利薩如圖（Lissajous-Figure）是把空間位置上兩個(gè)互相垂直的信號(hào)，一個(gè)作為X軸，一個(gè)作為Y軸進(jìn)行合成得到的圖形，因而也稱為XY圖。由于是兩個(gè)相互垂直的信號(hào)疊加，利薩如圖最為典型的應(yīng)用是軸心軌跡測(cè)量。

利薩如圖是把兩個(gè)空間位置互相垂直的信號(hào)疊加，一個(gè)作為X軸，一個(gè)作為Y軸合成得到的圖形。兩個(gè)互相垂直的信號(hào)具有不同的幅值比、頻率比以及相位差會(huì)形成復(fù)雜形狀的圖形，如圖1所示。一般情況下，圖形是不穩(wěn)定的，但當(dāng)兩個(gè)振動(dòng)信號(hào)的頻率成整數(shù)比時(shí)，它們就形成較穩(wěn)定的圖形。

圖1 不同形狀的利薩如圖

利薩如圖最為簡(jiǎn)單的情況是兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧波的疊加，如典型應(yīng)用為軸心軌跡的測(cè)量。軸心軌跡顯示了旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子軸心相對(duì)于軸承座渦動(dòng)運(yùn)動(dòng)的軌跡。在忽略振動(dòng)的情況下，利用軸心軌跡圖顯示軸心相對(duì)與軸承中心的穩(wěn)態(tài)位置，從而可以看出軸承的偏位角、偏心距、最小油膜的厚度，從而判斷轉(zhuǎn)子運(yùn)行是否平穩(wěn)。在正常的情況下，軸心軌跡為橢圓形。若軸心軌跡的形狀、大小重復(fù)性好，則表明轉(zhuǎn)子是穩(wěn)定的。對(duì)中不良時(shí)，為香蕉狀，嚴(yán)重時(shí)為8字形；摩擦?xí)r，多處出現(xiàn)鋸齒尖角或小環(huán)；軸承間隙或剛度差異過(guò)大時(shí)，為一個(gè)很扁的橢圓；瓦塊安裝間隙相互偏差較大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)明顯的凹凸?fàn)睢＾D(zhuǎn)子發(fā)生亞異步自激振動(dòng)時(shí)，其軸心軌跡往往很不穩(wěn)定，不僅形狀及大小時(shí)刻在發(fā)生較大的變化，而且還會(huì)出現(xiàn)大圈套小圈的情況。

軸心軌跡圖有原始、提純、平均、一倍頻、二倍頻、0.5倍頻等多種軸心軌跡，主要看提純、一倍頻、二倍頻的軸心軌跡圖。這是因?yàn)檗D(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)中不可避免地包含了噪聲、電磁信號(hào)干擾等超高次諧波分量，使得軸心軌跡的形狀變得十分復(fù)雜，有時(shí)甚至是非常地混亂。而提純的軸心軌跡排除了噪聲和電磁干擾等超高次諧波信號(hào)的影響，突出了工頻、0.5倍頻、二倍頻等主要因素，便于清晰地看到問(wèn)題的本質(zhì)；一倍頻軸心軌跡則可以更合理地看出軸承的間隙及剛度是否存在問(wèn)題，因?yàn)椴黄胶饬恳鸬墓ゎl振動(dòng)是一個(gè)弓狀回轉(zhuǎn)渦動(dòng)，工頻的軸心軌跡就應(yīng)該是一個(gè)圓或長(zhǎng)短軸相差不大的橢圓，而如果軸承間隙或剛度存在方向上的較大差異，那么工頻的軸心軌跡就會(huì)變成一個(gè)很扁、很扁的橢圓，從而把同為工頻的不平衡故障和軸承間隙或剛度差異過(guò)大很簡(jiǎn)便地區(qū)別開來(lái)；二倍頻軸心軌跡則可以看出嚴(yán)重不對(duì)中時(shí)的影響方向等。因此，利用軸心軌跡可以判斷出轉(zhuǎn)子的一些故障特征。

除了用于軸心軌跡測(cè)量之外，利薩如圖法還可用于測(cè)量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率，如測(cè)量結(jié)構(gòu)的固有頻率。如兩個(gè)信號(hào)分別為激勵(lì)信號(hào)和加速度響應(yīng)信號(hào)，結(jié)構(gòu)共振時(shí)，二者的激勵(lì)頻率相等，相位相差90度，X軸信號(hào)和Y軸信號(hào)的相位差為90度。根據(jù)利薩如圖原理可知，兩個(gè)信號(hào)合成的利薩如圖是一個(gè)正橢圓。當(dāng)激勵(lì)頻率ω略大于固有頻率ω_n或略小于固有頻率ω_n時(shí)，圖形都將由正橢圓變?yōu)樾睓E圓，其變化過(guò)程如圖2所示。因此，圖形由斜橢圓變?yōu)檎龣E圓的頻率就是振動(dòng)結(jié)構(gòu)的固有頻率。當(dāng)然響應(yīng)信號(hào)也可以為位移或速度傳感器，那么，相應(yīng)的利薩如圖也會(huì)發(fā)生變化。

圖2 用加速度判別共振的利薩如圖形狀變化過(guò)程

對(duì)于利薩如圖來(lái)說(shuō)，是兩個(gè)相互垂直的信號(hào)疊加，簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在這僅介紹最為簡(jiǎn)單的兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧波疊加。

假設(shè)兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧波方程為：

其質(zhì)點(diǎn)軌跡的運(yùn)動(dòng)方程式為：

對(duì)于不同的波形參數(shù)（A，ω，φ），所合成的波形也各不同。

1）當(dāng)ω₁=ω₂, φ₁=φ₂時(shí)，φ₂-φ₁=0，此時(shí)軌跡方程為

合成波形的軌跡是一條直線，直線通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為兩個(gè)幅值之比即A₂/A₁。

2）當(dāng)ω₁=ω₂，A₁=A₂，φ₂-φ₁=φ時(shí)，軌跡方程為

當(dāng)φ=0時(shí)：方程為(x-y)²=0，軌跡為直線；

當(dāng)φ=π/4時(shí)：方程為x²-√2xy+y²= A₁²/2，軌跡為橢圓；

當(dāng)φ=π/2時(shí)：方程為x²+y²= A₁²，軌跡為圓；

當(dāng)φ=3π/4時(shí)：方程為x²+√2xy+y²= A₁²/2，方程為橢圓；

當(dāng)φ=π時(shí)：方程為(x+y)²=0，軌道為直線。

以上軌跡見(jiàn)圖3：

圖3 軸心軌跡

3）當(dāng)ω₁≠ω₂、A₁=A₂、φ₂-φ₁=φ時(shí)，假設(shè)ω₁/ω₂=n，當(dāng)n與φ取值不同時(shí)，相應(yīng)的利薩如圖如圖4所示。當(dāng)ω₁與ω₂差任意倍、A₁≠A₂時(shí)，合成波形更為復(fù)雜。如圖5為兩個(gè)同幅值，但頻率比為99：101的利薩如圖。

圖4 不同頻率比與相位差下的利薩如圖

圖5 頻率比為99：101的利薩如圖

由于被測(cè)量的轉(zhuǎn)子處于旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，因此軸心軌跡測(cè)量通常采用非接觸式的位移傳感器，常用的位移傳感器有電渦流位移傳感器，如圖6所示。電渦流傳感器是基于高頻磁場(chǎng)在金屬表面的“渦流效應(yīng)”而成，可進(jìn)行非接觸測(cè)量，具有抗干擾能力強(qiáng)，靈敏度高，使用方便等優(yōu)點(diǎn)，可直接把機(jī)械變化量轉(zhuǎn)變成為電壓的變化量。電渦流式位移傳感器由探頭和前置放大器組成，探頭對(duì)著轉(zhuǎn)子被測(cè)表面，但并不接觸，留有一定的間隙，用支架固定在軸承的瓦座上或機(jī)殼上，通過(guò)延長(zhǎng)電纜與前置放大器相連。

圖6 電渦流傳感器

測(cè)量軸心軌跡時(shí)，將兩個(gè)電渦流位移傳感器探頭分別安裝在水平和垂直的位置，二者相差90°，或者將兩個(gè)探頭分別放在中心線兩側(cè)各45°的地方，使二者成為90°角，如圖7所示。然后可通過(guò)測(cè)量軟件中的XY圖觀察測(cè)量軸平面的軸心軌跡。

圖7 軸心軌跡測(cè)量傳感器安裝示意圖

參考：

1.     5-4-一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成-拍現(xiàn)象.PPT

2.     INV1601振動(dòng)與控制教學(xué)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書

3.     https://baike.baidu.com/item/%E8%BD%B4%E5%BF%83%E8%BD%A8%E8%BF%B9/5300685?fr=aladdin