——不同的模態(tài)指示函數(shù)之間有什么區(qū)別？它們又分別有什么用處呢？

——我們來討論一下這個問題。 

這是一個不錯的問題，模態(tài)指示函數(shù)非常重要。在試驗?zāi)B(tài)分析中進行數(shù)據(jù)縮減時，通常要用到幾種不同的模態(tài)指示函數(shù)，我們討論下這每一種指示工具的優(yōu)缺點，并且展示一下它們是如何對數(shù)據(jù)進行解析的。

 

通常，我們可以從測得的頻響函數(shù)中識別模態(tài)參數(shù)，但是在只有一個頻響函數(shù)的情況下，很難確定有多少階模態(tài)。使用一個頻響函數(shù)進行識別存在一些問題，因為在某個測得的頻響函數(shù)中，有可能沒有激起所有階的模態(tài)。模態(tài)可能具有方向性，很難能從一次測試結(jié)果中就觀察到所有階模態(tài)。這種問題在驅(qū)動點測量中尤為普遍，因為所有的峰值處的相位相同，空間上非?？拷膬呻A模態(tài)可能很難識別出來。因此，為了有助于進行極點的選擇，這些年來開發(fā)出很多不同的工具。主要有：

SUM —和函數(shù)

MIF —模態(tài)指示函數(shù)

MMIF —多變量模態(tài)指示函數(shù)

CMIF —復模態(tài)指示函數(shù)

SD —穩(wěn)態(tài)圖

下面我們來進行逐一討論。以圖1所示的簡單平板為例，其中存在一些密集模態(tài)，這些密集模態(tài)對所有的指示工具來說都較為困難，使用兩臺激振器和15個加速度傳感器對平板進行MIMO測試。

圖1 設(shè)置兩個參考點的平板MIMO試驗

首先討論和函數(shù)（SUM），這是一個很簡單的公式，從本質(zhì)上講，它是所測的全部頻響函數(shù)之和（有時只涉及部分頻響函數(shù)）。在系統(tǒng)模態(tài)頻率處，SUM函數(shù)會出現(xiàn)一個峰值。根據(jù)這個思路，如果考慮所有的頻響函數(shù)，那么所有模態(tài)在絕大多數(shù)頻響函數(shù)中都是可見的。包含的頻響函數(shù)越多，則在頻響函數(shù)的SUM中觀察到所有階模態(tài)的概率越大。這顯然優(yōu)于使用單條FRF，某些情況下在單條FRF曲線中不是所有的模態(tài)都可見。

所有測得的SUM如圖2所示，SUM能夠合理區(qū)分開各階模態(tài)，尤其是在模態(tài)較為稀疏的時候。圖中可以看到5個峰，這表明在所示的頻帶范圍內(nèi)至少有5階模態(tài)；SUM的另一個重要的特點是各個峰寬相差不多，如果存在密集模態(tài)，就可能無法很好地指示出所有階模態(tài)。

圖2 2個參考點和15個加速度測點的和函數(shù)

盡管SUM很有用，但是它并不能很清晰地區(qū)分密集模態(tài)，為了更好地進行區(qū)分，提出了最初的模態(tài)指示函數(shù)（MIF）。從本質(zhì)上講，MIF的數(shù)學公式就是頻響函數(shù)的實部除以頻響函數(shù)的幅值。由于實部在共振區(qū)快速穿過零點，MIF在某階模態(tài)附近會發(fā)生劇變，共振時頻響函數(shù)的實部為零，因此，MIF將在某階模態(tài)附近將下降至最小值。MIF擴展之后就是多變量模態(tài)指示函數(shù)（MMIF），即針對多參考點頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的MIF的擴展。MMIF函數(shù)同樣遵循單個MIF函數(shù)的基本特征，它的最大優(yōu)點就是多參考點數(shù)據(jù)會有多個MIF（每個參考點各有一個），可以有效識別出重根，如圖3所示。

圖3 2個參考點和15個加速度測點的MMIF

如果第一個MIF下降，表明此處有一個系統(tǒng)極點。圖3中MIF1（紅色）的每一次下降都指示了系統(tǒng)的一階模態(tài)，注意函數(shù)中有6個下降點，比和函數(shù)中觀察到的多一個。顯然，在300Hz附近有一階密集模態(tài)，在SUM中沒有被清晰地識別出來。

現(xiàn)在，如果第二個MIF在與第一個MIF同樣的頻率處下降，那么表明該頻率處有一個重根（或偽重根）。顯然，圖3中第二個MIF（綠色）表明MIF中的第一個靠近100Hz的下降點有一個重根（注意SUM在這個范圍內(nèi)僅僅指出了一階模態(tài)）。然而，第二個MIF的另一個向下墜落的小尖峰出現(xiàn)在300Hz附近，但這并不表明300Hz處存在一階模態(tài)，因為第二個MIF向下墜落的頻率與第一個MIF向下墜落的頻率不同,指示重根的兩個MIF必須在同一個頻率處同時向下墜落。

 

MMIF則是一種更為精確的模態(tài)指示工具，但前提是共振時頻響函數(shù)的實部為零，如果測量結(jié)果有一定失真或者測量結(jié)果中顯示出一些相位信息（跟非實部的正則模態(tài)或復模態(tài)有關(guān)），那么MMIF可能不能準確地指示出這些模態(tài)。

這種情況下，復模態(tài)指示函數(shù)（CMIF）是一個更有效的工具，CMIF基于FRF矩陣的奇異值分解方法確定FRF中觀測到的所有主模態(tài)。奇異值圖也有助于確定系統(tǒng)的極點，CMIF最大峰值存在的位置指示的就是系統(tǒng)的極點，每個參考點都有一個CMIF曲線，如圖4所示。

圖4 3個參考點和15個加速度測點的CMIF

顯然，兩個CMIF曲線在100Hz附近都產(chǎn)生峰，表明在100Hz附近有兩個共振峰。在300Hz附近，有跡象表明此處有兩階（或者三階）模態(tài)。在特定的頻率范圍內(nèi)，CMIF更加明確地指示出了極點的數(shù)目。

 

所有的工具都有助于極點的提取。最后一個工具是穩(wěn)態(tài)圖（SD），其基本原理是如果極點是系統(tǒng)的全局特征，那么從模態(tài)階數(shù)不斷增長的數(shù)學模型中提取的極點將隨著模態(tài)階數(shù)的增加而重復出現(xiàn)。隨著模型階數(shù)的增加，其它指示工具將不具備這種連續(xù)指示的特點。當極點變?yōu)榉€(wěn)定的狀態(tài)時，這些特征圖將更加準確地指示出系統(tǒng)的極點。圖5展示出了一個比之前更窄的頻帶內(nèi)的穩(wěn)態(tài)圖，注意在100Hz附近有重根，另外在300Hz附近也存在一對重根（在以后的文章中我們將討論穩(wěn)態(tài)圖的更多細節(jié)）。所以這再次證實了從MMIF和CMIF得到的結(jié)果。

圖5 頻響函數(shù)的穩(wěn)態(tài)圖

需要討論的內(nèi)容還有很多，但在這篇文章中已經(jīng)解釋了大部分的模態(tài)指示工具，如果你有關(guān)于模態(tài)分析的其它任何問題，歡迎垂詢。

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