前言

結構動力修改(Structural Dynamic Modification, SDM)技術通過有限元模型研究結構物理參數（如質量、阻尼、剛度等）或幾何參數（如厚度、長度、截面積等）的變化對其動力學特性（如固有頻率、振型、傳遞函數等）的影響規律，從而實現對目標動力學參數的精確調控。

SDM通常需要考慮兩個不同的問題—正問題和逆問題。其中，正問題指已經建立修改參數和修改效果的關系，直接增減參數或修改有限元模型的參數數值計算修改結果。這一過程已經在前期的文章進行了介紹，本文主要介紹SDM逆問題。

所謂SDM逆問題，是指在已知一組可供調整的參數集合中，為達到預期的動力學參數目標值逆向求解所需的最優修改參數及其具體修改量。因此，該問題本質上是一類優化問題：在滿足實際工程約束的條件下，通過系統化的搜尋與迭代，確定使結構動力學響應趨近于目標狀態的最佳參數調整方案。該過程不僅需要明確參數修改的范圍與步長，還需兼顧修改后的結構在靜強度、工藝可行性與成本等方面的綜合影響，因而往往需借助優化算法與工程判斷相結合的方式進行求解。

1. SDM的逆問題

1.1 修改目標的靈敏度分析

靈敏度分析作為求解逆問題的理論基石，是量化目標參數（模態頻率、特征向量）對物理參數（單元質量、剛度、設計參數等）變化的重要方法，其具體意義在于：

（1） 定性指導：告訴用戶修改哪些參數對目標頻率/振型影響最大，即最“敏感”（例如，增加某個連接處的剛度對提高某階頻率最有效）。

（2） 線性近似：在較小修改范圍內，可以用靈敏度進行一階泰勒展開，快速估算修改效果：

（3） 作為優化問題的梯度矩陣：為后續的系統化優化算法提供關鍵的方向導數。

假設 n 個自由度的線性和離散化的比例阻尼結構，其動態特性可以用如下振動微分方程（也稱運動方程）來描述：

公式(1)對應的無阻尼系統的振動微分方程為

上式對應的廣義特征值問題，如下：

可解得無阻尼系統的特征值（系統固有頻率）和特征向量（系統振型）為

公式(1)描述的比例阻尼系統與無阻尼系統的特征向量相同，特征值則變為

1）固有頻率對質量和剛度的靈敏度

由輕阻尼系統特征值在節點處靈敏度為：

式中，mii與kii分別表示M與K第i行、第i列元素，φir表示第r階固有頻率對應振型第i行元素。

上式表明：（1）在原有結構節點自由度方向上實施修改，結構頻率在該測試節點自由度上的修改效果與該位置振型幅值的平方成正比；（2）結構固有頻率對質量參數的靈敏度為負數，表示增加質量結構固有頻率降低；（3）結構固有頻率對剛度參數的靈敏度為正數，表示增加剛度，結構固有頻率增加。

若將改變第r階固有頻率ωr，可只在該特征值靈敏度較大點即該模態振型幅值較大測試節點改變質量，對應的靈敏度為：

若將改變第r階固有頻率ωr，可只在該特征值靈敏度較大點即該模態振型幅值較大測試節點改變剛度，對應的靈敏度為：

2）固有頻率對設計參數的靈敏度

待修改參數是在模型的設計參數中選取的，可以是材料屬性，幾何參數或邊界條件等。當改變原始模型的待修改參數p=(p1,p2,…pn)時，模型的固有頻率、振型等修改對象f會隨之改變。因此可以將修改對象視為待修改參數p的函數，記作f(p)。為了將問題線性化，在初始位置f(p)處，將f(p)進行一階泰勒展開：

上式中，?p為待修改參數的變化量，p0為待修改參數的初始值。則，對于m個修改對象，n個待修改參數得到的靈敏度矩陣為

將公式（10）代入公式（9）得：

在求解特征值的靈敏度問題時，主要有兩個重要的約束方程：特征方程和加權正交性方程。

對上述兩式的兩邊分別對結構的第j個參數求微分：

化簡上述公式，得到結構的第r階特征值（固有頻率平方）對結構的第j個設計參數的導數為

1.2 修改值優化問題

其中，fs(p)和ft(p)分別為修改對象的有限元仿真值和試驗值，pmin和pmax分別為待修改參數取值范圍的最小值和最大值。利用Lagrange乘數法（Lagrange Multiplier Method, LMM）聯立公式（3）和公式（4），得：

進而，設計參數的變化量可表示為

式中上標+表示廣義逆。然而，即使采用廣義逆算法，待修改參數的類型不同時，其大小的數量級波動較大，使靈敏度矩陣極易出現病態，所以靈敏度矩陣的元素需要進行歸一化處理，一種歸一化的方式如下：

為了使迭代計算更加高效準確，分別對待修改參數的變化量?p和修改對象的誤差?E進行加權處理，目標函數變為

式中，Wp和We分別為變化量?p和修改對象的誤差?E的加權項，λ2為加權系數。本文以模態頻率和模態振型MAC值為修改對象，加權系數矩陣We可表示如下：

式中，Wf為頻率加權系數對角矩陣，WMAC為模態振型MAC值得加權系數對角陣。公式（8）中Wp可表示為

對公式（8）中的變化量?p求偏導，以求目標函數的極小值，解得：

當待修改參數靈敏度不高的數量越多或STWeS條件數越大時，要求λ2取值越大。通過上式求得第k次變化量?pk修改新的待修改參數：

1.3 結構動力修改逆問題與模型修正的區別

結構動力修改逆問題與模型修正的求解都涉及靈敏度分析和參數迭代求解算法，但兩者有者本質的不同。兩者的區別如下：

表1 結構動力學修改與模型修正的不同點

SDM和模型修正在實際工程中往往是前后銜接、相互依賴的：模型修正是SDM可靠實施的前提。如果用一個本身就不準確的有限元模型去做SDM，那么預測的修改效果也必然是錯誤的，可能導致災難性的設計決策。因此，必須先通過模型修正，獲得一個可信的基準模型。

2. 應用案例

下面使用漢航NTS.LAB Link軟件中的模型修改模塊來介紹結構動力修改逆問題分析方法在工程中的應用。

（1）在漢航NTS.LAB Link中導入有限元模型，選擇“動力學分析”模塊，計算原結構的模態頻率和模態振型。圖1為模態計算結果的振型顯示：

圖1 NTS.LAB Link 的動力學分析和振型顯示

（2）選擇“模型修改”模塊進入結構動力修改頁面，選擇修改條件為“基于已有參數”，修改目標為“模態頻率”。

（3）單擊“目標選擇”按鈕，打開模態頻率打開對話框，選擇前兩階結構模態頻率（前6階為剛體模態，結構模態從第7階開始）作為修改目標。默認目標頻率會相對原頻率偏移20%，如圖2所示：

圖2 目標模態頻率選擇

（4）單擊“修改區域選擇”按鈕，打開結構的修改區域選擇對話框，根據結構中已有的物理參數和幾何參數定義的子結構進行分類顯示，如圖3所示。選擇四個區域修改參數，如圖4所示：

圖3 按參數選擇區域

圖4 選定的目標量與待修改量

（4）單擊“攝動優選”按鈕，進行修改參數的靈敏度計算，結果如圖5所示：

圖5 參數擾動分析結果

（7）圖5中結果表明，底板的楊氏模量和厚度對目標模態頻率影響較高，其側板的密度和彈簧剛度對目標模態頻率的影響可以忽略，將這兩項參數從列表中刪除。單擊“自動設修改值”按鈕，完成逆向求解參數值，結果如圖6所示：

圖6 自動設置的修改參數值

（8）單擊“結構動力學修改”按鈕，軟件進行自行計算，并顯示修改后的結果，如圖7所示：

圖7 修改結果顯示