一．前言

索膜結(jié)構(gòu)是應(yīng)用非常廣泛的一種結(jié)構(gòu)形式，由于索膜在無(wú)應(yīng)力情況下沒(méi)有剛度，不具有承載力和一定的形狀，所以必須施加適當(dāng)?shù)念A(yù)應(yīng)力來(lái)使其產(chǎn)生足夠的剛度并確定性狀。

其設(shè)計(jì)中主要涉及到三個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：找形、載荷分析、裁剪分析。

找形也叫形態(tài)分析，指的是給定預(yù)應(yīng)力分布以及控制點(diǎn)(即約束點(diǎn)，通常為實(shí)際的支座點(diǎn))坐標(biāo)，通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ù_定該預(yù)應(yīng)力分布下索膜結(jié)構(gòu)的平衡形態(tài)。

載荷分析是用來(lái)分析預(yù)應(yīng)力索膜結(jié)構(gòu)在外載荷作用下的應(yīng)力、位移，確定其承載能力，以驗(yàn)證結(jié)構(gòu)是否具有足夠的剛度（此剛度為預(yù)應(yīng)力剛度）以及在外載荷作用下是否會(huì)出現(xiàn)皺褶。

裁剪分析是將通過(guò)找形荷載荷分析確定的膜面（通常為不可展曲面）預(yù)應(yīng)力釋放，并根據(jù)幾何拓?fù)淅碚撨M(jìn)行適當(dāng)?shù)钠史郑缓髮⑵书_(kāi)的膜片展開(kāi)為平面，作為施工下料的依據(jù)，以保證施工安裝后的膜面形狀與分析得到的形狀相吻合。

裁剪分析涉及到幾何拓?fù)淅碚摚瑔渭冇糜邢拊治龉ぞ呓鉀Q有一定困難，需要綜合有限元工具以及其它一些特殊的技術(shù)來(lái)解決，需要有限元以外的專(zhuān)門(mén)研究與開(kāi)發(fā)，所以本文不準(zhǔn)備討論ANSYS在這方面的應(yīng)用。

載荷分析是一個(gè)預(yù)應(yīng)力索膜結(jié)構(gòu)的典型有限元分析，對(duì)于ANSYS沒(méi)有任何困難，只要在給預(yù)應(yīng)力作為初應(yīng)力施加于相應(yīng)單元，同時(shí)打開(kāi)大變形效應(yīng)，施加其它載荷，ANSYS就會(huì)考慮預(yù)應(yīng)力的預(yù)應(yīng)力剛度進(jìn)行計(jì)算得到相應(yīng)的結(jié)果。所以沒(méi)有任何困難，本文也將不去討論。

找形是載荷分析和裁剪分析的基礎(chǔ)，是索膜設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，需要找到給定預(yù)應(yīng)力分布下的平衡形態(tài)，因?yàn)轭A(yù)先并不知道該形態(tài)，在初設(shè)形態(tài)下預(yù)應(yīng)力一般不能平衡，需要通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行迭代計(jì)算來(lái)確定能夠使預(yù)應(yīng)力分布平衡的位移形態(tài)。本文將探討這種計(jì)算方法，并給出ANSYS解決方案以及相應(yīng)的驗(yàn)證算例。

二．ANSYS的找形方法

1．單元類(lèi)型

   采用SHELL181和LINK180。其原因如下分析。

   ANSYS提供了膜單元（SHELL41）以及其它的殼單元（SHELL181、SHELL63等），膜單元考慮了膜的性質(zhì)，不抗彎、不抗壓。但SHELL41單元不能直接指定初應(yīng)力，而在找形分析中初應(yīng)力需要用來(lái)模擬預(yù)應(yīng)力，是必不可少的，雖然可以通過(guò)溫度應(yīng)力來(lái)達(dá)到預(yù)應(yīng)力的目的但在給定預(yù)應(yīng)力的前提下很難確定什么樣的溫度分布可以產(chǎn)生相應(yīng)的預(yù)應(yīng)力，所以也不實(shí)用。

   SHELL181單元是一個(gè)殼單元，可以用于薄殼到厚殼結(jié)構(gòu)，其單元公式中包含了抗彎剛度和抗壓剛度。但我們可以通過(guò)采用極薄的殼來(lái)克服這些剛度。

首先實(shí)際的膜結(jié)構(gòu)是沒(méi)有彎曲剛度的，其受力形態(tài)為張拉力，通常膜結(jié)構(gòu)的剛度都可以用面剛度給出即E×T的值，其中E為彈性模量，T為膜的厚度。所以我們可以設(shè)定SHELL181單元的厚度為很小的值，同時(shí)按比例調(diào)整材料的彈性模量，只要保證E×T的值不變就可以了。而在厚度很小的情況下殼單元的彎曲剛度會(huì)很小以致可以忽略不計(jì)，這樣就達(dá)到了沒(méi)有彎曲剛度的要求，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，讓單元厚度小于結(jié)構(gòu)典型尺寸的千分之一就可以滿足要求。

一般認(rèn)為索膜是不抗壓的，但不抗壓的結(jié)果是索膜在面內(nèi)壓力作用下會(huì)起皺，是一種彎曲現(xiàn)象，所以從本質(zhì)上來(lái)講，不抗壓的表面現(xiàn)象是由于沒(méi)有彎曲剛度引起的（類(lèi)似于屈曲），因此只要如上將殼的厚度變得很小，則殼實(shí)際上就沒(méi)有抗壓強(qiáng)度了，因?yàn)槠胶鈶B(tài)是一個(gè)空間曲面，一旦產(chǎn)生，結(jié)構(gòu)就會(huì)產(chǎn)生彎曲（褶皺）。而且用這種單元還有一個(gè)好處，它保留的極小的彎曲剛度還會(huì)有利于計(jì)算穩(wěn)定，為載荷分析中可能出現(xiàn)的皺褶情況下地計(jì)算收斂提供幫助，有助于模擬出皺褶形狀（這正好反映了這樣一種情況：實(shí)際的索膜結(jié)構(gòu)彎曲剛度也不是完全為0）。

LINK180單元是一個(gè)桿索單元，其單元公式中就沒(méi)有包括抗彎剛度，所以不必進(jìn)行什么特別的處理就適合于模擬索，這里就不用多說(shuō)了。

這兩種單元都可以指定初應(yīng)力，為找形分析提供了必備條件。

2．找形方法步驟

  2.1．建立初設(shè)形態(tài)的模型

  初設(shè)形態(tài)由支座點(diǎn)控制，以支座點(diǎn)為控制關(guān)鍵點(diǎn)，建立初設(shè)形態(tài)幾何模型（包括面、線）并劃分單元，注意具有不同預(yù)應(yīng)力的單元最好指定不同的材料，以方便指定初應(yīng)力。單元應(yīng)該采用三角形形狀，因?yàn)樗髂そY(jié)構(gòu)空間曲面可能扭曲，用四邊形時(shí)計(jì)算過(guò)程中可能由于單元扭曲出現(xiàn)問(wèn)題。

  2.2．施加約束（通常在支座點(diǎn)）。基于索膜的特點(diǎn)，僅約束平動(dòng)自由度。

  2.3．指定初應(yīng)力。需注意的是，ANSYS初應(yīng)力基于單元坐標(biāo)系。另外，如果結(jié)構(gòu)中每種材料具有同樣的初應(yīng)力，則可以直接用命令I(lǐng)STRESS完成初應(yīng)力施加，如果每種材料具有不同的初應(yīng)力，則需要通過(guò)初應(yīng)力文件來(lái)施加，可以通過(guò)命令流自動(dòng)生成初應(yīng)力文件。具體參見(jiàn)后面的算例命令流。

  2.4．打開(kāi)大變形效應(yīng)，進(jìn)行計(jì)算。通常初設(shè)形態(tài)下預(yù)應(yīng)力不會(huì)平衡，會(huì)產(chǎn)生位移，預(yù)應(yīng)力會(huì)由于位移而釋放。也就是說(shuō)，計(jì)算結(jié)束后應(yīng)力狀態(tài)將和預(yù)應(yīng)力不一致。

  2.5．開(kāi)始迭代計(jì)算，如下：

     2.5.1．開(kāi)始一個(gè)新分析，按照前一個(gè)形態(tài)的計(jì)算位移結(jié)果更新體型，采用UPGEOM命令。

     2.5.2．設(shè)定初應(yīng)力（同前一個(gè)形態(tài)，由于開(kāi)始新分析時(shí)，初應(yīng)力會(huì)歸零，所以需要重新設(shè)置）

     2.5.3. 判斷是否收斂。由于平衡的形態(tài)下預(yù)應(yīng)力不會(huì)引起任何位移，所以可以用結(jié)構(gòu)內(nèi)的最大位移來(lái)判斷是否收斂，即若當(dāng)前形態(tài)下產(chǎn)生的最大位移小于初設(shè)形態(tài)下最大位移的某一個(gè)百分比或小于某一個(gè)適當(dāng)?shù)慕^對(duì)值，則認(rèn)為收斂，一般來(lái)說(shuō)，這個(gè)百分比可取為0.1%－1.0%，另外絕對(duì)值可取為1e-4－1e-6，這個(gè)絕對(duì)值是為了防止初始形態(tài)即為平衡形態(tài)的情況，具體取值取決于精度要求。只要兩個(gè)條件滿足了一個(gè)，即可認(rèn)為收斂

     2.5.4. 如果收斂，則最后更新一次體型，完成找形，新的體型則為平衡態(tài)體型。如果沒(méi)有收斂，回到2.5步繼續(xù)迭代

三．找形分析實(shí)例

1．懸鏈面薄膜結(jié)構(gòu)找形

 懸鏈面為一個(gè)上下端固定的等應(yīng)力面，是由懸鏈線繞Z軸旋轉(zhuǎn)得到的面，其方程為：

                                                        (1)

本例中取a=5m, b=30m, 可計(jì)算出h=12.3894m。以這三個(gè)數(shù)據(jù)可以確定懸鏈面的上下邊緣，通過(guò)找形找出平衡態(tài)。

膜材為面內(nèi)各向同性材料，其剛度為：E×T＝2.36×105 N/m, 泊松比為0.4

懸鏈面的平衡態(tài)形狀與預(yù)應(yīng)力大小無(wú)關(guān)（當(dāng)然預(yù)應(yīng)力大小會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的受力特性產(chǎn)生影響，這不是本文的討論范圍），本例取sx×T=sy×T=2×104 N/m.

計(jì)算中殼單元的厚度采用0.0001m，則材料的彈性模量應(yīng)該為E=2.36×109 N/m2，預(yù)應(yīng)力大小應(yīng)該為sx =sy =2×108 N/m2。由于模型對(duì)稱(chēng)，采用了1/4對(duì)稱(chēng)模型進(jìn)行分析。

分析采用的命令流為文件membrane.txt，其有限元模型如圖1所示。這個(gè)例子在迭代計(jì)算33次后收斂，圖2為收斂后的體型，即平衡態(tài)體型，圖3和圖4為平衡態(tài)的預(yù)應(yīng)力分布，可以看到已經(jīng)非常接近要求的預(yù)應(yīng)力值，其誤差可以忽略不計(jì)。

                                                                                圖1: 1/4有限元模型

                                                                                    圖2: 平衡態(tài)體型

                                                                                  圖3: 平衡態(tài)X預(yù)應(yīng)力分布

                                                                                     圖4: 平衡態(tài)Y預(yù)應(yīng)力分布

表1為邊界線上節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)位置與理論值的比較，可以看到二者是非常接近的。

表1：ANSYS計(jì)算位置與理論位置的比較

節(jié)點(diǎn)	1	56	57	58	59	60	61	62	63	64
X	5.000	5.395	6.354	7.614	9.008	10.463	11.946	13.440	14.940	16.440
計(jì)算Y	12.389	10.505	8.870	7.550	6.484	5.601	4.852	4.204	3.633	3.124
理論Y	12.389	10.414	8.788	7.477	6.420	5.545	4.804	4.162	3.597	3.092
節(jié)點(diǎn)	65	66	67	68	69	70	71	72	38
X	17.947	19.453	20.958	22.465	23.971	25.477	26.984	28.492	30.000
計(jì)算Y	2.661	2.238	1.850	1.489	1.154	0.839	0.544	0.264	0
理論Y	2.634	2.216	1.831	1.474	1.142	0.831	0.538	0.262	0

2．馬鞍形索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形

圖5所示為一個(gè)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的初設(shè)形態(tài)，其軸線方向長(zhǎng)86.8m，圓弧形拱高度為28.49m，拱寬為97.0m，四周的索端均固定，在軸向索和環(huán)向索中具有一定預(yù)應(yīng)力時(shí)，索網(wǎng)會(huì)呈現(xiàn)出馬鞍形的平衡態(tài)，本例將找出這個(gè)平衡形狀。

索的截面面積為67.4×10-6 m2，彈性模量1.7×1011 N/m2。本例的命令流見(jiàn)文件cable.txt，需要說(shuō)明的是，由于通常情況下，索膜結(jié)構(gòu)的平衡態(tài)只與預(yù)應(yīng)力的相對(duì)分布有關(guān)而與具體值無(wú)關(guān)，所以本例中利用了這個(gè)特點(diǎn)，在迭代計(jì)算中將預(yù)應(yīng)力一致增大了1000倍來(lái)加快收斂速度（當(dāng)然最大倍數(shù)與具體問(wèn)題有關(guān)，如果過(guò)大也可能引起計(jì)算不收斂，可以根據(jù)具體問(wèn)題初設(shè)體型的位移確定），在收斂結(jié)束后再用實(shí)際的預(yù)應(yīng)力進(jìn)行一次計(jì)算即可。另外，采用了讀入自動(dòng)生成的初應(yīng)力文件的方式給不同的索施加不同的預(yù)應(yīng)力。

首先設(shè)定軸向索和環(huán)向索中均具有5000N的預(yù)張力（即74.2×106 N/m2的預(yù)應(yīng)力）。圖6為找形得到的平衡態(tài)，圖7為這種平衡態(tài)的預(yù)應(yīng)力分布，可以看到與設(shè)定預(yù)應(yīng)力非常接近。

圖8為索中預(yù)張力為2500N（37.1×106 N/m2的預(yù)應(yīng)力）情況下找形得到的平衡態(tài)，其馬鞍形頂部軸向線上最低點(diǎn)的高度11.278m，而圖7中該點(diǎn)的高度為11.260m，考慮到迭代誤差，二者可以認(rèn)為是相等的，這說(shuō)明平衡態(tài)與預(yù)應(yīng)力大小無(wú)關(guān)。

但預(yù)應(yīng)力相對(duì)分布對(duì)結(jié)構(gòu)成形有很大影響，圖9為軸向索與環(huán)向索預(yù)張力4:1（分別為5000N和1250N）時(shí)的平衡態(tài)，圖10為軸向索與環(huán)向索預(yù)張力100:1（分別為5000N和50N）時(shí)的平衡態(tài)，可以看出，索膜結(jié)構(gòu)形狀的調(diào)整可以通過(guò)改變預(yù)應(yīng)力的相對(duì)分布類(lèi)獲得。  

                                                                                     圖5: 索網(wǎng)初設(shè)形態(tài)

                                                                                   圖6: 等預(yù)張力平衡形態(tài)

                                                                                     圖7: 平衡態(tài)預(yù)應(yīng)力分布

                                                                                      圖8: 預(yù)應(yīng)力減小一半的平衡形態(tài)

                                                                                       圖9: 張力比4:1

                                                                                           圖10: 張力比100:1

3．傘形索膜組合結(jié)構(gòu)找形

一柔性邊界的六邊形傘形索膜組合結(jié)構(gòu)，初設(shè)形狀如圖11所示，其六邊形平面的外接圓半徑為5m，中心是一個(gè)半徑0.5m的鋼環(huán)，升起高度為3.5m，模型的邊界布置6根邊索，內(nèi)部布置6根脊索，中央鋼環(huán)和六邊形六個(gè)角點(diǎn)完全固定。

膜材為面內(nèi)各向同性材料，其剛度為：E×T＝2.36×105 N/m, 泊松比為0.4，膜材中的預(yù)應(yīng)力為：sx×T=sy×T=2×103 N/m. 

計(jì)算中殼單元的厚度采用0.0001m，則膜材的彈性模量應(yīng)該為E=2.36×109 N/m2，預(yù)應(yīng)力大小應(yīng)該為sx =sy =2×107 N/m2。

邊索和脊索的截面面積均為67.4×10-6m2，彈性模量1.7×1011 N/m2。脊索中具有5000N的預(yù)張力（即74.2×106 N/m2的預(yù)應(yīng)力），邊索中具有10000N的預(yù)張力（即148.4×106 N/m2的預(yù)應(yīng)力）

分析所用的命令流文件為mem-cable.txt，類(lèi)似于例2，在采用了初應(yīng)力文件施加不同的預(yù)應(yīng)力，在迭代過(guò)程中將預(yù)應(yīng)力等比例擴(kuò)大了10倍來(lái)加快收斂速度。

圖12為上述設(shè)定預(yù)應(yīng)力下的平衡態(tài)，圖13、圖14為平衡態(tài)下的膜面兩向預(yù)應(yīng)力分布，圖15為索中預(yù)應(yīng)力分布，可以看到平衡態(tài)下的預(yù)應(yīng)力滿足設(shè)定要求。

                                                                                    圖12: 平衡形態(tài)

                                                                             圖13: 平衡態(tài)膜面x向應(yīng)力分布

                                                                               圖14: 平衡態(tài)膜面Y向應(yīng)力分析

                                                                                圖15: 平衡態(tài)索中應(yīng)力分布

結(jié)構(gòu)形狀的改變可以通過(guò)改變膜和索的預(yù)應(yīng)力比值來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而得到形態(tài)各異的形態(tài)。在保持索的預(yù)張力不變的情況下，增加膜的預(yù)張力將增大結(jié)構(gòu)的曲率，例如將膜的預(yù)應(yīng)力增加至原來(lái)的1.5倍，即sx =sy =3×107 N/m2，得到的成形圖如圖16所示。反之，在保持索的預(yù)張力不變的情況下，降低膜的預(yù)張力將減小結(jié)構(gòu)的曲率，使得曲面變得較為平坦，例如將膜的預(yù)應(yīng)力減小到原來(lái)的一半，即sx =sy =1×107 N/m2，得到的成形圖如圖17所示。

                                                                          圖16: 膜面預(yù)應(yīng)力增加至原來(lái)的1.5倍

                                                                            圖17: 膜面預(yù)應(yīng)力減小至原來(lái)的一半

四．結(jié)論

本文針對(duì)建筑結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)的索膜結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵問(wèn)題－找形，提出了ANSYS進(jìn)行找形分析的解決方案，并用實(shí)例驗(yàn)證了這種方法的有效性。以此為基礎(chǔ)，可以進(jìn)一步使用ANSYS的強(qiáng)大的結(jié)構(gòu)分析、多物理場(chǎng)分析技術(shù)非常方便有效地針對(duì)找形得到的索膜結(jié)構(gòu)平衡形態(tài)，考慮該結(jié)構(gòu)與其它結(jié)構(gòu)的相互作用以及復(fù)雜載荷物理環(huán)境，從系統(tǒng)級(jí)、耦合的層次進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析以校核其受力性能、安全性能，為設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

有效地實(shí)現(xiàn)索膜找形分析也將進(jìn)一步拓展ANSYS在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用前景。