作者：孟子楊（中科院物理所副研究員）

事例二前的回顧

在這篇文章的上半部分中，我們介紹了量子多體問題動力學計算在量子自旋液體方面應用的實例，做為超越以序參量和對稱性破缺為圭臬的朗道-金茲伯格-威爾森（LGW）相變和物質分類理論的物質形態，動力學計算可以揭示其存在的指紋。在接下的部分中，我們著眼于動力學計算在新型量子相變 -- 去禁閉量子臨界點 -- 中的應用，一步步地展現動力學計算這個新鮮生命的動人力量。

事例二

去禁閉量子臨界點 (deconfined quantum critical point, DQCP)，筆者在之前的文字中也有涉及【1，7】，是超越LGW 相變理論框架的新現象，體現著以分數化、物質場和規范場耦合、演生連續對稱性等等量子物質科學新范式的基本思路。 

去禁閉量子臨界點，長期以來一直做為一個理論上的可能性而存在，直到筆者的合作者，波士頓大學和中科院物理所的 Anders Sandvik 教授（中文名善德偉，或簡稱老善），設計出 J-Q 模型，并用量子蒙特卡洛模擬來研究其性質 【8】，這個可能性才漸漸落到實處，開啟了量子多體理論和實驗領域內對于這個問題的廣泛關注。除了老善之外，不少筆者的同行和朋友，都對領域的發展做出了貢獻，近在眼前的就有北京師范大學的邵慧副教授、郭文安教授。在其最近的工作中【9】，他們嘗試對于 DQCP上的反常有限尺度標度行為，給出新的解釋。

但是，即使可以進行數值計算，去禁閉量子臨界行為本身的難度和廣度仍然讓人生畏。十幾年過去了，仍有幾個基本的問題，困擾著涵蓋理論-數值-實驗的整個領域，這些問題包括：

1）去禁閉量子臨界點，做為一個連續相變，在J-Q 模型或者其他 designer-Hamiltonian 中是否真正存在，還是其實是弱的一級相變？

2）理論上預言的，在這個臨界點上的演生連續對稱性是否存在？

3）想要在關聯電子材料實驗中觀察到去禁閉量子臨界現象，應該尋找怎樣的實驗信號？

前兩條做為理論上根本性的問題，十幾年來一直在被激烈地爭論著。比如對于第一個問題，有持一級相變論者，有持連續相變論者；對于第二個問題，有持連續相變且具有演生連續對稱性論者，也有持連續相變但是沒有演生連續對稱性論者，而且幾方陣營之中，都有筆者的朋友。數值和理論的進展一直沒有停步，甚至最近高能物理學者也加入了進來，可見熱烈的討論，一時沒有停息的跡象。

在最近的工作里【4】，我們轉而去回答了第三個問題，也就是說，如果去禁閉量子臨界現象在凝聚態物理材料中存在的話，實驗中應該看到什么現象，再進一步說，應該看到什么與遵從 LGW 的普通量子相變不同的現象？

Fig.3 (a) 具有去禁閉量子臨界點的 easy-plane J-Q (EPJQ) 模型。q=Q/(J+Q) 為相變的調控參數。q < DQCP，系統具有破缺自旋旋轉對稱性的 easy-plane 反鐵磁長程序 (antiferromagnetic XY order, AFXY)；q > DQCP，系統具有破缺晶格旋轉對稱性的共振價鍵長程序 (valence bond solid, VBS)。兩者之間是去禁閉量子臨界點， DQCP。(b) 具有普通3DXY 量子臨界點的 easy-plane J₁-J₂ (EPJ₁J₂) 模型。g=J₂/J₁ 為相變的調控參數。g < 3DXY, 系統具有破缺自旋旋轉對稱性的 AFXY 長程序；g > 3DXY，系統進入沒有破缺任何對稱性的 VBS。兩者之間是 3DXY 相變點，服從 LGW 描述。  

為了回答這個問題，我們設計如 Fig.3 中所示的模型。Fig.3 (a) 是具有DQCP 的 easy-plane J-Q 模型 （EPJQ）， 筆者在之前的文章中介紹過它的性質【7】。q < DQCP 時，系統為 easy-plane 反鐵磁長程序 (AFXY)；q > DQCP 時，系統為以自旋單態為單元的共振價鍵長程序 (VBS)。兩種長程序都有對稱性自發破缺，顯而易見的是，AFXY  相破缺自旋旋轉對稱性，VBS 相破缺晶格旋轉對稱性；不易見的是，兩個長程序相遇在一個連續相變點 -- 去禁閉量子臨界點 --之上 。為了與之對應，我們在Fig.3 (b) 中特意設計了一個普通的 LGW量子相變過程，系統具有反鐵磁相互作用J₁和J₂，g < 3DXY 時，系統也是 easy-plane AFXY 相；而調節 g 的時候，晶格的平移對稱性被刻意打破，J₂相互作用強于J₁，結果就是其進入一個對稱性已然被降低的 VBS相，注意此時晶格的平移對稱性已經在 Hamiltonian 的層次上被破壞，所以這個 VBS 沒有長程序。AFXY相和VBS 相之間就一個服從 LGW 的普通 3D XY 量子相變。AFXY 的反鐵磁序參量連續地從有限值變為零（在 3DXY 點上），然后系統再無序參量可言。

Fig.4 (a) EPJQ 模型在 AFXY 相 (q < DQCP) 中的自旋激發譜。自旋波清晰可見，(π, π)處為無能隙的 Goldstone 模。(b) EPJQ 模型在 DQCP 上的自旋激發譜。整個能譜在 ω(能量) – q (動量) 上生成出美麗的連續譜。(π,0) 處為無能隙的連續譜，(π, π)處亦為無能隙的連續譜，這些都是分數化 spinon 和演生規范場存在的確定性證據。(c) EPJQ 模型在 VBS 相 (q > DQCP) 中的自旋激發譜。由于VBS 中自旋兩兩形成單態，能譜中所有動量點上都有能隙。但是能隙之上仍是連續譜，這和 VBS 中的奇異 domain wall 漲落有關。

我們運用 QMC+SAC (quantum Monte Carlo and stochastic analytic continuation) ，計算了 Fig.3 (a) 和 (b) 的兩種相變過程中，系統的自旋激發譜，結果總結在 Fig.4 和 Fig.5中。Fig.4 (a), (b) 和 (c) 是去禁閉量子相變對應的過程。Fig.4 (a) 系統仍在 AFXY 相里，能譜上得到自旋波的圖像，在  (π, π) 點處自旋波為無能隙的 Goldstone 模，在其他動量點上自旋波色散開來，譜線在能量上的展寬來自于自旋波之間的散射。但在 Fig.4 (b) 中，系統接近 DQCP，整個能譜在 ω(能量) – q (動量) 空間上生成出美麗的連續譜。這連續譜有幾個突出的特點：

首先 (π,0) 的連續譜亦從 ω=0 出開始，一如 Fig.4 (a) 中(π, π)處的 Goldstone 模。這里的連續譜，是自旋波分數化成為 spinon 的確定性信號；   

其次，能譜在 (π, π) 處很大的能量范圍內都有權重，就是連續譜的展寬很明顯，這也是分數化 spinon 存在的直接證據，這里的展寬大大超出了普通量子相變臨界漲落可能造成的效果（可與 Fig.5 (b) 對比）；

最后，整個能譜的下邊界，從 (π,0) 到 (π, π) ，權重的明暗分布有著強烈的變化，這其實反映了在自旋波分數化為 spinon 后，spinon并不是獨立的自由粒子，而是與分數化過程中演生出來的規范場強烈耦合著，能譜中權重明暗的變化，其實是物質場 (spinon) 和演生規范場強烈耦合的結果，這顯示著DQCP和高能物理學中夸克禁閉到去禁閉的相變的共通性，是在凝聚態物理系統中實現了高能物理學現象。

如此豐富的動力學性質，不算不知道，算出來就是這么清晰明白，Fig.4 就是實驗上要觀測到的信號，中子散射能譜可以告訴人們，什么樣的相變是去禁閉量子相變（如 Fig.4 (a), (b), (c)），什么樣的相變是普通的 LGW 相變（如 Fig.5 (a), (b), (c)）。

Fig. 5 (a) EPJ₁J₂ 模型在 AFXY 相 (g < 3DXY) 中的自旋激發譜。自旋波清晰可見，(π, π) 為無能隙的 Goldstone 模。(b) EPJ₁J₂ 模型在 3DXY 相變點上的自旋激發譜。相比于DQCP，這里的臨界漲落并不顯著。(π,0) 處仍然有能隙，(π, π) 處有一些展寬。做為符合 LGW 的量子相變，這里沒有分數化 spinon, 也沒有演生規范場。(c) EPJ₁J₂ 模型在 VBS 相 (q > 3DXY) 中的自旋激發譜。由于VBS 中自旋兩兩形成單態，能譜中所有動量點上都有能隙。能隙之上沒有連續譜。

與之對應的，Fig.5 (a) 中的能譜與 Fig.4 (a) 中類似，因為都是 AFXY 相，而 Fig.5 (b) 是 3DXY 相變點，可以看到能譜與 Fig.4 (b) 完全不同。沒有 (π,0) 處的連續譜，即使在 (π, π) 點處，自旋波的展寬亦不明顯，因為這里沒有分數化，沒有 spinon 和演生規范場。Fig.5 (c)  是進入對稱性低的 VBS 之后的能譜，由于 VBS 中的自旋單態有能隙，整個能譜亦有能隙。有趣的是，在 Fig.4 (c) 中，系統也進入了 VBS 相，但是這個 VBS 自發破缺晶格對稱性，雖然有能隙，但是譜線在能量上展寬十分明顯，這其實反映了在 DQCP 的 VBS 中，還有著人們沒有完全理解的 domain wall 行為，目前的認識是，這樣的 VBS domain wall 行為與 DQCP 處物理量測量的反常有限尺度標度行為有著深層的聯系【9】。

所以，動力學性質的計算， 得到如 Fig.4 和 Fig.5 中的能譜，可以指導中子散射實驗中進行類似的測量和對比，如果測出如 Fig.4 一樣的譜學行為，就是去禁閉量子臨界點，就是量子物質科學新范式；如果測出如 Fig.5 一樣的譜學行為，就是普通的量子臨界點。這樣的區別和預言，老少皆宜，大家都能看的明白。

結語

要之，動力學性質的計算，是凝聚態物理學量子多體問題研究的方向。通過以量子蒙特卡洛為代表的大規模數值計算方法，結合場論等解析手段，理解、刻畫并預測關聯電子系統的動力學行為，推動理論和實驗的進展，這樣的工作才剛剛開始。如這篇文章的兩個事例所顯示的，以量子自旋液體、去禁閉量子臨界現象，還有非費米液體現象為代表的新的量子多體現象，正在日益動搖著凝聚態物理學中朗道-金茲伯格-威爾森相變理論和費米液體理論等傳統的框架。以拓撲序、分數化、物質場與演生規范場耦合為代表的新的進展，正在呼喚著量子物質科學新范式的建立。在這個過程中，量子多體問題的動力學性質計算，打通數值、理論與實驗的界限，必將扮演著越來越關鍵的角色。

這個春天已經過去，狂躁的人們還在狂躁著。讓筆者感到欣慰的是，寂靜的力量、陽光雨露下的那株幼苗，已經悄悄地成長起來，它的幾片小小的新葉，已經煥發著新鮮生命動人的力量。在量子多體計算的領地中，動力學性質的計算，這株幼苗會靜默地、決絕地、茁壯地成長，當它在下一個、再下一個的寂靜春天里長成參天大樹的時候，狂躁的人們又會在哪里呢？

                                    

參考文獻

[1] 海森堡模型的譜，到底有多靠譜

https://mp.weixin.qq.com/s/XQJus0EXgGclJ8_Y6lrERA

[2] Nearly deconfined spinon excitations in the square-lattice spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet, Hui Shao, Yan Qi Qin, Sylvain Capponi, Stefano Chesi, Zi Yang Meng, Anders W. Sandvik

Phys. Rev. X 7, 041072 (2017)

[3] Dynamical Signature of Symmetry Fractionalization in Frustrated Magnets,
Guang Yu Sun, Yan-Cheng Wang, Chen Fang, Yang Qi, Meng Cheng, Zi Yang Meng
arXiv:1803.10969 (PRL in press)

[4] Dynamical Signature of Fractionalization at the Deconfined Quantum Critical Point,
Nvsen Ma, Guang-Yu Sun, Yi-Zhuang You, Cenke Xu, Ashvin Vishwanath, 

Anders W. Sandvik, Zi Yang Meng
arXiv:1803.01180

[5] Quantum Spin Liquid with Even Ising Gauge Field Structure on Kagome Lattice,

Yan-Cheng Wang, Xue-Feng Zhang, Frank Pollmann, Meng Cheng, Zi Yang Meng,

arXiv:1711.03679 (PRL in press)

[6] Spin-Glass Ground State in a Triangular-Lattice Compound YbZnGaO4,

Zhen Ma, Jinghui Wang, Zhao-Yang Dong, Jun Zhang, Shichao Li, Shu-Han Zheng, Yunjie Yu, Wei Wang, Liqiang Che, Kejing Ran, Song Bao, Zhengwei Cai, P. ?ermák, A. Schneidewind, S. Yano, J.?S. Gardner, Xin Lu, Shun-Li Yu, Jun-Ming Liu, Shiyan Li, Jian-Xin Li, and Jinsheng Wen,

Phys. Rev. Lett. 120, 087201 (2018)

[7] 西斯廷教堂中的對偶變換

http://mp.weixin.qq.com/s/XMZUlOI-CnXxkzZR yp48iQ

[8] Evidence for Deconfined Quantum Criticality in a Two-Dimensional Heisenberg Model with Four-Spin Interactions,

Anders W. Sandvik,

Phys. Rev. Lett. 98, 227202 (2007)

[9] Quantum criticality with two length scales,

Hui Shao, Wenan Guo, Anders W. Sandvik,

Science 352, 213-216 (2016)

致謝

    一如既往，筆者感謝合作者，感謝團隊在這兩篇工作【3，4】中的辛勤付出。這里有中科院物理所的博士生孫光宇，博士后馬女森、王艷成，副研究員方辰，波士頓大學和中科院物理所教授 Anders W. Sandvik （善德偉），復旦大學副教授戚揚，耶魯大學助理教授程蒙，加州大學圣地亞哥分校助理教授尤亦莊，圣塔芭芭拉分校副教授許岑珂，哈佛大學教授 Ashvin Vishwanath；感謝國家超級計算天津中心孟祥飛博士、趙洋工程師等人對我們大規模蒙特卡洛計算所提供的資源、技術方面的有力支持；也感謝中科院物理所寬容的環境，保護著科研人員們，讓我們可以在混亂嘈雜的背景之下，不隨波逐流，遵從內心的方向認真地從事創造。真正的科學發現，離不開這樣的環境。