頻域振動疲勞計算的最新技術（一）
MSC Nastran Embedded Vibration Fatigue (NEVF)介紹
概述
疲勞損傷計算方法主要有準靜態方法、時域振動方法和頻域振動方法。 本文首先對這三種方法進行了描述和比較，闡述了頻域振動疲勞計算的優異性。并在介紹了利用功率普密度進行頻域疲勞分析具有足夠精度的研究結果基礎上，介紹MSC Nastran最新推出的頻域振動疲勞壽命預測(NEVF)的功能及技術突破。在稍后發布的頻域振動疲勞計算的最新技術系列文章（二）和(三)里， 我們還將詳細闡述頻域振動的理論以及頻域的FEM振動計算。
疲勞損傷計算方法
A)準靜態分析法
將載荷的時間歷程進行靜態分析(SOL 101)，得出結構的應力時間歷程分布，然后把多通道的載荷線形疊加后進行疲勞分析。疲勞損傷主要是來自于局部的應力集中。
當激勵載荷的頻率遠小于所分析結構的固有頻率時，結構的動力響應可以忽略，比如，對于一般車輛疲勞試驗路面，波長和車速已知，來自路面的載荷頻率通常小于6Hz，遠小于白車身的固有頻率，準靜態法適用。
B)時域振動分析法
當疲勞路面為激勵共振路面（如鵝卵石和搓板路面）時，路面波長比較短，在車輛達到一定速度時加載頻率顯著提高，有必要考慮其動力響應。動態載荷會引起共振（局部共振，整體共振）。發生振動的結構疲勞損傷，經常是局部振動和應力集中兩種因素的共同作用的結果，這是只考慮應力集中一項因素的準靜態法所難以對應的。
在高于結構固有頻率的載荷下進行疲勞損傷評價，為了考慮結構振動引起的疲勞破壞，需要進行結構在動態載荷下的動態響應分析。但是，對于具有幾十萬個單元的白車身級別的時域疲勞分析(SOL 109， SOL 112)，即使只對線性系統進行幾十秒的瞬態分析也很難完成。
C)頻域振動分析法
一般來說得到一個應力的功率普密度(PSD)比應力的時間歷程要容易。 而且快速的頻率響應(傳遞函數)計算比耗時的時域動力響應計算更有參考價值。比如在上世紀80年代的海洋工程就面臨這樣的問題，海洋平臺的結構非常復雜，并且承受隨機風力載荷和隨機波浪載荷，典型的設計分析中需要考慮70種以上的載荷組合。可想而知，用時域分析進行動力響應計算是非常困難的。
而有限元方法的頻域響應分析可以大大簡化問題的復雜性。設計人員可以對結構的FEM模型先做一個頻域響應，得到結構的應力與波高的傳遞函數。這樣他就可以簡單地把傳遞函數乘上波高的PSD得到應力的PSD，從計算結果設計人員不光可以判斷發生疲勞的部位，還可以知道引起該部位的疲勞損傷的主要局部模態進而提出改進方案。
文獻[1] - [5] 分別顯示了頻域疲勞分析在航空/航天，汽車，鐵路，海洋平臺的運用得到了廣泛的關注。
疲勞損傷的S-N分析
任何疲勞分析的起點都是結構或者部件的響應。在準靜態和時域分析中常常是用應力或者應變的時間歷程。疲勞發生在應力或者應變時間歷程的循環過程。應力幅值和平均應力是兩個重要的參數。目前，應力幅值和平均應力是采用上世紀70年代日本學者提出的雨流計數法( Rainflow Cycle Counting)從時間歷程里抽取出來的。下面是一個利用雨流計數法從時域信號抽取的應力幅值和平均值的例子[6]。雨流計數法的輸出常常是以幅值和平均值的柱狀圖來表示的(圖1)。應力時間歷程雨流計數法的輸出結果，X軸為每個循環的應力幅值，y軸為平均應力；z軸為循環次數。
圖1. 典型應力時間歷程雨流計數法的輸出結果
每個循環都會引起一定的疲勞損傷，可以從每個循環的損傷疊加得到時間歷程的總體損傷。常用的方法為Palmgren-Miner累計損傷法。
每個應力循環引起的損傷可以用材料的壽命曲線（SN Curve）來計算。壽命曲線（SN Curve）表述了在一定的應力幅度（S）下，材料失效所需的載荷次數（Nf）。在N次載荷下，材料的損傷可以從材料失效所需的載荷次數的比例關系得到。用Palmgren-Miner 累計損傷法可以表達為：
Ni是某一個特定應力幅值/平均的加載次數；i是幅值和平均值組合的可能個數；Nf在特定幅值和平均值組合的應力下材料失效的加載次數；這樣就可以用材料失效的比例關系表達來累計損傷。部件的疲勞損傷可以用下式表示：
頻域疲勞分析方法
基于頻域的快速疲勞壽命計算的需求是在上世紀80年代首先從海洋工程來的。需要設計大型海洋平臺同時需要避免疲勞損傷。由于結構很大而且載荷組合太多時域響應計算非常困難。波載荷風載數據可以用頻域的功率譜密度表示，顯然利用頻域分析加快疲勞壽命計算更合理。問題是如何利用應力的功率頻譜密度來得到足夠精確的疲勞壽命計算結果。
頻域振動疲勞分析的方法是直接利用應力的頻域功率普密度（PSD）來再現應力時間歷程，并用式（1）和（2）來計算疲勞壽命。
頻域是表述時域信號的另一種形式，現在x軸代表頻率而不是時間。把時域信號轉換到頻域時，我們把信號傳換成離散的，不同幅值/頻率/相位的正弦波。這些正弦波疊加起來就是原來的時間歷程。這種把時域信號轉換正弦信號的方法稱為“傅里葉變換”。每個正弦矢量有一個幅值和相位。
實際上我們常常把頻域信號表達為“功率頻譜密度（PSD）”圖。這個歸一化的圖表述了每個正弦波對于其頻率的均方值。圖2是一個典型的功率頻譜密度（PSD）。正弦波的均方值是通過計算PSD曲線下某一個頻率范圍的面積得到的。均方值可以用式（3）來計算。
圖2. 隨機時間歷程的功率譜密度
從頻域信號轉換成時域信號我們通常把頻域的復數矢量進行傅里葉反變換，就可以得到原來的時域信號。值得注意的是， 因為功率譜密度（PSD）不包含相位信息，傅里葉反變換用于功率譜密度并不能完全再現原來的時域信號。但是對于各態歷經固定相的高斯分布隨機過程，我們可以取出一段時間的時間歷程，假設它代表了原始的時間歷程的統計特性，如此假設是偏于安全的。實際上我們看到許多自然現象屬于各態歷經固定相的高斯分布隨機過程，比如風速和波高。嚴格地說，發電機、發動機、汽車路載并不屬于各態歷經固定相的高斯分布隨機過程。但是中心極限定理告訴我們這些現象基本滿足各態歷經固定相的高斯分布隨機過程的假設。
1964年Bendat[7]提出的第一個利用功率譜密度來評估疲勞壽命的方法， 1985年Dirlik提出了的一個利用Monte Carlo技術的經驗方法，20年間， 頻域振動疲勞理論得到了不斷的發展和驗證。 Bishop[8]做了大量的工作證明了Dirlik方法在不同的雨流范圍都有很好的計算精度。表（1）是一個用頻域計算的Howden HWP330的風力渦輪機的疲勞壽命與用時域方法的比較。從表上可以看到，Dirlik方法非常穩定，與時域計算結果的平均差別只有4%。在本介紹系列文章（二）里，我們將介紹Dirlik方法的理論細節。
表1. 不同頻域疲勞壽命計算方法的比較
MSC Nastran Embedded Vibration Fatigue（NEVF）介紹
頻域疲勞分析雖然具有很多明顯的優點，其精度的可靠性也已經從大量的研究工作得到了證實。但是目前的商業有限元軟件存在的技術瓶頸，嚴重阻礙了該方法的普及和應用。
MSC Nastran的最新版本2017推出了頻域振動疲勞分析的MSC Nastran Embedded Vibration Fatigue （NEVF）模塊。它突破了一直困擾用戶采用頻域振動疲勞分析方法的瓶頸，使頻域振動疲勞分析得到真正普及，廣大設計工程師能充分享受其優異性的第一款商業軟件。
如圖（3）所示，對于時域疲勞分析，100個載荷時間歷程（event）的工況需要用Nastran SOL112計算100次，而對于頻域分析，只需要用Nastran SOL111計算一次。在減少了計算時間的同時，提供了大大提高計算模型規模的可能性。
圖3. 時域疲勞分析計算和頻域疲勞分析計算得比較
另外，如圖(4)所示，NEVF提供了多達100個通道的時間歷程自動轉換成功率普密度和它們之間的互功率譜的自動轉換工具（Time2PSD）。
圖4. 多通道時間歷程的PSD自動轉換
NEVF還實現了確定性載荷（正弦波），正弦掃描載荷，窄頻帶與寬頻帶隨機載荷的疊加（圖5）。使得自然載荷，試驗載荷與FEM分析載荷更接近。在FEM分析中更能忠實的表現實際的工作載荷或者試驗條件。
圖5. 各種載荷類型的疊加
NEVF還能利用Neuber缺口修正理論和材料的彈塑性數據，可以預測彈塑性峰值響應數據，并與線性結果進行比較（圖6）。Neuber notch修正支持應變疲勞（考慮塑性應變），可以輸出塑性因子，plasticity index=Ee-p/Ee，基于頻域的應變壽命分析。
圖6. 利用線性計算結果進行非線性評估
同時，由于頻域振動和疲勞損傷在同一個求解器里計算，不需要保留中間結果，使得內存的利用率大大提高。并且可以在MSC Nastran的環境中，以疲勞壽命為約束，利用SOL200求解序列進行優化分析。同一工具完成多項工作，不僅能提高計算效率、降低用戶的學習曲線，還可減少用戶的采購費用。
總結
用有限元方法進行頻域的疲勞分析的基礎理論研究經歷了30多年，已經日趨成熟。相對于時域疲勞分析，頻域疲勞分析不但能夠節省大量的計算時間，還能在預測結構的疲勞壽命的同時，進一步發現影響疲勞壽命的原因。通過查看PSD函數在頻域上的分布，可以找到影響疲勞壽命的關鍵振動模態，并且發現關鍵部件和部位，從而對提高疲勞壽命提出有針對性的設計改善方案。
MSC Nastran在版本2017中推出了MSC Nastran Embedded Vibration Fatigue（NEVF），解決了許多阻礙頻域振動疲勞方法推廣的技術瓶頸。大大提高了頻域振動疲勞分析的可操作性、計算效率和適用范圍。
參考文獻
[1] 吳濤等，“基于路譜頻域的車身疲勞分析”，計算機輔助工程，第21卷 第2期，2012年4月；
[2] 康晨辰，聶宏，“飛機尾翼聲振疲勞疲勞壽命分析”，學科分類號：082501， 論文編號：1028701 16-S155；
[3] 樸明偉，方吉，“基于剛柔耦合仿真的集裝箱車體振動疲勞分析”中圖分類號：U270 U272。6， 文獻識別碼：A
[4] 孟凡濤，胡愉愉，“基于頻域法的隨機振動載荷下飛機結構疲勞分析”，中航工業西安飛機工業集團技術中心，南京航空航天大學學報，第44卷 第1期，2012年2月；
[5] 管鵬，肖守衲，“鐵道車輛設備隨機振動疲勞壽命分析”， 國內圖書分類號：U260。39，2012；
[6] Andrew Halfpenny，"A frequency domain approach for fatigue life estimation from Finite Element Analysis"， DAMAS 99， Dublin;
[7] Bendat JS (1964)。 “Probability Functions for random responses。” NASA report on contract NAS-5-4590
[8 ]Bishop NWM，Hu Z， Wang R， (1003)。“Methods for rapid evaluation of fatigue damage on the Howden HWP330 wind turbine”， British Wind Energy Conference， York。
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