本文采用三維空間梁單元來模擬主塔。在模型誤差來源分析的基礎之上, 根據主塔結構的環境振動測試結果, 對模型進行了階次誤差分析和結構誤差分析, 建立了僅含參數誤差的主塔初始有限元模型。

1 　主塔結構的有限元模擬方案

     有限元模型的誤差主要來自三個方面:①模型結構誤差, 由描述結構運動的控制方程的誤差引起, 如質量矩陣、剛度矩陣的誤差;②模型階次誤差, 由無限自由度連續體簡化為有限自由度離散模型的誤差引起;③模型參數誤差, 由不精確的物理參數估計以及不真實的邊界條件引起。模型修正所隱含的前提條件是, 初始有限元模型僅含參數誤差, 或者有限元模型的誤差可以通過對設計參數進行調整的方法來減小。因而在運用現有的模型修正理論之前, 盡可能地消除有限元模型的階次誤差和結構誤差, 提供一個僅含參數誤差的有限元模型, 對于最終建立基準有限元模型至關重要。

     根據上述分析, 主塔結構的有限元模擬方案制定如下:①依據設計圖紙建立主塔結構最初的有限元模型;②進行模型階次誤差修正, 從而確定合適的單元劃分數目;③進行模型結構誤差修正,主要是確定主塔梁柱節點剛臂的模擬參數;④對主塔結構參數進行靈敏度分析, 以確定待修正的參數;⑤采用基于模型修正的貝葉斯方法, 對主塔初始有限元模型進行低階頻率修正;⑥對主塔結構模型進行高階頻率的驗證。⑤、⑥中采用的是根據實測結果進行低階修正、高階驗證的方法, 這是因為對于測點相對較少、測試噪音較大的環境振動測試而言, 低階頻率測試結果的置信度一般要高于高階頻率的測試結果。本文將詳細討論①～ ③的工作, 建立主塔結構的初始有限元模型。文獻將進一步完成④～ ⑥的工作, 從而最終建立懸索橋主塔結構的基準有限元模型。

2 　主塔結構的環境振動測試

     潤揚長江公路大橋南汊懸索橋的主塔為三層門式框架結構, 塔凈高219m 。其橫橋向兩個塔柱斜置, 塔柱為鋼筋混凝土空心箱型截面。橫橋向塔柱等寬6m , 順橋向塔柱寬度由塔頂9 .5m 漸變到塔底12 .5m 。塔柱壁厚以中、下橫梁為界, 由上向下呈階梯形增加, 順橋向厚度分別為1.0m、1.3m、1.6m , 橫橋向厚度分別為1.0m 、1.1m、1.2m ,與橫梁相連處局部加厚。塔柱底部5m 高的范圍內為實心段。上、中、下三道橫梁為預應力混凝土空心箱型截面, 高度分別為8m 、8m、10m , 預應力鋼束布置在腹板內。我們對主塔在尚未掛纜的“裸塔”狀態進行了環境振動測試, 測試系統選用11 只941B 型伺服式超低頻加速度傳感器, 其中1 只傳感器作為參考點, 其余10 只對稱分布于塔身, 見圖1 所示。

     信號采集與分析采用AZ-Cras振動與動態信號采集與分析系統,采用環境激勵下的模態參數識別方法 , 在各測點信號與參考點信號之間互譜分析的基礎之上識別主塔結構的固有頻率、振型和阻尼比。經過分析識別, 主塔結構的模態參數列于表1 。這些測試數據是建立主塔基準有限元模型的基礎, 也是建立潤揚大橋結構健康監測與安全評估系統的重要原始指紋數據。

                   

3 　主塔結構初始有限元模型的建立

3.1 主塔結構的初始參數

     依據潤揚長江大橋南汊懸索橋主塔結構的設計圖紙 , 采用空間梁單元建立主塔結構的三維空間有限元模型如圖2所示。主塔塔柱和橫梁的軸線均取設計圖紙的形心線。根據主塔有限元模型的階次誤差分析結果(詳見本文3 .2節), 主塔結構共劃分90 個梁單元。主塔各構件的初始材料參數取為C50 混凝土的材料參數, 塔柱與橫梁連接的節點剛性區域采用剛臂進行模擬(詳見本文3.3 節), 由于主塔塔柱是變壁厚, 在塔頂和塔基處特殊加強, 因而有限元模型采用了9 組截面參數, 其截面面積和截面慣性矩依據設計圖紙計算得到, 列于表2 。同時, 由于主塔采用大直徑群樁基礎, 每個塔柱下布置16 根直徑2 .8m 鉆孔灌注樁, 嵌入微風化巖, 地基對于主塔上部結構的影響甚微, 所以假定主塔有限元模型的底部固結。同時根據設計圖紙在塔柱頂端各附加180t 質量單元以模擬主鞍座的質量。

3.2 主塔模型的階次誤差分析

     階次誤差是由實際結構無限自由度連續體簡化為有限自由度離散模型時引起的。如果對一個梁段所取的單元數趨于無窮大時, 其所模擬的構件力學性態就趨向于構件的真實力學性態了。在實際應用中, 考慮到求解的規模和效率, 對一個梁段只能取一定數目的單元數。本節將首先對主塔模型進行結構階次誤差分析, 即對主塔各構件采用不同的單元劃分數目, 分別計算相應的主塔前9 階振型頻率(各階振動模式特點見表5), 以構件最大單元數目的模型頻率為基準計算相對誤差,從而確定適宜的單元劃分數目。表3 中列出了主塔階次誤差分析中各構件的單元劃分數目, 主塔結構最大單元劃分數目為108 , 最小單元劃分數目為28 。

     本節以中塔柱為例, 給出其階次誤差分析結果如圖3 、4 所示。從圖中可以得出如下一些結論:①隨著單元數目的增加, 相應的計算頻率相對于最大單元數目計算頻率的誤差迅速減小。以基頻為例, 單元數為2 時的相對誤差為1 .1 %, 單元數為13 時的相對誤差為0 .04 %;②中塔柱的劃分單元數, 對第8 階振型的影響很大。這是因為, 主塔結構的第8 階振型是中塔柱橫橋向局部振動。其相對誤差的百分比, 由單元數為2 時的7 .19 %迅速下降到單元數為13 時的0 .016 %;③相同單元劃分數目時, 最大相對誤差主要來自于主塔結構的第4 階振型———二階順橋向彎曲。當劃分單元數目為11 時, 主塔各階振型的頻率誤差均在0.05 %以內。

     值得一提的是最大單元數目的確定, 主要是從懸索橋全橋有限元模型的規模來綜合考慮, 不可能將最大單元數目取得過大。類似地, 可以確定主塔其他構件的單元劃分數目。最后, 潤揚懸索橋主塔結構的有限元模型共劃分90 個三維梁單元, 如表4 所示。

3.3 主塔模型的結構誤差分析

     對主塔結構采用三維梁單元進行模擬時, 由于這種模型利用桿狀單元來抽象和簡化實際結構, 在一些節點附近會產生模擬失真, 即出現所謂節點剛性區問題。這是因為, 實際結構中幾個構件在某節點發生交匯時, 交匯節點附近處于因構造原因形成一剛度很大的區域。這個區域內構件的軸向剛度、抗彎剛度都很大, 基本上可以認為不發生軸向、彎曲變形, 從而在整體上可以看作是一個剛性塊。這個剛性塊在外部與3 根構件相連, 相當于被彈性約束, 可以發生剛性平動和轉動。

     對于節點剛性區域的處理, 可以采用剛臂來模擬。其方法是提高節點區域單元材料的彈性模量, 從而可以方便地實現這些單元的剛度相對于剛域外單元而言的“剛性塊”特點。類似的模擬方法可參見《高層建筑混凝土結構技術規程》(JGJ3-2002)5 .3 .4 節中對框架或壁式框架梁柱節點區剛域的計算簡圖的處理方法。在實際處理過程中, 為方便起見, 將剛臂橫橋向和順橋向的剛度處理成同等增大。計算表明, 當剛臂彈性模量增大到一個相對較大值時(例如放大10 倍以上), 這兩個方向剛度的增大差異所引起的計算誤差可以不計。

     實際結構節點剛性區域和采用剛臂模擬的力學模型如圖5 所示, 剛臂的長度可按照下式計算:

     式中, γ為剛臂長度系數, 其他符號參見圖5。當按照(1)式計算的剛臂長度為負值時, 應取為零。本節將根據潤揚懸索橋主塔的環境振動測試結果, 來確定主塔梁柱節點剛臂長度系數γ的取值。

     在進行梁柱節點區的結構誤差分析時, 剛臂的彈性模量取值范圍為1E ～ 20E(E 取為C50 混凝土材料的彈性模量3 .45 ×1010N/m2), 剛臂長度系數γ的取值分別為0 、0.2 、0.3 、0.4 和0.5 。由于主塔第8 階振型為中塔柱局部振動, 可以該階振型的實測頻率為基準來計算采用不同γ值時第8 階計算頻率的誤差, 從而確定適宜的剛臂長度取值。圖6 為主塔第8 階振型的模型結構誤差分析結果。由圖6 可以得出以下結論:①當剛臂的彈性模量取為1E 時, 相當于不計入剛臂的作用, 則計算頻率小于實測頻率, 相對誤差在8 %左右, 顯然是較低地估計了結構的橫向剛度;②對于γ=0和γ=0.2 , 剛臂彈性模量的取值在2E 和10E 以上時, 計算頻率開始逐漸大于實測頻率, 可以認為是過高地估計了節點剛性區域為結構提供的橫向剛度;③當γ的取值為0.3 、0.4 和0.5 時, 計算頻率與實測值的相對誤差一直保持減小趨勢, 且曲線趨于平緩。可見當剛臂彈性模量的取值大到一定程度時(如20E 以上), 剛臂已經足夠“剛性” ,對于結構的影響主要取決于剛臂的長度。

     根據以上分析, 考慮到要避免文獻對主塔進行模型修正時各單元剛度差異過大可能引起的矩陣計算問題, 剛臂的彈性模量取值為10E 。又由圖6 可見, 當剛臂彈性模量取為10E 時, γ取為0.2 和0.3 的相對誤差分別為0.025 %和1.732 %。參考《高層建筑混凝土結構技術規程》(JGJ3-2002)5.3.4 節的建議, 潤揚懸索橋主塔模擬時節點剛性區域剛臂的長度系數γ取為0.25。

4 　主塔有限元初始模型的動力特性

     經過3.2 和3.3 節對主塔有限元模型進行的階次誤差和結構誤差分析與修正, 建立了一個僅含參數誤差的主塔結構初始有限元模型。表5列出了其前9 階振型的計算頻率、振型以及與實測頻率的相對誤差。

     由表5 可以得出以下結論:①計算頻率與實測頻率的最大相對誤差為7.924 %, 平均相對誤差為2.924 %, 可見計算模型經過階次誤差和結構誤差分析與修正之后, 與實測結果吻合得較好。這也說明本文表2 依據設計圖紙計算所得的截面特性基本準確;②計算頻率的第6 、7 階與實測的相應階次正好在振型特點上交換。這恰恰說明初始模型包含了參數誤差, 某幾個構件的一個或幾個參數與實際情況的不符, 致使主塔結構的二階扭轉與三階橫橋向彎曲振型出現的先后次序交換。

5 　結語

     利用環境振動測試結果來修正和驗證有限元模型, 從而建立一個可以全面正確反映實際結構力學性態的基準有限元模型, 是對大型復雜結構進行有限元模擬的有效途徑。本文以潤揚懸索橋主塔結構為研究對象, 對依據設計圖紙建立的有限元模型進行了階次誤差、結構誤差的分析和修正。階次誤差分析表明, 在考慮全橋求解規模設定的最大單元劃分數目的基礎之上, 主塔的線性離散所引起的階次誤差較小。結構誤差分析表明, 主塔結構的有限元模型必須考慮梁柱節點剛性區域的影響。本文采用剛臂模擬剛性區域, 經計算剛臂的彈性模量取為10E(E 為C50 混凝土材料的彈性模量3 .45 ×1010N/m2), 剛臂的長度系數γ取為0.25 。文獻將在本文基礎之上, 對初始有限元模型進行參數修正, 并與實測結果對比來驗證模型的正確性, 從而最終建立潤揚懸索橋主塔結構的基準有限元模型。