辨率下的高頻成分。

說一下一些重要的結(jié)論，MRA確定了L2(R)的子空間直和分解關(guān)系。

任意一個(gè)信號(hào)f(t)∈L2(R) 的頻率被分割成若干互不重疊的子頻帶的直和，也就是說f(t) 在多分辨率分析的框架下被分解為若干表示子頻帶的分量W ^j(t) 的直和。

同時(shí)還有小波變換的快速算法，Mallat塔式算法