在充填問(wèn)題中一般比較關(guān)心充填時(shí)間，即從液體剛開(kāi)始注入管道到液體充滿整根管道需要多長(zhǎng)時(shí)間。下面我們以一個(gè)簡(jiǎn)單的充填問(wèn)題為例，說(shuō)明這類問(wèn)題的分析方法。如圖1，一個(gè)很大的容器與一根管道相連，管道上有一個(gè)閥門。容器里面裝有一定量的液體（假定該液體的密度是常數(shù)），并設(shè)法讓液體上方的氣體維持恒定的壓強(qiáng)（比外界的大氣壓強(qiáng)高）。由于容器很大，所以在管道充填的過(guò)程中液位變化很小，因此可以認(rèn)為與管道入口相對(duì)應(yīng)的深度處壓強(qiáng)p₀是常數(shù)。管道的出口連通大氣，因此管出口壓強(qiáng)p_out等于大氣壓力。

 

圖1  充填問(wèn)題物理模型。

在t=0時(shí)刻之前，閥門上游的管道充滿了液體，而下游的管道充滿了空氣。在t=0時(shí)刻，突然打開(kāi)閥門。我們要計(jì)算t等于多少的時(shí)候液體充滿整條管道。

分析這類充填問(wèn)題一般使用液柱模型。如圖2，我們拿充填過(guò)程中的某一時(shí)刻來(lái)分析，在這個(gè)時(shí)刻，液體已經(jīng)充填了閥門下游長(zhǎng)度為l的管道。對(duì)于從容器出口到液體前鋒的液柱，運(yùn)用牛頓第二定律。液柱受到的作用力有：（1）左邊受到的液體壓力等于管入口壓強(qiáng)p_in與管道截面面積A相乘；（2）右邊受到的氣體壓力等于壓強(qiáng)p_out與管道截面面積A相乘；（3）管道的摩擦阻力以及閥門處的局部流動(dòng)阻力。根據(jù)牛頓第二定律，液柱的加速度等于這些力的總和除以液柱的質(zhì)量。當(dāng)然，與中學(xué)物理里面牛頓第二定律的簡(jiǎn)單應(yīng)用例子相比，這里要增加一點(diǎn)復(fù)雜性，那就是液柱的質(zhì)量不是常數(shù)，而是隨著充填過(guò)程不斷增加的量。

 

圖2  充填問(wèn)題的分析。這里可能有人會(huì)問(wèn)為什么液體前鋒處的壓強(qiáng)與管出口的壓強(qiáng)都是p_out；實(shí)際上，從液體前鋒到管出口這一段管里面是有氣體在流動(dòng)的，不過(guò)，由于氣體的密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于液體的密度，所以氣體的慣性以及氣體在管里流動(dòng)時(shí)的阻力都比液體的小很多，因此可以忽略。

根據(jù)這個(gè)思路，經(jīng)過(guò)一定的推導(dǎo)，最終可以列出描述充填過(guò)程的常微分方程組^[1]：

 

其中u為管道中的液體流速，a為閥門下游管道充填的比例，即a=l / l₂ ，ρ為液體的密度，A為管道截面面積，N為代表液柱慣性大小的系數(shù)

 

其中第一項(xiàng)代表閥門上游的那部分液柱，第二項(xiàng)代表閥門下游的那部分液柱，可以看出第二項(xiàng)隨著充填比例a的增加而增加，這正是前面所說(shuō)的“液柱的質(zhì)量不是常數(shù)”的體現(xiàn)。

F是體現(xiàn)管道的摩擦阻力、閥門處的局部流動(dòng)阻力以及管入口處壓力損失（p₀與p_in的差）的一個(gè)系數(shù)：

F =β+γa

其中第一項(xiàng)代表閥門處的局部流動(dòng)阻力、管入口處壓力損失以及閥門上游那部分管道的摩擦阻力（這部分阻力系數(shù)不會(huì)隨充填比例a的增加而變化），而第二項(xiàng)代表閥門下游那部分管道的摩擦阻力（這部分阻力系數(shù)隨著充填比例a的增加而增加，因?yàn)殡S著充填比例的增加，液體和管道的接觸面積也在增大，導(dǎo)致摩擦阻力增大）。β和γ為常數(shù)，其計(jì)算方法請(qǐng)參閱[1]。

方程（1）就是前面所說(shuō)的對(duì)液柱運(yùn)用牛頓第二定律的結(jié)果。方程（2）的本質(zhì)則為液柱質(zhì)量的變化率等于從管入口流入的液體流量。

方程組（1）~（2）的初始條件非常簡(jiǎn)單，顯然就是t=0的時(shí)候u和a都等于零。求方程組（1）~（2）的解析解不太現(xiàn)實(shí)，一般是通過(guò)常微分方程組的數(shù)值積分方法（例如，龍格-庫(kù)塔法）求解。

我們用具體的數(shù)值算一下。假定p_in為218925Pa，p_out為101325Pa（海平面大氣壓力），管道的長(zhǎng)度l₁=3m，l₂=8m，管的內(nèi)徑為40mm，管內(nèi)流動(dòng)的沿程摩擦阻力系數(shù)為0.03，閥門處的局部阻力系數(shù)為5.26，管入口處的損失系數(shù)為0.5，液體密度為1000kg/m³。

計(jì)算結(jié)果如圖3，橫軸均為時(shí)間t（秒），可以看出充填時(shí)間大約為1.8秒。除了畫出流量和充填比例之外，我們還畫出了方程（1）中代表慣性的項(xiàng)NρA du/dt以及代表阻力的項(xiàng)FρA²u²?？梢钥闯龀涮畹倪^(guò)程分成三個(gè)階段。第一個(gè)階段是t=0到t=0.125秒，在這個(gè)階段中NρA du/dt比FρA²u²大，即液體的慣性比其在管道內(nèi)流動(dòng)的阻力更重要，容器和大氣環(huán)境之間的壓差主要用于加速液體，因此液體迅速加速。這個(gè)階段僅僅充填了閥門下游管道的3%。第二個(gè)階段是t=0.125秒到t=0.37秒，這個(gè)階段內(nèi)FρA²u²比NρA du/dt大，即變成液體在管道中流動(dòng)的阻力比其慣性更重要。也就是說(shuō)，容器和大氣環(huán)境之間壓差主要用來(lái)克服流動(dòng)阻力了。這一階段中液體繼續(xù)加速運(yùn)動(dòng)，但是與第一階段相比，加速得慢很多。這個(gè)階段結(jié)束時(shí)，液體充填了閥門下游管道的18%。第二個(gè)階段結(jié)束的時(shí)候（t=0.37秒），流速達(dá)到最大值。第三個(gè)階段為t=0.37秒到充填完畢。這個(gè)階段內(nèi)，隨著充填比例的增加，液體在管內(nèi)流動(dòng)的沿程損失變得越來(lái)越顯著，以致于容器和大氣環(huán)境之間壓差都不足以克服流動(dòng)阻力了，于是流速反而下降。這個(gè)階段是充填量最大的，閥門下游管道剩余的82%容積都是在這個(gè)階段充填的。

圖3  計(jì)算結(jié)果

充填時(shí)間的長(zhǎng)短對(duì)于一些應(yīng)用是至關(guān)重要的。例如，液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)起動(dòng)的時(shí)候，按照一定的時(shí)序打開(kāi)氧化劑閥門和燃料閥門，氧化劑和燃料對(duì)閥門下游的管路、集液腔、推力室冷卻通道以及噴注器頭腔進(jìn)行充填。燃料和氧化劑對(duì)這些部件的充填時(shí)間，直接影響燃料和氧化劑開(kāi)始進(jìn)入燃燒室的時(shí)刻。而發(fā)動(dòng)機(jī)起動(dòng)的時(shí)候往往需要精確地控制氧化劑和燃料進(jìn)入燃燒室的時(shí)刻，所以研究管路充填對(duì)于液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)起動(dòng)過(guò)程的分析非常重要。

上面討論的都是管道出口開(kāi)放的情形下的充填。另外還有一種情形是管道出口封閉的充填。例如像圖4中所示的那樣，在管道出口還有一個(gè)閥門。在t=0時(shí)刻之前，閥門1上游的管道充滿了液體，而閥門1與閥門2之間的管道充滿了空氣。在t=0時(shí)刻，突然打開(kāi)閥門1（但是閥門2仍然是關(guān)閉的）。在這種情形下，當(dāng)液體流入閥門1和2之間的管道時(shí)，該管道內(nèi)原有的氣體就會(huì)被劇烈壓縮，因此當(dāng)液體前鋒快要到達(dá)閥門2的時(shí)候，可以產(chǎn)生很大的壓強(qiáng)。過(guò)了壓強(qiáng)峰值之后，被劇烈壓縮的氣體還會(huì)把液體往上游推回去，形成類似于水錘那樣的反復(fù)的振蕩。這里不再贅述，感興趣的讀者可以看相關(guān)的文獻(xiàn)，例如[2]、[3]。

 

圖4  管道出口封閉的情形下的充填。

 

 The university of melbourne的研究生劉麗媛閱讀了本文初稿并提出了很好的修改建議，在此表示感謝。