結構拓撲優化的基本原理和三種常用的方法

什么是拓撲優化設計？

拓撲優化設計是在給定材料品質和設計域內，通過優化設計方法可得到滿足約束條件又使目標函數最優的結構布局形式及構件尺寸。

圖1 擺臂拓撲優化的設計與非設計區域

圖2 施加載荷及邊界條件的擺臂有限元模型

自1988 年Bendsoe與Kikuchi提出基于均勻化方法的結構拓撲優化設計基本理論以來，近二十幾年間結構拓撲設計研究得到深入和廣泛的研究，已成為國際工程結構與產品創新設計領域的熱點。

目前，拓撲設計理論在柔性受力結構MEMS器件及其它柔性微操作機構的設計中得到了廣泛的研究。

目前結構優化技術有四大領域

• 尺寸優化( sizing optimization)
  

• 形狀優化(shape optimization)

• 拓撲與布局優化(topology optimization)

• 結構類型優化

拓撲優化設計的流程

目前主要的拓撲優化方法

1. 均質化方法(homogenization method)

均質化方法是連續體結構拓撲優化研究中應用較廣的一種物理描述方法。Bendsoe與Kikuchi于1988年提出基于均質化方法的結構拓撲優化設計基本理論。

 

其基本思想是在拓撲結構的材料中引入上圖所示微結構。實體材料所占的面積可用以下表達式來表示：

單元的密度函數為：

式中：0 ≤a≤1，0≤b≤1，Ω是設計區域，Ωs是實體區域，ρs是材料的密度，其設計參數有a、b和該微結構的方向角θ。

主要應用領域：目前均勻化方法研究范圍主要涉及多工況平面問題、三維連續體問題、振動問題、熱彈性問題、屈曲問題、三維殼體問題、薄殼結構問題和復合材料拓撲優化等方面的問題。

2. 相對密度法(artificial materials) 

相對密度法是一種常用的拓撲優化方法，基本思想是不引入微結構，而是引入一種假想的相對密度在0～1之間可變的材料。它吸取了均勻化方法中的經驗和成果，直接假定設計材料的宏觀彈性常量與其密度的非線性關系。其中應用得比較多的模型是SIMP(solid isot ropic microst ructure with penalization)法。

其基于最小柔度的優化模型如下：

設材料模型為：

則拓撲優化模型為：

式中：ρ0和E0分別是均質實體的密度和彈性，xe是單元的相對密度，p是懲罰因子；U、F是分別是位移矢量、力矢量，K是總體剛度矩陣，Ue是單元位移矢量，Ke是單元剛度矩陣，N是單元總數，f是體積系數。

優化時以單元的相對密度xe為拓撲設計變量，這樣結構拓撲優化問題被轉換為材料的最優分布問題。

3. 進化結構優化方法( evolutionary structural optimization) 

進化結構優化法是由Xie和Steven提出的，其起源于應力設計技術，認為在設計域內，在結構上不起作用的材料，即那些低應力或低應變能量密度的材料是低效的，可以去除的。材料的去除可以通過改變作為應力或應變能量密度函數的彈性模量或直接刪去那些低應力或低應變能量密度的材料空間。通過將無效或低效的材料一步步去掉，剩下的結構將逐漸趨于優化。

進化結構優化方法是一種能夠同時刪除和增加材料的進化結構優化方法，即在刪除低效材料的同時增補高應力區域周圍材料，初始設計的區域可以比較小，從而提高了計算的效率。

拓撲優化的求解方法

• 優化準則法(optimality criteria)
  

• 序列線性規劃法(SLP：sequential linear programming)
  

• 移動漸進線法(MMA：method of moving asymptotes)
  

拓撲優化中的數值不穩定問題

(1) 棋盤格式問題：所謂棋盤格式,是指優化過程中材質密度周期性高低分布的一種現象。

(2) 網格依賴性問題：網格依賴性是指隨著結構所劃分的單元的數量改變，所得的優化結果也跟著變化，即經常出現的結構拓撲不具有唯一性。

(3) 局部極值問題：當選取不同初值時，可能導致其優化結果收斂于不同的局部極值點。

歡迎關注微信公眾號：CAE部落