單元形狀

我們知道，單元形狀對于有限元分析的結(jié)果精度有著重要影響，而對單元形狀的衡量又有著諸多指標(biāo)，為便于探討，這里首先只討論第一個最基本的指標(biāo)：長寬比（四邊形單元的最長尺度與最短尺度之比），而且僅考慮平面單元的長寬比對于計算精度的影響。

為此，我們給出一個成熟的算例。該算例是一根懸臂梁，在其端面施加豎直向下的拋物線分布載荷，我們現(xiàn)在考察用不同尺度的單元劃分該梁時，對于A點位移的影響。

這五種不同的劃分方式都使用矩形單元，只不過各單元的長寬比不同。

例如：

第一種 (1) AR=1.1，就是長寬比接近1；

第二種 (2) AR=1.5，就是長寬比是1.5.其它類推。

第五種 (5) AR=24，此時單元的長度是寬度的24倍。

現(xiàn)在我們看看按照這五種單元劃分方式對于A點位移的影響，順便我們也算出了B點的位移，結(jié)果見下表。

各種長寬比結(jié)果的比較

我們現(xiàn)在仔細查看一下上表，并分析其含義：

我們先考慮第一行，它是第一種單元劃分情況，此時每個單元的長寬比是1.1，由此我們計算出A點、B點的垂直位移，可以看到，A點的豎直位移是-1.093英寸，而B點的豎直位移是-0.346英寸。而這兩點我們都是可以用彈性力學(xué)的方式得到精確解的，其精確解分別是-1.152以及-0.360.這樣，我們可以得到此時A點位移誤差的百分比是：

[(-1.093)-(-1.152)]/1.152 = 5.2%

對于其它情況，也采用類似的方式得到A點位移誤差的百分比。

從上表可以看出來，隨著長寬比的增加，位移誤差越來越大，竟然大到56%。因此，如果我們是用長寬比為24的單元進行劃分的話，那么我們的結(jié)果可以說是完全錯誤的。

下面按照上表繪制出一張圖，該圖從形象的角度表達了上表的含義。

由此可見，長寬比越接近于1，那么結(jié)算結(jié)果越精確；越遠離1，則誤差越大。

因此，我們在進行有限元分析時，應(yīng)該盡量保證劃分的單元長寬比接近1，這意味著，如果我們使用了四邊形單元，則最好是正方形單元；如果使用了三角形單元，則最好是等邊三角形。

當(dāng)然，對于一個復(fù)雜的零件而言，我們很難保證每個單元都滿足這些要求，但是，我們一定要確保，在我們所關(guān)注的地方，例如應(yīng)力最大的地方，單元形狀要接近這一點，否則，我們得到的解就是不可相信的。

但是上述結(jié)果也告訴我們，即便是最好形狀的單元（情況1，長寬比為1.1），結(jié)果的計算精度也不容樂觀，其誤差達到5.2%，那么，我們可以得到更高精度的解答嗎？

單元大小

理論上可以證明，如果插值函數(shù)使用了“協(xié)調(diào)和完整的位移函數(shù)”，則當(dāng)網(wǎng)格尺寸逐漸減小而單元數(shù)量增加時，解就會單調(diào)收斂。

而且，當(dāng)單元數(shù)目增加時，得到的剛度會降低，并收斂于真實剛度。這就意味著，當(dāng)單元增加時，得到的位移增加，而收斂于精確位移解。其圖形如下：

這里所說的“協(xié)調(diào)和完整位移函數(shù)”，是指：

• 近似函數(shù)式一般是多項式；

• 近似函數(shù)在單元內(nèi)要保持連續(xù)；

• 近似函數(shù)應(yīng)提供單元間的連續(xù)性，包括離散單元每一個節(jié)點所有自由度都應(yīng)該是連續(xù)的，二維單元和三維單元沿著公共邊界線和公共面必須是連續(xù)的。既能夠保證單元內(nèi)的連續(xù)，又能夠保證單元間的連續(xù)的形函數(shù)稱為協(xié)調(diào)函數(shù)。

• 近似函數(shù)應(yīng)考慮剛體位移和單元內(nèi)的常應(yīng)變狀態(tài)。即有常數(shù)項保證剛體運動（無應(yīng)變的運動），而有一次項保證有常應(yīng)變狀態(tài)發(fā)生。這是形函數(shù)的完整性問題。

例如：對于一維單元而言，若取形函數(shù)

則同時滿足上面四個條件，稱為協(xié)調(diào)且完整的位移函數(shù)。

一般來說，我們所用的單元使用的位移函數(shù)都滿足上述四個條件，所以從理論上來說，只要網(wǎng)格加密，就可以收斂于真實解。

為了驗證上述理論的真實性，我們選用了一個材料力學(xué)中的例子來做仿真。該例子如下：

T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖所示。鑄鐵的許用拉應(yīng)力為[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力為[σc]=160MPa。已知截面對形心軸z的慣性矩為Iz=763cm⁴，y1=52mm，校核梁的強度。鑄鐵的彈性模量為100GPa，泊松比為0.25。

使用材料力學(xué)的理論進行求解，簡要過程如下：

解：

最大正彎矩在截面C上

最大負彎矩在截面B上

B截面

C截面

使用ANSYS進行分析，使用BEAM188單元，首先創(chuàng)建如圖所示的幾何模型

然后分別對各段直線加密網(wǎng)格劃分，得到的結(jié)果如下：

上表中，第一列是劃分的單元數(shù)；第二列是最大的壓應(yīng)力；第三列是最大的拉應(yīng)力。可以看到，隨著單元數(shù)目的增加，最大拉伸，壓縮應(yīng)力的絕對值都在增加。

從材料力學(xué)得到的精確解，最大的壓應(yīng)力是-46.2MPa，最大的拉應(yīng)力是28.8MPa。這樣，當(dāng)單元數(shù)增加到64個時，壓應(yīng)力的誤差是 (46.2-45.7)/46.2 =1.1%；拉應(yīng)力的精度是 (28.8-28.6)/28.8=0.7%。此時精度已經(jīng)相當(dāng)高了。

可以明顯的看出，隨著單元數(shù)目的增加，應(yīng)力解的確是在逐漸逼近真實解。從這個方面來說，加密網(wǎng)格的確是提高計算精度的有效方法。

這也意味著，我們在有限元仿真中，如果要得到精確的結(jié)果，必須不斷細分網(wǎng)格，直到結(jié)果收斂。否則，我們的得到結(jié)果就是不可信的。