Main Tasks

? 列舉常見的10個問題，給出原因及解答

? 2個科普： 斷裂與損傷的區別；什么是本構模型

? 有限元之我見，小談其數學基礎

   Note：該期針對菜鳥

Task 1 常見的10個問題，給出原因及解答

1. Qusetion:

XFEM模擬裂縫擴展中，出現這種情況，n個增量步之后，出現不收斂導致計算結束？

Cause:1.裂紋屬于強不連續，非線性很強；尤其是n larger than 某個N時，幾何非線性增大很多；

      2.網格方面，裂尖局部區域網格畸變，所以xfem出現以前，remesh techs一度盛行; 

      3.非線性材料，或者接觸等額外非線性引起的；

      4.邊界條件設置不合理，譬如一些情況下要求邊界對稱，避免某個自由度方向剛體位移，etc; 

      5.增量步大小設置不合理，譬如，過大（發散），過小（嚴重增加計算成本）；

      6.預制裂縫與單元邊界挨的太近，這個體現在具體的數值實現細節上；

      7.求解器設置不合理，比如該用增量法的，用成mN-R; 

      8.其他（時間有限，不可能面面俱到）

Answer：分別針對，1.無；2.局部細化；3.分開檢驗；4.約束多余的自由度，避免重約束，（邊界對稱），避免其他地方應力集中等等；5.使其合理；6.岔開一定距離；7.合理設置；8.無

2. Qusetion:

XFEM模擬裂縫擴展中，出現這種情況，模擬結果與實驗差距較大？

Cause: 1.實驗與仿真模型，重要的方面差別較大，譬如，邊界條件（主要），材料模型（本構，主要），斷裂準則等等；         2.斷裂參數不準確，一般通過標準實驗獲得，也可通過Inverse 法；

        3.斷裂參數如何應用，譬如，有些參數適用于細觀尺度，用來做宏觀結構分析肯定是不合適的；

        4.模型如何簡化，關鍵是根據研究對象，抓住主要因素或變量，忽略次要的；

        5.有些問題，比如宏觀多裂紋模擬，細觀尺度的多裂紋，孔洞，位錯，蠕變，疲勞裂紋，可能需要特定的材料模型，特定的處理，特定的方法（e.g. XFEM需要更改加強函數，積分算法）等等；

        6.常規的XFEM尖端引入了粘性區，如果分析脆性極大的材料（裂尖屈服很小），自然不合適；

        7.誤差分析，有限元是一種近似，有些方法比較依賴網格尺寸（敏感性）||u′-u||≤C*h (一階單元)；

        8.其他

Answer：分別針對，1.仔細并合理對待；2.按標準（美）設計實驗或做模擬；3.無；4.具體問題，具體分析；5.使其合理；6.develop xfem算法；7.網格實驗；8.無

3. Qusetion:

XFEM模擬裂縫擴展中，出現這種情況，如何測得裂紋長度？

Cause:可能論文需要這項數據來表征斷裂程度或者進一步算比如K吧，但我從很少見過論文上討論了這個。一般都是用J 積分或交互積分來應力強度因子的。

Answer：(in my view）, 首先裂紋模擬的路徑不是很準，其依賴于網格劃分方法和尺寸（尺度效應），其次擴展路徑不是很光滑。我的方法是，在后處理中做個path，擬合出一條光滑的直線或（曲）線，測其長度吧。

（誰有這方面相關的論文可以發給我，學習下）

4. Qusetion:

CZM模擬裂縫擴展或者分層中，出現這種情況，究竟該如何真正理解‘界面剛度’，及它與‘材料剛度’的區別？

Cause:一些人經常問這樣的問題，雖然一些論壇上也有解釋，但或多或少，交待不明確或者理解錯誤。因此，有必要在此給予進一步闡釋。

Answer：材料剛度E，描述材料變形行為，即應力應變的關系。界面剛度K，在CZM中描述的是材料分離行為，即T-S關系。雖然二者可以由K=E/t轉化，但要注意二者的本質區別。界面剛度參數設置問題，這是一個比較有爭議的。K不能過大，也不能過小。過大的話，很可能會引起數值問題（矩陣）；過小的話，會引起變形與周圍網格的變形不協調，不一致。K主要受網格尺寸（越小，相當于約束增多，造成偏‘軟’），材料內在性質，(界面強度)的影響。

K到底該如何確定（轉自Simwe）？

不同的研究者有不同的看法，Cam認為界面剛度為1e6；還有作者認為界面剛度為1e4到1e7倍的界面強度每單位長度；也有研究者認為界面剛度K=aE/t，其中a為參數，建議取50（此時界面剛度對整體剛度的影響小于2%）。 在定義cohesive section時，厚度都定為1。個人比較傾向第三個。

可能由于czm沒有明確的物理意義，才會導致這些爭議。有關CZM的網格的尺寸效應，K的選擇，多場耦合等目前都有很多的研究，建議多閱讀相關文獻。此外，Abaqus使用0厚度的單元是存在一些問題的，設0厚度是有原因的，看我以前的總結。

5. Qusetion:

有限元軟件的應用中，出現這種情況，warning總體剛度矩陣出現小的主元和負元(zero or negative pivots)，也即總體剛度矩的出現奇異？

Cause:

出現奇異的原因多種多樣，可能的原因有:

在共享一個節點的所有單元中材料屬性如彈性模量為零;

一個或多個結構節點沒有連接到任何單元上;

結構式的一個或多個部分沒有與其它部分相接;

邊界條件沒有設定或不夠充分;

不適當的連接可能產生寄生模式;

在一個連接點設置了太多的分離;

有很大的剛度奇異;

部分結構發生屈服;

在非線性分析中，支撐或者連接已達到零剛度，以至于部分或所有結構不能被充分支撐

Note:以上這些原因，都可能導致整體剛度矩陣中出現一定數量的較整體差別很大的元素；可導致出現0主元，負主元等，即奇異現象。而奇異矩陣是不能（欠妥）進行求逆操作的。

Answer：

按可能的原因一一排除即可。

偏微分方程（PDEs）

偏微分方程的求解是科學與工程中常見的一類問題。許多問題的控制方程都是偏微分方程。偏微分方程可分為橢圓型：彈性力學問題等， 拋物線型： 熱傳導，滲流問題等，雙曲線型：波動方程。

偏微分方程還可以分為邊界值問題，初始值-邊界值問題。

求解偏微分方程主要有解析法，半解析法，數值法。解析法的解有叫封閉解。由于工程問題，大都是復雜的求解域與邊界，往往很難得到解析法，于是數值法成為主要工具，另一個主要因素是計算機硬件的快速發展，為大規模計算提供便利。

有限差分法，有限元法，有限體積法，邊界元法，無網格法以及它們間的耦合，成為主要的求解PDEs的工具。這些方法各有自己的優點與缺點，譬如有限體積法都用于流體力學，有限差分法適用于邊界簡單的問題，邊界元要求不能有體力，一些無網格方法在引入Dirichlet邊界是需要特殊處理，比如罰函數法，拉格朗日乘子法等等。當然，他們之間的比較還有很多很多，時間有限這里緊list幾個方面。

這些數值方法的核心是利用了離散的思想，將復雜的求解域離散為簡單的subdomains,然后構造形函數去逼近變量的真實解。另外，可利用變分法能導出弱表達式，這些表達式就是控制方程。（邊界元是基于強形式的）數值方法無不體現了逼近的思想，比如有限元中網格越小，解越精確。其次如何保證解的穩定性，收斂性，一致性，準確性，是研究這些算法不得不考慮的方面。

原創 金剛葫蘆娃娃兒 ，如有所需，請注明出處