你不知道的CAE小常識（二十一）（二十二）

關于有限單元法中節（結）點與積分點的幾點釋疑

節點和積分點是有限單元法（FEM）的兩個基本概念，初涉有限元計算的同志往往在這點上產生混淆，假設導師面試的時候，問單元應力是什么，若回答不慎，將貽笑大方，得不償失。本文試圖以簡略易懂的說法來闡述節點和積分點的區別。

1.節點位移是有限元法的基本未知量。節點構筑了問題域的幾何離散化形狀，節點是形函數的零點，通常形函數是以節點為依據進行假設的。形函數決定了單元內部各點運動的位移模式（常用帕斯卡三角形來選擇單元位移模式），這樣就形成了數學上所說的插值。

有限元法的原理就是將問題域分割成N多小單元，在每個單元內采用簡單的函數來近似表達單元的真實位移，將各單元再連接起來，就可以近似描述整個問題域的運動。因此，有限元法從根本上就是精確的，而不是準確的。

2.積分點是單元進行數值積分的已知量。有限元法中一般采用高斯積分，但是積分方法不限于高斯積分，如果有人用了Irons積分或者Hammer積分，請不要驚訝。在形成單元剛度矩陣和進行節點應力磨平的時候，需要高斯積分。

以等參單元為例，其剛度矩陣 ，這個就需要數值積分來快速計算，高斯點坐標及權系數如表4.2[王勖成]所示。

老師授課時一般對常應力單元進行推導，而常應力單元只有一個積分點，被積函數是常數，因此體現不出高斯積分來。很多老師對高斯積分在單元剛度矩陣的應用不予細述，導致部分同學對單元積分點認識不足。

3.單元應力指的是高斯積分點的應力，而非節點上的應力。有了位移模式，再通過虛功原理得到單元剛度矩陣，然后聚合總剛，求解平衡方程，就會把基本未知量——節點位移求出來了。通過節點位移得到單元應變結果，利用物理方程求得單元應力結果。

在等參元中，單元中n+1階(n=p-m)高斯積分點上的應變或應力近似解比其它部位具有較高的精度，因此我們稱(n+1)階高斯積分點是等參元中的最佳應力點。因此有限元法中是以通過節點位移根據位移模式推出高斯點位移，然后求得應變和應力結果（苦逼的常應力單元，單元內各點應變、應力是一樣的，so，你懂的）。

4.高斯點是等參單元內最佳應力點。高斯積分點雖然是單元內最佳應力點，但在節點上并非最佳，節點應力有一種Newton-cotes積分方法。因此，有的FEM程序會采用其他積分方法以獲得單元邊界或者節點上的精確應力。

5.節點力是高斯點應力在單元內積分，再累加其他單元的相同節點結果得到節點力;而節點應力是通過高斯點應力外推通過平均各單元外推應力而得（應力磨平）。

6.常見單元的高斯積分點位置示意。

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