7. Qusetion:

數值方法，基于有限元的，常用的模擬斷裂有哪些方法及原理？

Answer：

     工程上模擬斷裂，針對動態斷裂來講，基于有限元的方法最多。可以分為 自適應remeshing(最古老的方法)， 單元刪除法， 擴展有限元法，interelement法（cohesive 單元或接觸行為），其他（VCCT）。Remeshing就是不斷調整裂紋尖端網格密度,只有通過增加局部自由度，才能表征裂尖行為。

單元刪除法，原理是通過設定一定的失效準則，當單元達到準則時單元刪除。單元刪除法劣勢是不太準確，很依賴網格尺寸，模擬效果不好，除非特別對待。

    擴展有限元，是目前世界上最流行的方法來處理動態斷裂，并且效果理想。對于裂紋來說，裂紋萌生模擬起來困難的，所以xfem中裂尖前端使用粘聚區模型來表征其萌生，這樣其萌生和起裂方向就和實驗比較吻合。這也是 xfem很大的創新之一。

    其次使用水平集方法，來表征裂紋擴展路徑和裂尖。擴展有限元目前發展已經比較完善，很多問題得到解決，比如高階單元的使用，積分法則的優化，多場耦合，水裂壓力，模擬moving interface 等等很多很多。

   擴展有限元還可以處理 孔洞 夾雜 界面 高應變梯度等不連續現象，而這些都必須借助于解析解，來獲得這些不連續問題的kinematics表征。

    Interelement,顧名思義，就是在常規單元間加入特殊的單元，比如cohesive單元來表征裂紋萌生 擴展。有些類似單元刪除法。但沒有嚴格的物理意義。

    Vcct就是虛擬裂紋閉合法，通過假設裂紋閉合所需的能量來解決這類問題。

    其他的還有crystal fem。

8. Qusetion:

數學角度看，究竟什么是斷裂，什么是奇異性？

Answer:

     眾所周知，許多工程問題，都由偏微分方程（數理方程）控制。比如線彈性力學，熱傳導，流體滲流現象等。

     如果我們解決了這類方程，那么這些方程主導的問題迎刃而解。解偏微分方程可用解析法，比如特征線法解決wave問題。但這樣的情況由于一些因素，比如求解域的幾何復雜性，算符方程的非正則性，非線性等等，人們不得不借助于計算機。于是，世界上各種算法如雨后春筍般應運而生！

     這些數值方法的核心，是先將偏微分方程通過變分法或加權余量法，轉化為等效弱積分形式。對于橢圓型問題，其弱形式是KU=F，這也是有限元的理論基礎。

    此時，問題還是連續性問題，因為世界中許多對象都是具有無限自由度的，這樣求解起來依舊很不切實際。于是，人們想到用一些分片的函數來表征局部特征（列緊性），也就是離散的思想，可以說當年他們參考了結構力學，在波音項目的支持下，1956年第一篇可以說真正意義上的有限元論文應運而生。使用的是三角形單元！

數學上看，斷裂就是這些方程的求解域內含有不連續內部特征。比如裂尖周圍，解的梯度很大，比如尖角處（應力集中現象），解的梯度很大（奇異性）。為了表征這些局部特征，這些局部區域必須增加unkowns來使解更接近真實解。自適應的原理就是為了這個！還有網格畸變，會導致解的精度下降很多，使用獨立點來離散求解域的無網格法變流行起來！