一、 彈性力學基本概念

　

　

　

　

　

（圖1）

　

表1

坐標軸	X	Y	Z
X’	l1	m1	n1
Y’	l2	m2	n2
Z’	l3	m3	n3

　

　

　

　

　

6、主應力、應力主方向、主剪應力、應力偏量

若經過物體中一點P處的某一斜面上的剪應力等于零，則該斜面上的正應力稱為P點的一個主應力，該斜面稱為P點的一個主應力面，而該斜面的垂線方向稱為P點的一個主應力方向。

可以證明，在彈性體的任一點，一定存在三個相互垂直的主應力面及和它們對應的三個主應力，通常用s ₁、s ₂、s ₃。而且，任何一個斜面上的正應力都不會大于三個主應力中最大的一個，也不會小于三個主應力中最小的一個。主應力與主方向可以用以下的方法求得：

假設N是P點應力狀態(tài)σ_ij的一個主方向，N與原始坐標系x、y、z的夾角方向余弦為l,m,n,它們間總滿足：

l²+m²+n²=1 （10）

在垂直于N的截面上只有正應力σ(某個主應力)作用，則由何西公式(3)式知

上式中l,m,n為待求的方向余弦，將上式移項可以得到求解的齊次線性方程組:

（11）

方程(11)零解的條件是其系數行列式值為零，即：

（12）

(12)式稱為該應力狀態(tài)的特征方程式，它是一個三次代數方程，可以證明它有三個實根，稱為特征根，就是應力狀態(tài)σ_ij所對應的主應力。可以將此三個主應力按代數值大小排列,分別以σ₁,σ₂,σ₃表示之；將每一個主應力代入(11)式的任意二式和(10)式，(11)式的三式中只有二個獨立的式子，可解得該主應力對應的主方向的方向余弦(l,m，n)共得到三個主方向，用N₁，N₂，N₃分別表示之。可以證明，這三個主方向是互相垂直的，可以構成一組新的正交基矢量。于是求主應力的問題化為求解特征方程(12)式的問題。

可以證明，特征方程(12)式的系數I₁，I₂，I₃是只與應力狀態(tài)有關，與所選擇的原始坐標系無關的量，分別稱為該應力狀態(tài)的第一、第二、第三不變量。即

（13）

（14）

（15）

一點的應力狀態(tài)可以用疊加原理分解為兩部分：

（16）

其中第一部分應力狀態(tài)稱為應力球量，表示三向等拉（壓），僅僅引起物體的體積變形，第二部分應力狀態(tài)稱為應力偏置，是只引起物體形狀改變的應力，用S_ij表示

（17）

S_ij也可以用與（13）至（15）式類似的式子求出其第一、第二、第三不變量J₁，J₂，J₃，但此時J₁=0

（18）

（19）

還可以證明S_ij與s _ij具有相同的主方向。

主應力的具體求解可以采用以下兩種方法：

特征方程為

于是：

（20）

二、對于任意的三維空間應力狀態(tài)，可按下列步驟計算：

1、計算八面體正應力s ₀

（21）

2、計算八面體剪應力t ₀，t ₀實際上只有與S_ij有關，與s ₀無關。

（22）

t ₀與按第四強度理論的折算應力s _i之間有以下關系：

（23）

3、計算

（24）

（25）

下面求已知三個主應力時對應的最大與最小剪應力所作用斜截面的法向N（l，m，n）與其大小t _N。由（4）式，斜截面上正應力

（a）

斜截面上的全應力在坐標軸上的投影為

（b）

將式（a）和式（b）代入公式（5），得

（c）

用關系式消去（c）中的三個方向余弦之一，例如l，得

　

　

　

　

　

為了求出的極值，命，簡化以后，得

由方程(d)求解m及n將得出兩種解答B。第一種是m=0,n=0。第二種解答是m=0，n=或者是n=0,m=。對于每一組解答，都可以由關系式l²+m²+n²=1求出l,并由式(c)求出。

　

　

　

　

　

　

彈性體在受外力后，將發(fā)生位移和變形，也就是位置的移動和形狀的改變。

為了研究彈性體內任一點P的變形，同樣在這一點沿坐標軸正方向取出一個平行六面微分體，如圖4所示。彈性體變形后這三個線段的長度及它們之間的夾角（直角）都將有所變化。線段每單位長度的伸縮為正應變，線段之間夾角的改變量稱為剪應變（角應變）。正應變用字母ε表示并加上一個下標字，以表示哪一個坐標軸方向的線段的正應變。例如，ε_y表示y方向的線段的正應變，其余類推，圖4（a），正應變以伸長時為正，縮短時為負。剪應變用字母g 表示并加上兩個標字，以表明哪兩個坐標軸方向的線段之間的夾角的改變，例如γ_yz就是y與z兩個方向的線段之間夾角的改變量，其余類推，圖4（b）。剪應變以夾角變小時為正。變大時為負。

同樣可以證明，如果某一點P的六個應變ε_x，ε_y，ε_z，γ_xy，γ_yz，γ_zx是已知的，就可以求得經過該點的任一微小線段的正應變，以及兩個微小線段之間夾角的改變。也就是說這六個量可以完全確定該點的形變狀態(tài)，它們就稱為該點的應變分量。一般來說，應變分量也是坐標x、y、z的函數。

六個應變分量的總體，可用一個列陣{ε}表示：

　

　

　

　

　

　

　

　

現于M點附近取一點N，N點坐標可表示為x+dx,y+dy,z+dz。N點位移分量u₁,v₁,w₁,也是N點坐標的函數，即

　

　

　

　

　

將（28）式用臺勞級數展開，其中第一式

　

　

　

　

　

略去二階以上的高階微量，得

（29）

經過位移以后，直線MN原來的長度改變了，兩端點M與N的相對位移為

（30）

正是由于這種相位移引起了物體的形狀變化，從而產生應力。

如果M、N兩點位于平行某坐標的直線上，例如平行于x軸，dy＝0，dz＝0則（30）式變成：

（31）