通常有必要研究其部分裝載歷史期間其響應不穩定的結構的后屈曲行為。本例中的兩個模型說明了使用修改后的Riks方法，該方法用于處理這種情況。該方法基于在由位移和比例加載參數限定的空間中沿著靜態平衡路徑以固定增量移動。實際負載值隨著解決方案的進行而增加或減少。 Abaqus理論指南“2.3.2節的”修改的Riks算法“中描述了在Abaqus中實現的修改后的Riks方法。

其他兩個模型說明了使用粘滯阻尼。一個實例應用粘性阻尼作為表面接觸的特征，其允許定義與表面之間的相對速度成比例的“粘性”壓力。 “Abaqus理論指南”第5.2.1節“接觸壓力定義”中描述了Abaqus中此選項的實現。另一個例子將體積比例阻尼應用于模型。 “Abaqus Analysis用戶指南”第7.1.1節“解決非線性問題”的自動穩定部分介紹了該選項的實現。

這里考慮了三種不同的情況。第一個是經受壓力負載的夾緊的淺拱。這種情況的參考解決方案由Ramm（1981）和Sharafi和Popov（1971）給出。第二種情況是經受點載荷的夾緊鉸鏈圓弧的不穩定性分析。 DaDeppo和Schmidt（1975）給出了該問題的確切解決方案。第三種情況是淺拱問題的修改，其中端部被釘扎而不是被夾緊，并且拱被剛性沖頭壓下。

模型和解決方案控制

淺圓拱如圖1.2.1-1所示。由于變形是對稱的，拱的一半被建模。使用B21型（線性插補光束）的10個元件。首先施加均勻的壓力以將弓穿過。然后將負載反向，以便在壓力被去除時也發現行為。

深圓弧如圖1.2.1-2所示。拱的一端被夾緊，另一端鉸接。在拱頂部施加集中的載荷。弓經歷極大的偏轉，但小的應變。由于不對稱邊界條件，拱門將向鉸鏈端移動，然后塌陷。對于大多數的響應歷史來說，這個拱門幾乎是不可分割的。使用類型B31H的六十個元素。使用混合元素，因為它們最適合于諸如此類的問題。

解決方案控件用于設置非常緊的收斂容限，因為問題包含多個平衡路徑。如果不使用嚴格的公差，則響應可能遵循與所示路徑不同的路徑。

在Riks程序中，不能指定負載大小的實際值。相反，它們作為解決方案的一部分計算，因為“負載比例因子”乘以加載數據線上給出的負載大小。用戶規定的負載大小僅用于定義方向并估計步長的負載初始增量的大小。該初始負載增量是初始時間增量與時間段的比率以及加載選項中給出的負載量值的乘積。用戶可以通過指定最大負載比例因子或節點處的最大位移或兩者來終止Riks分析。當計算出這些限制中的任何一個的解點時，分析將停止。無論如何，或者如果兩個選項都不被使用，分析結束時超出步長的最大增量。

在諸如這些的直通式研究中，結構可以在完全捕捉之后承載增加的負載。因此，通過指定最大負載比例因子便于方便地進行分析。

對于夾緊的淺拱，初始咬合發生在約-1000（力/長度2單位）的壓力下。因此，-250（力/長度2單位）似乎是要應用的負載的第一增量的合理估計。因此，在1.0的時間段和-5000的壓力負荷（力/長度2單位）中規定了初始時間增量為0.05。該解決方案將在約-2000（力/長度2單位）的壓力下充分發展。因此，當負載比例系數超過0.4時，分析結束。

為了說明在幾個步驟中使用Riks，還包括第二步，其中將壓力從拱頂上取下，使其將朝向其初始配置。在Riks分析中的任何一點，實際負載由下式給出： p0在前一步驟結束時的負載 是當前步驟中規定的負載大小，并且 是負載比例系數。拱被卸載，使得在初始時間增量中，去除約0.15 的壓力。在1.0的時間段內使用0.05的初始時間增量，對該重新啟動的步驟規定了負載。此外，我們希望分析結束時，所有的負載被刪除，并且拱已經返回到其初始配置。因此，為拱的中心設定位移閾值0.0。當這個限制被越過時，分析結束。因為Abaqus必須在初始Riks步驟結束時接收負載大小以啟動下一步，所以Riks步驟之后的任何步驟只能作為上一步驟中的重新啟動作業完成。

對于深度夾緊鉸鏈，初始卡扣發生在約900（載荷單位）的載荷下。指定的負載大小為100（力單位），最大負載比例系數指定為9.5。

用剛性沖頭壓下的淺拱形如圖1.2.1-3所示。分析使用與第一個問題相同的拱形模型。然而，端部被固定而不是夾緊，并且通過沖頭的位移施加負載。固定邊界條件使得問題比夾緊端的情況更不穩定。一個初步的分析，其中弓被拱形中點的指定位移壓下，表明該力在卡通過程中將變為負值。因此，如果拱形物用剛性沖頭壓下，則Riks方法將不會幫助收斂，因為在彎曲的瞬間，拱與沖頭分離，并且沖頭的移動不再控制拱的位移。因此，引入接觸阻尼以幫助收斂。具有表面接觸的粘性阻尼增加了與相對速度成比例的壓力，以減慢拱與沖頭的分離。

粘滯阻尼間隙設定為10.0，間隙間隔的分數設定為0.9;對于高達9.0的間隙，阻尼是恒定的。由于拱頂高度為4.0，所以拱頂從初始位置到最終卡通位置的距離為8.0單位。在分析期間的任何時間，這個距離明顯大于拱的中間和沖頭的間隙。因此，當拱形件與沖頭分離時，粘滯阻尼在整個時期都有效。

要選擇粘性阻尼系數，請注意以相對速度的壓力給出。通過將近似峰值力（10000.0）除以接觸面積（1.0）獲得相關壓力。相關速度通過將弓的頂部行進的距離（從起始到捕捉位置8.0（可以舍入到10.0））除以時間（大約1.0，步長的總時間）來獲得。該值的一小部分（0.1％）用于粘滯阻尼系數：

使用1.0，分析完成。進行另一個分析，其值較小，值為0.1，但是粘滯阻尼不足以使分析能夠通過跳躍點。因此，1.0的阻尼系數被確定為適當的值。

對于用剛性沖頭壓縮的淺拱也考慮了基于體積比例阻尼的自動穩定，作為接觸阻尼的替代。考慮到兩種形式的自動穩定：一種具有恒定阻尼因子，默認情況下選擇（參見“解決非線性問題時，使用恒定阻尼因子自動穩定靜態問題”，“Abaqus分析用戶指南”第7.1.1節），一個具有自適應阻尼因子（參見“解決非線性問題”中的“自適應自動穩定方案”，“Abaqus分析用戶指南”第7.1.1節）。

結果與討論

夾緊淺拱的結果如圖1.2.1-4所示，其中拱頂的向下位移作為壓力的函數作圖。該算法以12個增量獲得該解，最大值為3次迭代。在12增量結束時，拱頂的位移約為7.5個長度單位。這代表了一個完整的通過，因為拱的原始上升是4個長度單位。圖1.2.1-5和圖1.2.1-6顯示了這個問題的一系列變形配置圖。其他一些作者已經研究了同樣的情況，并獲得了基本相同的解決方案（參見Ramm，1981，Sharafi和Popov，1971）。

深夾緊鉸鏈的結果如圖1.2.1-7所示，其中拱頂的位移作為施加載荷的函數作圖。圖1.2.1-8顯示了這個問題的一系列變形配置圖。拱頂在峰值載荷下不穩定地折疊。此后，當負載增加時，梁會迅速變硬。這個例子很好地說明了Riks方法處理不穩定響應的能力。

釘扎淺拱的規定位移的初步分析結果如圖1.2.1-9所示，拱頂部的位移作為該點反作用力的函數。此圖顯示了快速通過期間產生的負力。圖1-2.1-10給出了用沖頭和粘性阻尼引入的釘扎淺拱的一系列變形配置圖，其中一個曲線顯示了與沖頭分離的拱。圖1.2.1-11是沖頭和拱頂之間的力的曲線圖。當拱形件與沖頭分離并產生負的粘性力時，力是正直的。一旦卡通完成，當沖頭與拱門分離時，沖頭繼續向下移動，力將下降到零。當沖頭接觸拱門時，會再次產生積極的力量。

當接觸粘性阻尼由體積比例阻尼（具有常數或自適應阻尼系數）代替時，產生類似的結果。獲得了如圖1.2.1-10所示的一系列配置，其中在卡通過程中發生弓與沖頭的分離。在分析結束時，耗散的能量量與粘性阻尼選項消耗的量相似。

可以使用abaqus restartjoin執行過程從重新啟動分析創建的輸出數據庫中提取數據，并將數據附加到第二個輸出數據庫。有關更多信息，請參閱“從重新啟動的分析中加入輸出數據庫（.odb）”文件，“Abaqus Analysis用戶指南”的第3.2.21節。