作者：印子斐
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本文目前從不可壓縮流的標量輸運的角度來介紹湍流模型中的普朗特數，可壓縮流動并不是我的科研方向。我也都是邊用邊學，不太嚴謹。此專欄中均為隨筆，都是空余時間隨便寫寫，一般不會細致參考文獻和書，也不會包含推導，如果有錯或者愿意提供參考出處，請留言。

1.先說雷諾時均模型（RANS）

在可壓縮流的湍流模型中，大家常常會見到一個參數， （Eddy diffisivity）。和的關系就是：

其中的就是所謂的湍流普朗特數了。至于他的來龍去脈，我們慢慢分析。

在湍流模型中，基于boussinesq approximation，雷諾應力可以表示為

那在被動標量輸運的過程中，對應的量為turbulent heat flux ，至于定義呢，就比較麻煩了，如果是與eddy viscosity 進行類比，那么就可以用來計算。如果假設heat flux方向與標量梯度方向重合的話，就可以定義為：

其中的稱為eddy diffusivity，為被輸運的標量，可以是溫度，可以是流體組分。是不是很簡潔明了？但是這是基于heat flux 方向與標量梯度重合的假設，并不完全符合實際。類比一下eddy viscosity model 建模和Reynolds Stress Model建模。另一種建模heat flux的方法就是所謂的tensor diffisivity，也就是不再用標量而是用張量。其中的代表有Generalized Gradient Diffusivity Hypnosis，定義為：

GGDH更好地表示了標量輸運的物理過程，但是與實際物理情況仍然有很大差距，暫不贅述。

目前在雷諾時均模型（RANS）中運用最多的就是eddy viscosity model，比如Spalart Allmaras， ，, 等，既然用了，那么直接用肯定是最方便的，定義一個就好了。然而定義這個常數還是頗為曲折的，在對低雷諾數槽道流的DNS模擬中，靠近壁面時大約是1.2，靠近槽道中間時大約是0.7。這可出了難題了，于是大家提出了各種各樣的值，比如比較常用的是0.85和0.9兩種值，一般默認為全局一致的標量。Kays and Crawford提出了一個公式，在遠離壁面時為0.85，靠近壁面時damp到1.7，并沒有什么推導過程，只是為了擬合DNS數據或者data correlation罷了。

當然在雷諾應力模型（RSM/SMC）中，因為雷諾應力本來就六項分別建模了，很自然也可以用GGDH模型，具體要了解的直接google GGDH即可?？傊覜]用過不知道具體效果。

2.再說說大渦模擬

在大渦模擬中，這就不是湍流普朗特數了，而是亞格子普朗特數。這就有點坑了，感覺至今建模都沒有很完善。

在各向同性湍流中（Homogeneous Isotropic Turbulence），如果LES的cut-off length（這個的中文翻譯是什么?）在慣性子區內的話，如果Smagorinsky常數大約是0.17，那么這個大約就是0.4左右。而在測試中，某些人（Moin?）又發現這個參數在0.2 ~ 0.5之間?？偸且膊皇且粋€全局常數。

當然，既然沒有一個確定的數值，大家就很歡樂地進行動態計算。如果你知道有個大渦模擬的模型叫做dynamic Smagorinsky model (DSM)的話，那你說不定知道Germano identity.

定義大約是醬（有可能差個符號，改天翻下書看看）。取的是trace-free part

那相對應地，也可以定義一個給標量輸運用

在DSM中，也對應過來修改成某個，然后就可以計算了

其余的定義包括也類比一下RANS就可以了。當然，這個參數也是要進行統計平均的。這里又很坑，不能像Smagorinsky constant一樣直接把負的都截到0就行了，畢竟趨于0的話有可能使得subgrid Diffusivity特別大導致計算不穩定。

3.CFD軟件

很奇怪的一點，在OpenFOAM中，竟然是取1。好吧有可能對結果影響不是很大。在Fluent里面好像是個全局常數0.85或者0.9吧，反正傳熱總是算不準，也不差在這里百分之幾了。