眾所周知流體的流動狀態(tài)有層流和湍流的分別。工程中大部分的流動都是湍流，所以用CFD軟件模擬工程中的流動的時(shí)候，往往要運(yùn)用“湍流模型”，例如k-ε模型、SA模型等等。但是，這些模型是怎樣模擬湍流流動的呢？

我們來看一個(gè)例子。我們用k-ε模型計(jì)算二維射流流動。當(dāng)流體從一個(gè)狹縫向靜止流體中噴射的時(shí)候，如果狹縫的長度比寬度大得多，那么就可以近似地看做是二維射流。二維射流理論上的流動圖像如圖1所示。由于粘性作用，射流與周圍流體之間進(jìn)行動量交換，并把周圍流體不斷“卷吸”到射流中去，使得沿著流動方向射流的寬度不斷向外擴(kuò)展。

                                                                                       圖1  二維射流。

假設(shè)縫隙的寬度h=1m，噴射速度U=1m/s，流體的密度ρ=1kg/m³，粘性系數(shù)μ=10^-5Pa?s，則流動雷諾數(shù)Re=ρUh/μ=10⁵。用FLUENT算出的速度分布如圖2所示；可以看出沿著流動方向射流的寬度不斷向外擴(kuò)展。從圖3所示的不同截面處的速度分布曲線也可以看出這一點(diǎn)。

                                                                                     圖2  速度分布

                                                                                    圖3  不同截面處的速度分布曲線

從定性上看，粘性導(dǎo)致的動量交換使得沿著流動方向射流的寬度不斷向外擴(kuò)展，這是容易理解的。從定量上看又如何呢？我們選取流場中的幾個(gè)位置，計(jì)算一下動量方程中各項(xiàng)的數(shù)值。所選取的三個(gè)點(diǎn)如圖4所示。

                                                                                        圖4  點(diǎn)的位置

我們知道，流體運(yùn)動的動量方程是Navier-Stokes方程組，對于本問題中的二維不可壓縮流動，Navier-Stokes方程組的形式為

式中u是速度的x方向分量，v是速度的y方向分量，p是壓強(qiáng)。由于本問題考慮的是定常流動，所以對時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)等于零，方程簡化為

由于射流是往x方向噴射的，所以我們只計(jì)算x方向的動量方程，結(jié)果如表1所示。顯然，動量方程的左邊不等于右邊，而且數(shù)量級相差甚遠(yuǎn)。

                                                                        表1  x方向動量方程左邊和右邊的數(shù)值

這是什么回事呢？原來，F(xiàn)LUENT在計(jì)算湍流流動的時(shí)候，并不是直接求解Navier-Stokes方程組。

 

要理解這個(gè)問題，必須先了解湍流運(yùn)動的特點(diǎn)。從下面的湍流射流的視頻可以看出，湍流中存在不規(guī)則的非定常的旋渦運(yùn)動。研究表明，湍流中的這些旋渦運(yùn)動的尺度范圍是非常寬廣的，最大的旋渦與最小的旋渦的尺度之比正比于流動雷諾數(shù)的3/4次方。最大的旋渦從平均流中吸收動能，然后將動能傳遞給小一級的旋渦，小一級的旋渦又將動能傳遞給更小一級的旋渦，就這樣一級一級地往下傳遞，直到動能傳遞至最小尺度的渦時(shí)，才被粘性耗散轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮堋＿@就是湍流中所謂的“能量傳遞的級串原理”。

由于湍流中旋渦運(yùn)動的尺度范圍非常寬廣，直接運(yùn)用Navier-Stokes方程組對它進(jìn)行模擬是非常困難的，特別是高雷諾數(shù)湍流。舉一個(gè)直觀的例子，一輛以105km/h行駛的轎車，其前擋風(fēng)玻璃表面的湍流邊界層中的最小渦的尺度約為0.004毫米^[3]。試想，如果要對這輛汽車的繞流流動進(jìn)行直接模擬，那么計(jì)算域應(yīng)該包含整輛汽車，而網(wǎng)格尺寸卻又要小于最小渦的尺度，其計(jì)算量簡直是天文數(shù)字，目前世界上運(yùn)算速度最快的超級計(jì)算機(jī)也望塵莫及。

因此，目前在工程中運(yùn)用CFD軟件來模擬湍流時(shí)，普遍采用的是雷諾平均的方法，也就是將湍流中的非定常的旋渦運(yùn)動（湍流脈動）取平均運(yùn)算，得到湍流的平均運(yùn)動。從下面的視頻中可以獲得對平均運(yùn)算的直觀理解。

FLUENT在計(jì)算湍流流動的時(shí)候，實(shí)際上求解的是湍流的平均運(yùn)動。我們在觀看計(jì)算結(jié)果的云圖時(shí)，圖中所顯示的速度、壓力其實(shí)都是平均運(yùn)動的速度和壓力。

但是這帶來一個(gè)問題。我們知道，在層流流動中，根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，粘性切應(yīng)力等于速度梯度乘以粘性系數(shù)；這種粘性切應(yīng)力產(chǎn)生的原因是存在分子不規(guī)則運(yùn)動的動量交換以及分子間的吸引力。但是，在湍流流動中，用平均運(yùn)動的速度梯度乘以粘性系數(shù)來計(jì)算切應(yīng)力是不恰當(dāng)?shù)?。這是因?yàn)椋?strong>在湍流流動中，非定常旋渦運(yùn)動使得相鄰的流體層之間有很強(qiáng)的動量交換效應(yīng)，這種動量交換效應(yīng)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于分子不規(guī)則運(yùn)動導(dǎo)致的動量交換。所以，不能直接用Navier-Stokes方程組來計(jì)算湍流的平均運(yùn)動。目前最流行的辦法就是，在計(jì)算湍流的平均運(yùn)動時(shí)，將Navier-Stokes方程組中的粘性系數(shù)換成一個(gè)大得多的“湍流粘性系數(shù)”，以反映湍流中非定常旋渦運(yùn)動導(dǎo)致的動量交換效應(yīng)（這就是湍流模擬中所謂的“Bousinessq湍流粘性系數(shù)假設(shè)”）。

對于文章開頭的那個(gè)二維射流的例子，我們可以在后處理中顯示出湍流粘性系數(shù)的分布（圖5、圖6）。可以看出，湍流粘性系數(shù)要比流體本身的粘性系數(shù)（μ=10^-5Pa?s）大幾個(gè)數(shù)量級。

                                                                                        圖5  顯示“湍流粘性系數(shù)”

                                                                                         圖6  湍流粘性系數(shù)的分布

如果將表1中的粘性系數(shù)換成“湍流粘性系數(shù)”μ_t重新計(jì)算，動量方程左邊和右邊的數(shù)值就很接近了（表2）。

                                                    表2  x方向動量方程左邊和右邊的數(shù)值?？紤]湍流粘性系數(shù)

湍流模型的作用就在于計(jì)算這個(gè)“湍流粘性系數(shù)”。不同的湍流模型，如k-ε、SA、k-ω，它們的差別就在于計(jì)算湍流粘性系數(shù)的具體方法有所區(qū)別。但是，目前所有這些湍流模型都建立在某種簡化假設(shè)或者經(jīng)驗(yàn)性模型的基礎(chǔ)之上，所以都不是十分精確，而且存在普適性差的問題。對于一個(gè)湍流模型，即使它預(yù)測某個(gè)特定的流動問題很準(zhǔn)確，但是，如果換一個(gè)流動，也許就會誤差很大。

關(guān)于上述幾個(gè)湍流模型分別適用于計(jì)算哪些流動（即湍流模型的選擇問題），在FLUENT的User's Guide中有詳細(xì)的介紹。（在User's Guide中的“Choosing a Turbulence Model”這一節(jié)中的第一小節(jié)“Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) Turbulence Models”）

感謝北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院的研究生田久祾。他閱讀了本文的初稿并提出了很好的建議。