自由振動(dòng)在數(shù)學(xué)上講就是特征值方程。特征值方程的解給出了特征值以及結(jié)構(gòu)的模態(tài)，而且還能使結(jié)構(gòu)在動(dòng)力學(xué)荷載作用下的運(yùn)動(dòng)方程解耦。因而，特征值的求解對(duì)于振動(dòng)問(wèn)題來(lái)說(shuō)尤其重要。特征值的提取是建立在一個(gè)無(wú)阻尼的自由振動(dòng)系統(tǒng)上，及振動(dòng)方程中沒(méi)有阻尼項(xiàng)的影響。

特征值和模態(tài)反應(yīng)了結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)下的特點(diǎn)和頻率特征。采用振型分解法獲得振型和頻率，就可得到任何線性結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。通常實(shí)際結(jié)構(gòu)中，只需考慮前幾階振型就能獲得相當(dāng)精度的解。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的實(shí)際問(wèn)題涉及面很廣，對(duì)于只有幾個(gè)自由度的力學(xué)模型，只考慮一個(gè)或兩個(gè)自由度就能求得動(dòng)力響應(yīng)的近似解，而對(duì)于具有幾百個(gè)甚至上千個(gè)自由度的復(fù)雜有限元模型，就需要考慮數(shù)十個(gè)甚至上百個(gè)振型對(duì)響應(yīng)的影響。
在求解特征值問(wèn)題時(shí)，有兩種情況，一種是求解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)特征方程的全部特征值問(wèn)題，即所有的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；另一種是求解部分特征值問(wèn)題，即部分（通常是最小或最大的一些）特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。這是因?yàn)?，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中，往往矩陣的階數(shù)都很高，有時(shí)不可能，也沒(méi)有必要求解全部特征值和特征向量。在求解方法上，也分為兩大類，一類是直接求解法，另一類是向量迭代求解法。
直接求解法可以用來(lái)研究需要求解所有特征值和特征向量的自由度較少的系統(tǒng)，計(jì)算工作量較大。計(jì)算過(guò)程中結(jié)構(gòu)的特征矩陣可以被轉(zhuǎn)化為對(duì)稱的對(duì)角陣形式，可以很容易地同時(shí)求解出所有特征值。對(duì)于較大的系統(tǒng)可以通過(guò)縮減技術(shù)來(lái)提高計(jì)算效率，例如Guyan縮減法在求解時(shí)就可以有效地減少結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)目。向量迭代方法包括子空間迭代法(subspace)和蘭索斯迭代法(Lanczos)等。使用迭代法可以求解較大結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的少數(shù)特征值問(wèn)題，計(jì)算時(shí)間依據(jù)結(jié)構(gòu)自由度的大小和需要提取的特征值個(gè)數(shù)而定。在ABAQUS中tigong了三種提取特征值的求解器：AMS (Automatic Multi-level Substructuring) 求解器、Lanczos特征值求解器和子空間迭代求解器。Lanczos特征值求解器是默認(rèn)的方法。
AMS特征值求解器是一種高效的，針對(duì)大規(guī)模問(wèn)題的能提取大量特征值的方法，主要適用于1百萬(wàn)自由度以上的模型及500階模態(tài)以上。

它包含3個(gè)求解步驟：

（1）生成子結(jié)構(gòu)；

（2）獲得特征值；

（3）從縮減的向量中獲得全部特征向量。在Abaqus中采用AMS特征值求解器的句法（提取100階頻率）

*STEP
*FREQUENCY,ELGENSOLVER=AMS
,,100

對(duì)于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，Lanczos是默認(rèn)的特征值提取方法。然而對(duì)于大規(guī)模問(wèn)題，相比AMS方法，Lanczos方法效率較低。使用Lanczos方法，可以指定最大頻率的提取或提取的頻率數(shù)量，也可以指定最小頻率的提取。Lanczos特征值求解器允許計(jì)算到特征值真正的誤差限制時(shí)才終止，可以滿足正常的終止原則。對(duì)于多數(shù)問(wèn)題，相對(duì)誤差為1.E-12數(shù)量級(jí)，因此Lanczos求解器的計(jì)算結(jié)果精度一般要比子空間迭代法高。而子空間迭代法的終止條件是通過(guò)判斷從這一次迭代到下一次迭代過(guò)程中特征值的相對(duì)變化來(lái)實(shí)現(xiàn)的，如果相對(duì)變化小于1.E-5則認(rèn)為已經(jīng)收斂，結(jié)束計(jì)算。