S-N曲線是什么？

S-N曲線，也稱為應力-壽命曲線，是疲勞分析中最基本的工具。它描述了結構在循環載荷下，應力水平（S） 與至失效的循環次數（N） 之間的關系。

常用數學表達式：

對公式兩邊取對數，得到線性方程：

使用最小二乘法對數據點進行線性回歸，擬合出最佳直線即可獲得S-N曲線。這條直線也叫中值S-N曲線。

下面為python實現S-N，P-S-N曲線具體方式，最終獲取的結果為：

第一步當然是最小二乘法的實現：

def linear_least_squares_fit_y(x: np.ndarray, y: np.ndarray) -> Dict[str, Any]:
    """
    對 y ~ x 進行最小二乘直線擬合：y = a*x + b

    Args:
        x: 自變量數組
        y: 因變量數組

    Returns:
        字典包含 a, b, y_pred, residuals, metrics 等
    """
    x = np.asarray(x)
    y = np.asarray(y)

    if len(x) != len(y):
        raise ValueError("x 和 y 長度不一致")
    if len(x) < 2:
        raise ValueError("至少需要兩個點才能擬合")

    a, b = np.polyfit(x, y, 1)
    y_pred = a * x + b
    residuals = y - y_pred

    ss_res = np.sum(residuals ** 2)
    ss_tot = np.sum((y - np.mean(y)) ** 2)
    r_squared = 1 - (ss_res / ss_tot) if ss_tot != 0 else 0.0
    rmse = np.sqrt(ss_res / len(x))

    metrics = {
        'r_squared': r_squared,
        'rmse': rmse,
        'ss_res': ss_res,
        'ss_tot': ss_tot,
        'n': len(x)
    }

    print(f"成功擬合直線: y = {a:.4f}x + {b:.4f}, R2 = {r_squared:.4f}")
    return {
        'slope': a,
        'intercept': b,
        'y_pred': y_pred,
        'residuals': residuals,
        'metrics': metrics
    }

下面將實現特定可靠度，特定置信度下的SN繪制，以及源代碼下載。