圖1 拍現象

通常，原始的兩個簡諧波的振動頻率較高，與疊加后的波形的頻率接近，但拍的頻率很低，遠小于原始簡諧波的振動頻率，因而，當出現拍現象時，它把高頻信號中的頻率信息和相位信息轉移到低頻信號（拍）之中，使它們由難以測量變得容易測量。

在聲學測量中，經常會遇到兩個傳播方向相同，頻率相近的聲波。這兩個聲波在疊加時會產生“拍”現象，如圖2所示。此時藍色的正弦波的頻率為這兩個聲波頻率和頻的一半，這個聲音可以被人耳感知到，而另一個頻率是包絡的正弦波的頻率是這兩個聲波差頻的一半，還有一個頻率是聲音強弱變化的頻率，即拍頻，是這兩個聲波頻率之差。從圖2中可以看出，頻率相同或接近的聲波疊加時，在疊加區的不同位置會出現加強與減弱的拍現象，這種現象也稱為聲波干涉。

圖3 不同的頻差表現不同的特性

對于發動機而言，兩個聲音的頻率是屬于比較近的情況，但又不會特別近。當兩個聲波的頻差處于不同頻率范圍時，會表現出不同的特性。如果二者頻差低于15Hz，會出現明顯的拍現象，如圖3中的拍現象所示就屬于這種情況；當頻差大于15Hz，而低于300Hz時，能感受到明顯的粗糙特性；而當頻差大于300Hz時，可以感受到兩個明顯的純音。

在介紹拍的相關理論之前，讓我們首先考慮兩個同方向同頻率的簡諧波疊加。然后給出兩個同方向不同頻率的簡諧波疊加形成拍的相關理論，下一篇文章《什么是利薩如圖？》將介紹兩個相互垂直的簡諧波疊加。

（一）兩個同方向同頻率的簡諧波疊加。在《有趣的分貝公式》一文中，我們曾經這樣講道：兩個相關的等聲壓級的簡諧聲源疊加，總聲壓級將增加6dB。因為此時是兩個同方向同頻率的簡諧波聲源疊加，幅值直接相加。在這，將給出這個觀點的理論支撐依據。

假設兩個同方向同頻率的簡諧波的原方程式為：

當這兩個簡諧波疊加時，依據三角函數公式有

其中，

從上式可以看出，兩個同方向同頻率的簡諧波疊加后的信號仍為簡諧波。接下來，我們討論一下這兩個原始信號的相位關系：1）同相位；2）反相位。

1）如果原始的兩個簡諧波的相位相同，即Δφ=φ₂-φ₁=2kπ,(k=0,±1,±2,…)，那么有

其中，

從這可以看出，如果原始兩個簡諧波幅值相等，那么疊加后的簡諧波的幅值為原始波形幅值的2倍，頻率與相位不變。即使兩個信號的幅值不相等，疊加后的波形的幅值為兩個原始波形幅值直接相加。因而，相位相同時，疊加后的信號幅值相互加強。

2）如果原始的兩個簡諧波的相位相反（相差180度），即Δφ=φ₂-φ₁=(2k+1)π,(k=0,±1,±2,…)，那么有

其中，

對于兩個相位相反的同頻率簡諧波而言，疊加后的波形的幅值為兩個原始波形幅值直接相減的絕對值。因而，相位相反時，疊加后的信號幅值相互減弱。

3）對于一般相位而言，疊加后的幅值處于

|A₁-A₂|<A< A₁+A₂

另外，如果有多個同方向同頻率的簡諧波疊加，疊加后的波形仍為簡諧波。

（二）兩個同方向不同頻率的簡諧波疊加。假設兩個簡諧波的原始方程為：

考慮A₁=A₂，且|ω₁-ω₂|<<ω₁+ω₂時，根據和差化積公式，它們疊加后形成拍的波形方程為

式中，A=2A₁|cos(ω₂-ω₁)t/2|為疊加后的拍的幅值。因為ω₂-ω₁很小，所以A表示緩慢周期變化的幅值。由于0≤|cos(ω₂-ω₁)t/2|≤1，因此有，

A_max=2A₁

A_min=0

拍的周期T_b和頻率f_b為

這就使得拍的幅值按頻率f_b作周期性變化：加強與減弱，如圖4所示。合成后的波形的振動頻率為

合成后的拍除了上述兩個頻率成分之外，還有一個頻率成分，即包絡線（如圖4中藍色曲線）的頻率成分，該頻率成分為拍頻的一半，即

圖4 拍