這次課程，我們簡單介紹曲面基本群（一維同倫群）的理論梗概。主要概念有基本群的定義，表示，計算。然后我們介紹覆蓋空間理論，特別是萬有覆蓋空間理論，曲線同倫檢測算法。【1】給出了課程的視頻。

這些理論工具在計算機圖形學(xué)方面具有巧妙的應(yīng)用實例，誘導(dǎo)了經(jīng)典算法。我們僅舉兩個最為直接的例子：Konrad Polthier首先提出的曲面四邊形網(wǎng)格化算法, QuadCover；Yaron Lipman提出的用深度學(xué)習(xí)來進行曲面的語義分割算法。這些算法的精髓來自于覆蓋空間理論。

下一課，我們計算曲面單位切叢的基本群，介紹光滑同倫理論，這是瑟斯頓提出的用于解決“神圣網(wǎng)格”問題的理論基礎(chǔ)。

計算機圖形學(xué)中的應(yīng)用

曲面四邊形網(wǎng)格化

圖1. 曲面的四邊形網(wǎng)格化。

如圖1 所示，曲面的四邊形剖分是計算機圖形學(xué)的一個基本問題，四邊形網(wǎng)格化對于計算力學(xué)而言非常重要。通常，我們可以計算曲面在每點的主曲率方向（principle direction），這樣我們在曲面上定義了一個光滑標架場（Frame Field）。標架場具有一些奇異點。例如在臍點處（ambilical point），標架無法定義。

圖2. 分支覆蓋（Branch Covering）。

我們可以構(gòu)造曲面的分支覆蓋空間，以奇異點為分支點，然后將曲面上的初始標架場“提升”到覆蓋空間上的一個矢量場。然后，我們將覆蓋空間的矢量場進行分解，求得調(diào)和分量，在投影回原來曲面，得到兩組光滑矢量場。矢量場的積分曲線誘導(dǎo)了曲面的四邊形網(wǎng)格。具體細節(jié)可以在【2】中找到。這種方法的關(guān)鍵思想是覆蓋空間的概念，提升的概念，和矢量場的分解。

深度學(xué)習(xí)和曲面的結(jié)合

圖3. 曲面參數(shù)化，將曲面映射到平面長方形區(qū)域，生成“幾何圖像”。

目前，計算機圖形學(xué)領(lǐng)域的一個研究熱點是將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和曲面結(jié)合，用深度學(xué)習(xí)的方法來進行幾何處理，例如對曲面進行語義分割（symantic segmentation）。傳統(tǒng)的卷積神經(jīng)網(wǎng)的輸入是二維圖像，因此我們需要將曲面轉(zhuǎn)換成“幾何圖像”，如圖3所示。我們將曲面映射到平面區(qū)域，然后在平面上重新采樣，得到二維點陣。

圖4. 用平環(huán)覆蓋拓撲球面。

幾何圖像的一個缺陷是邊界的不連續(xù)性。為了使邊界光滑，我們采用分支覆蓋。覆蓋空間是拓撲環(huán)面，拓撲環(huán)面的覆蓋空間是整個二維平面，可以作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入。如圖4所示，大衛(wèi)頭曲面是拓撲球面，我們選擇三個奇異點，構(gòu)造4重分支覆蓋，形成一個拓撲環(huán)面。拓撲環(huán)面的覆蓋空間是二維平面。在【3】中，我們可以找到實現(xiàn)的細節(jié)。

基本群的概念和表示

圖3. 曲面上的螞蟻。

代數(shù)拓撲由龐加萊創(chuàng)立。基本群的想法比較直觀：假如我們是生活在曲面上的螞蟻，一輩子沒有跳離過曲面，因此沒有三維的概念。那么，我們?nèi)绾闻袛辔覀兩畹那媸欠裼小岸础保?/p>

圖4. 拓撲球面和拓撲輪胎面。

如圖4所示，拓撲球面沒有環(huán)柄，小貓曲面具有一個環(huán)柄，具有三維的“洞”。那么，這個“洞”是因為曲面嵌入在三維歐式空間中所產(chǎn)生的嗎？換言之，這個“洞”是曲面和三維空間的相對關(guān)系，還是曲面自身內(nèi)蘊的特性？

圖5. 拓撲輪胎曲面上，存在無法縮成點的圈。

如果螞蟻比較智慧，它會追蹤曲面上的封閉路徑。拓撲球面上，所有的圈都能夠縮成一個點；拓撲輪胎上，存在一些圈無法縮成點，如圖5所示。“圈是否能夠縮成點”的思想成為了同倫倫的源頭。

圖6. 道路同倫。

基本概念

我們考察曲面上的道路，如果兩條道路具有相同的起點和終點，并且一條道路能夠在曲面上漸變成另外一條道路，則我們說它們彼此同倫，如圖6。

如果道路的起點和終點重合，則我們稱之為環(huán)路。我們在曲面上選定一個基點p。考察所有從基點出發(fā)，又回到基點的有向環(huán)路，將它們進行同倫分類。

• 定義有向環(huán)路的乘法：兩條環(huán)路首尾相接，構(gòu)成一條更長的環(huán)路，則更長的環(huán)路為原來兩條環(huán)路之積，如圖7。

• 能夠縮成基點的環(huán)路被視作單位元。

• 一條有向環(huán)路方向取反，所得的逆向環(huán)路被視為原來環(huán)路的逆元，如圖8。

圖7. 環(huán)路乘積。紅色的環(huán)路是兩個黑色環(huán)路的乘積。

可以直接驗證，所有過基點的有向環(huán)路同倫等價類，在連接操作（乘法）下成群。這個群被稱為是曲面的基本群，或一維同倫群，記為；

圖8. 環(huán)路取逆。紅色的環(huán)路是黑色環(huán)路的逆。

表示

拓撲空間的同倫群的概念雖然直接，但是依然抽象，我們需要更為具體實際的表示方法。一般的方法是用同構(gòu)的一個群，所謂的“詞群”，來表示。

首先，假設(shè)我們給定一組“字母”，例如所有的英文字母，字母組成了詞。兩個詞拼接成一個更長的詞，這定義了詞的乘法。顯然，“空詞”是這個乘法的單位元。同時，每個字母可以求逆，例如互為逆元，它們之積為空詞，即單位元。這樣，所有的詞在拼接的乘法下構(gòu)成了一個群。這個群是由所有英文字母所自由生成的。

假設(shè)，存在一組特殊的詞，“關(guān)系"，它們等價于空詞。給定一個詞，我們可以對其進行如下基本操作：

1. 在任何位置插入一個關(guān)系詞，或關(guān)系詞的逆，

2. 如果在詞中，存在一個子詞等于某個關(guān)系詞，或關(guān)系詞的逆，去掉這一子詞。
   

給定兩個詞，如果我們能夠?qū)⑵渲械囊粋€經(jīng)過有限個基本操作變成另外一個，則我們說這兩個詞彼此等價。

所有詞的等價類，在拼接操作的乘法下成群，被稱為“詞群”。一個詞群的符號表示為 {生成元，關(guān)系詞} 。

典范表示

在可定向的緊曲面上，存在基本群的生成元:

滿足如下條件：

這里a.b代表環(huán)路a和環(huán)路b的代數(shù)相交數(shù)。所謂代數(shù)相交數(shù)可以如下理解。如果環(huán)路a和環(huán)路b橫截相交于一點q, 并且a的切向量叉積b的切向量和曲面在q點的法向量一致，則q的指標為+1，如果相反，則指標為-1。如果環(huán)路a和環(huán)路b在點q相切，則q點的指標為0. 環(huán)路a和環(huán)路b的代數(shù)相交數(shù)等于所有交點的指標之和。

這種基本群的生成元被稱為是基本群的典范基底。我們可以將曲面沿著一族典范基底切開，得到單連通的4g邊形，所得的區(qū)域被稱為是曲面的一個基本域，如圖7所示。基本域的邊界是

邊界可以縮成一個點。

圖9. 基本群的典范基底。

曲面上任何一條環(huán)路可以經(jīng)同倫變換，使得它和典范基底只相交于基點。然后，將此環(huán)路最終分解為多個子環(huán)路的乘積，每個子環(huán)路只經(jīng)過基點一次。在基本域上，每個子環(huán)路是連接兩個角點的道路。道路可以同倫變換到基本域的一段邊界上，由此子環(huán)路可以由，及其逆生成。這證明了是基本群的生成元。因此，曲面基本群的典范表示是:

.這里，g被稱為是曲面的虧格，其直觀意義是曲面上“環(huán)柄”的個數(shù)。每個環(huán)柄上有一對經(jīng)度環(huán)路和緯度環(huán)路，如圖9所示。

基本群的計算方法

圖的基本群

首先，我們考慮最為簡單的情形：拓撲空間為一個圖（Graph），記為G(V,E)，這里V是頂點集合，E是邊的集合。圖中任何非平庸的環(huán)路都無法縮成一個點，因此圖的基本群是自由生成的，其關(guān)系式為空集。首先，我們計算G的一個生成樹（Spanning Tree）T，即T是G的一個不含任何環(huán)路的子圖，同時T包含所有頂點。那么G\T由一些邊組成，我們稱之為“余邊”：

一般拓撲空間

一般拓撲空間的基本群計算主要是基于CW-胞腔分解。所謂k維CW-胞腔，就是k維拓撲圓盤。例如0維胞腔是點，1維胞腔是線段，2維胞腔是拓撲圓盤，3維胞腔是實心球體，等等。我們用

圖12.虧格為1的曲面的CW-胞腔分解。

理論證明

這里介紹的同倫群的組合算法是基于Seifert-van Kampen定理，這個定理的實質(zhì)是分而治之的策略。就是將原來流形分解成子流形，分別計算每個子流形的基本群，然后將子流形的基本群拼成原來流形的基本群。

基本概念

直觀而言，覆蓋映射局部是拓撲同胚，但全局是多對一的映射。

我們將許多基本域的拷貝沿著相應(yīng)的邊界逐片粘和起來，粘和過程中保證所得曲面一直是單聯(lián)通的。

最終我們所得的曲面被稱為是原來曲面的萬有覆蓋空間。

如圖1所示，對于虧格為1的曲面，其萬有覆蓋空間可以配上一個平直黎曼度量，從而鋪滿整個歐式平面；對于虧格為2的曲面，其萬有覆蓋空間可以配上一個雙曲度量，從而鋪滿整個雙曲平面（歐式單位圓盤）。

圖13. 虧格為1曲面的萬有覆蓋空間。

提升和升騰

圖14. 環(huán)路提升。

如圖2所示，我們在樓下找一族開覆蓋

拓撲,代數(shù)關(guān)系

直接應(yīng)用

同倫檢測 在計算拓撲中，判定兩個復(fù)雜環(huán)路是否同倫是一個饒有興味的問題。

圖15. 同倫檢測。

我們可以將底流形上的環(huán)路提升到萬有覆蓋空間的道路， 然后判斷這些道路是否起止于同樣的點。

不動點類問題

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【1】http://m.iqiyi.com/w_19rtqmw8mp.html?msrc=10_107_192&u1=qyid1424935073&wx_uid2=wxidoG0a9jh7lM1t3z2B8P3BDI9fbOwM

【2】F. Kalberer, M. Nieser and Konrad Polthier, "QuadCover - Surface Parameterization using Branched Coverings", Computer Graphics Forum, 2017.

 

【3】H. Maron, M. Galun, N. Aigerman, M. Trope, N. Dym, E. Yumer, V. Kim, Y. Lipman, Convolutional Neural Networks on Surfaces via Seamless Toric Covers, SIGGRAPH 2017.

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