典型橡膠材料超彈性本構模型及其適用性

橡膠又稱為彈性體，包括天然橡膠及合成橡膠，是無定形的高聚物。橡膠是一種超彈性材料，具有良好的伸縮性和復原性，被廣泛用作密封、減振部件。相對于金屬材料的性能表征只需要較少的參數，橡膠的特性就顯得很錯綜復雜，其物理化學性能與金屬材料有很大差別。

橡膠材料的主要特點：

(1) 不可壓縮性：橡膠材料的泊松比μ一般在0.45～0.4999范圍內變化，接近于液體的泊松比0.5，因此橡膠可以看作是一種體積近似不可壓縮的材料。

(2) 大變形特性：橡膠高分子材料變形很大，而其彈性模量與金屬材料相比卻小很多。橡膠材料的變形范圍一般在200%～500%，甚至能夠達到1000%，很多金屬材料的變形則不足0.5%

(3) 非線性：橡膠材料具有三重非線性，即幾何非線性、材料非線性和邊界非線性。橡膠材料的應力-應變關系具有明顯的非線性，其力學性能與環境條件、應變歷程、加載速率等因素有很大關聯，且隨時間延長而不斷變化。

橡膠材料本構模型及其適用性

從20世紀40年代至今，國內外許多學者提出了許多橡膠材料的本構模型，大致可分為兩大類：基于應變能函數的唯象模型和基于分子鏈網絡的統計模型。

基于應變能函數的唯象模型又可分為兩類。一類是以應變不變量表示的應變能密度函數模型，這類模型在處理橡膠彈性時，可以把橡膠材料的變形看成是各向同性的均勻變形，從而將應變能密度函數表示成變形張量不變量的函數，比如：Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型等。另一類是以主伸長表示的應變能函數模型，比如：Valanis-Landel模型、Ogden模型等。

基于分子鏈網絡的統計模型按照分子鏈的統計特性可分為兩類：高斯鏈網絡模型和非高斯鏈網絡模型。其中最具代表性的分子統計學模型包括Treloar模型以及Arruda-Boyce模型。

下面對幾種常見的本構模型進行簡要介紹。

Mooney-Rivlin模型

Mooney-Rivlin模型是一個比較常用的模型，幾乎可以模擬所有橡膠材料的力學行為。其應變能密度函數模型為：

對于不可壓縮材料，典型的二項三階展開式為：

式中：N、Cij和dk為材料常數，由實驗確定。

Mooney-Rivlin模型適合于中小變形，一般適用于應變約為100%(拉伸)和30%(壓縮)的情況。但該模型不能模擬多軸受力數據，由某種試驗得到的數據不能用來預測其它的變形行為。對于沒有加碳黑的橡膠來說，該模型能得到比較準確的結果，但不能精確模擬加了碳黑的橡膠。

Yeoh模型

Yeoh模型比較適合模擬炭黑填充NR的大變形行為，并具有用簡單的單軸拉伸試驗數據描述其他變形的力學行為的能力。其應變能密度函數模型為：

J是變形后與變形前的體積比，對不可壓縮材料，J=1，典型的二項參數形式為：

式中：N、Ci0和dk為材料常數，由材料試驗所確定，初始剪切模量μ=2C10。

Yeoh模型能描述隨變形而變化的剪切模型的填料橡膠，如加碳黑后的橡膠。而且，該模型可通過某種簡單變形實驗數據擬合的參數來預測其他變形的力學行為，描述的變形范圍也較寬。但Yeoh模型對等雙軸拉伸實驗的結果不能很好的解釋，不能準確描述小變形時的情況。

Ogden模型

Ogden R W不作應變能函數是主伸長偶函數的假設，提出以主伸長來表征應變能函數，如下式所示：

式中：μi和αi為材料常數，αi可取任何實數值。

Ogden模型與Mooney-Rivlin模型并沒有本質上的區別，僅在有限元分析中根據系數擬合的難易程度選擇合適的模型。

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ANSYS Workbench超彈性分析

ANSYS超彈性材料模型

ANSYS超彈性材料模型有很多種類，如圖1，主要包括Polynomid Form模型、Mooney-Rivlin模型、Neo-Hookean模型、Yeoh模型、Arruda-Boyce模型、Gent模型、Ogden模型、Blatz-Ko模型。在不同情況下模型的選取材料數據的獲得參數擬合及不同橡膠材料選用不同模型的應用實例用戶應根據實際材料的實驗特性等來選擇合適的模型。對于超彈應用而言，ANSYS程序本身從求解器、單元技術以及解算策略等方面都進行了完善的設計，具有很好的效率和效果。

圖1 ANSYS超彈性材料

雙參數Mooney-Rivlin模型與拉伸實驗數據在100%應變范圍內的相關性都很好，但描述壓縮變形時卻很不夠，它也無法解釋大的形變時材料的硬化行為。3項或多項Mooney-Rivlin模型可描述非常數剪切模量。然而，引入高次項后需小心計算。因其可能會導致不穩定能函數的產生，得到超出試驗范圍的非物理結果。

Gent和Yeoh均指出，高次應變能函數的應用價值很小，因為類橡膠材料的重現性是不足夠的，不允許對大量的參數進行精確的估計。因此，附加項只是用來修正實驗誤差。由于簡單和實用，在FEA中應用最廣泛的應變能函數應該首選Mooney-Rivlin模型，盡管眾所周知它并不精確。

Polynomial Form模型適用的應變范圍與多項式階次N相關，可達300%。

Neo-Hookean模型，其第1個參數等于剪切模量的1/2，而第2個參數為0。這種材料模型又有通常的剪切模量，在單相拉伸中應變直到40%，在簡單剪切中應變直到90% 時，都有很好的相關性。

Yeoh模型與其他高次模型的區別在于，它只依賴于第1個應變常數，經論證當只用來自單軸拉伸試驗的數據時，此模型適合各種不同的變形方式。這就減少了材料試驗的需求條件。低應變下應用此模型時需特別細心。

在簡單拉伸中，Ogden模型可在應變直到700%時還與試驗數據很相符。它還適應非常數剪切模量和輕微壓縮的材料行為。它已經被成功地應用于O 形圈、密封圈和其他工業產品的分析。

ANSYS Workbench參數擬合功能

利用ANSYS提供的線性和非線性回歸算法，用戶可直接輸入超彈材料的試驗數據以獲得其材料參數值，且該功能適用于所有超彈模型。用戶將試驗數據存放在一個文本文件中，可以針對多種超彈模型作曲線擬合，程序同時提供擬合的誤差范數并以圖形的方式顯示試驗數據與所計算的系數之間的關系，以便選取合適的超彈性模型。

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ANSYS Workbench橡膠超彈性分析實例

問題描述

使用ANSYS Workbench模擬橡膠材料試件的拉伸試驗，取四分之一模型進行建模，如下圖所示，在右側位置施加一定位移，計算得到產生位移后的狀態。

圖2 幾何模型

分析步驟

（1）創建靜力學分析流程。

（2）設置材料屬性：根據實驗得到的數據，分別輸入單軸、雙軸、剪切的實驗數據，得到各個實驗數據曲線，然后應用曲線擬合功能，得到計算用的材料曲線，以及相關參數。

圖3 輸入材料實驗數據

圖4 曲線擬合

（3）劃分網格：采用掃掠方式，取合適的網格密度，得到全六面體單元網格。

圖5 劃分網格

（4）施加約束及載荷：在對稱面上施加無摩擦約束，在右側施加位移約束。

圖6 邊界條件

（5）計算求解：打開大變形開個，打開自動時間步，調整最小子步數等。

（6）結果后處理：查看等效應力及等效應變。

圖7 變形云圖

圖8 等效應力云圖

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結論

ANSYS提供了豐富的超彈性材料，強大的曲線擬合功能，以及各種非線性分析設置，利用Workbench平臺操作的便利性，可以方便的進行各種橡膠材料或超彈性模型的分析。

源自CAE技術交流公眾號