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概述

漸進透鏡是自由曲面設計中一個常見話題。為了實現增加光焦度或者控制像差等目的，自由曲面的形狀可以是任意的，而不是簡單地由圓錐系數或者偶次非球面系數這樣的參數方程定義。

自由曲面的分析和優化方法與普通透鏡有所不同，本文以一個漸進透鏡為例,介紹這些優化分析方法。

引言

漸進透鏡 (Progressive addition lenses , PALs) 不同部分的光焦度平滑地變化。例如，低頭視物時用到的部分光焦度會比遠眺時用到的部分光焦度大一些，這樣無論佩戴者是開車還是讀書，都可以戴著它。

漸進透鏡的設計是自由曲面設計中一個常見話題。為了所需的光學性能，自由曲面形狀可以是任意的，而不是簡單地由圓錐系數或者偶次非球面系數這樣的參數方程定義。一個自由曲面能在其上任意位置增加光焦度，以滿足像差校正的需求。

也正是因此，我們需要區別于傳統透鏡的分析和優化工具。舉例來說，光程差圖 (OPD) 和光扇圖 (Ray Fans) 就不太適用于光焦度可以隨意變化的情況。這篇文章以一個非常簡單的漸進透鏡為例，介紹了如何建立、分析和優化自由曲面系統。

表面類型

理想的自由曲面應該由一系列點數據構成，然而要優化這個面時，需要用某種方式給這個面一個小的擾動，以此來判斷該繼續增加還是減小這個擾動，使光學系統能更符合我們的預期。因此，純數據構成的表面類型（如網格矢高或CAD物體）可能很適合分析光學系統的表現，但在設計的初期我們想要用優化器連續改變曲面時，它們并不可取。

在設計初期推薦使用的表面類型有：

• 三次樣條和擴展三次樣條
• 徑向NURBS和Toroidal NURBS
• 多項式和拓展多項式
• Zernike Standard 矢高

樣條和NURBS表面類型直接提取矢高數據的定義參數，用參數擬合多個低階多項式，來產生一個用于光線追跡的光滑表面。而多項式和Zernike表面類型則是通過通用的任意階多項式實現相同的目的。

我們將采用擴展多項式表面類型來進行漸進透鏡設計演示，下圖為附件中名為progressive_starting_point.zmx的3D布局圖：

文件包含三個多重結構，如圖：

請注意：半直徑 (Semi-Diameter) 的求解類型應選為最大，使光學系統的口徑與多重結構中最大的那個相同。另外，在系統配置 (System Explorer)…系統孔徑 (Aperture) 中設置凈口徑余量 毫米(Clear Semi Diameter Margin Millimeters)為3mm，以保證所需的光能順利穿過透鏡，同時方便安裝。

三個多重結構中，光線分別從無窮遠處、從1000mm遠處以10°視場角和從500mm遠處以20°視場角入射。分別用來表示配戴眼鏡的人觀察不同距離、不同視場上的景物。因為本例是無焦的，所以下圖是以角度單位（毫弧度）表示的。我們可以從圖中清楚地看到光的角偏差隨視場變化而變化。

用來校正該偏差的透鏡材料為聚碳酸酯，前表面表面類型是擴展多項式，后表面類型是標準面。

前表面擴展多項式的矢高方程為：

它以一個圓錐系數非球面為基準面，在其上添加多項式。這個基準面非常有用，因為近軸光線會以它的數據進行計算，所以如有效焦距 (EFFL) 這樣的近軸概念仍然適用。多項式是x的m次冪乘以y的n次冪的形式，m和n都是整數，x和y代表表面上點的坐標。在鏡頭數據編輯器 (Lens Data Editor) 中，最大項數# (Maximum Term # )設置為40項，冪次低于x的4次方乘以y的4次方所有項均為變量，冪次高于x的4次方乘以y的4次方的項被自動設置為0，且求解類型為固定，但如果你想的話，你可以修改所有230項多項式的參數。評價函數考慮了每種多重結構下的角半徑，以及玻璃合理的中心厚度和邊緣厚度。這些可以用優化向導 (Optimization Wizard) 自動生成，設計的目標是：視場中不同位置的目標都能通過透鏡獲得最佳準直光。

點擊優化(Optimize)…執行優化(Optimize!)…開始(Start) 開始局部優化，OpticStudio將快速操縱24個變量，為我們產生一個能獲得最佳準直光輸出的自由曲面：

分析自由曲面

透鏡自由曲面的實體模型表明，表面的矢高非常復雜：

注意：在沒有光線經過的邊緣部分，透鏡經常會出現預期之外的結果。這是自由曲面設計中的常見問題，所以我們應該在整個表面添加單光線或其他形式的約束，防止設計出的曲面無法加工。

這個自由曲面如此復雜，所以光扇圖 (Ran fans) 和光程差圖 (OPD) 不足以評價這個自由曲面光學系統的性能。這種情況下，我們應使用分析 (Analyze)…PAL/Freeform分析 (PAL/Freeform)…視場光焦圖 (Field Map) 工具。設置屈光度間隔為0.25，我們就能夠看到整個表面在視場上增加的球面和柱面光焦度：

這些圖不使用OpticStudio其他地方使用的光焦度和有效焦距等嚴格近軸概念。而是將光焦度和焦距作為視場坐標的函數進行計算。光焦度和焦距是由整個光學系統共同決定的，包括每個面上的折射。實現的方法是：在視場中每個點的入瞳附近追跡一圈真實光線，光線數據用以確定每個視場下的焦距，焦距可用來計算以屈光度為單位的光焦度（單位數值為米的倒數）。一般情況下，焦距是入瞳方向的函數，通過追跡一圈光線，可以確定光瞳附近的平均、最大、最小光焦度和焦距。根據這些數據能計算出多種不同的光焦度。它們以屈光度為單位：

• 球面光焦度
• 柱面光焦度
• 最大和最小光焦度
• 垂直和水平光焦度
• X或Y方向光焦度

此外，該功能還可以以透鏡單位顯示有效焦距 ( EFL )。

這些圖表為我們理解自由曲面如何影響光焦度變化提供巨大幫助。

另外，POWF操作數可以直接優化任何點上用視場光焦圖計算出的任何項。該功能在已知某表面上的視場光焦圖時非常有用。

總結

設計自由曲面或漸進透鏡理論上與傳統透鏡沒有區別，但是由于自由曲面上任一點都可以輕松增加或減少光焦度，所以我們需要額外的優化和分析手段。視場光焦圖和POWF操作數即是OpticStudio進行自由曲面設計時分管這一部分的功能。