橡膠和金屬的力學行為有非常大的差異，我們首先可以從平均應變或應力對材料疲勞性能影響的角度來分析這種差異。

圖1顯示了幾個典型的等幅應變循環，每個循環都處于不同的平均應變水平。在循環疲勞試驗中，如果施加的應力幅度等于平均應力，我們把這種情況稱為脈沖載荷循環或全松弛載荷循環。如果平均應力為零，我們把這種情況稱為完全反轉的拉伸/壓縮加載循環。如果最小應力總是正的，則稱為非全松弛載荷循環（即試樣總是處于加載狀態）。非全松弛載荷循環在應用中很常見，例如：在安裝過程中對產品施加了預載荷；襯套在模壓過程中產生的壓縮預應力、過盈配合、由于熱膨脹/收縮而產生的內應力；以及在輪胎中，簾線的形狀記憶效應。

圖1. 在三種不同的平均應變下的恒定振幅加載循環

在金屬疲勞分析方法中，通常以應力幅度σa和平均應力σm相對于屈服應力σy和極限應力σu的大小來定義應力均值效應對金屬材料疲勞行為的影響。如圖2所示。當加載應力處于疲勞閾值應力σ0以下時，材料具有無限壽命。Haigh圖（或Goodman圖）（圖2左）將疲勞壽命繪制為這些變量的函數[1]。Wohler曲線（圖2右）提供了類似的信息。對于金屬材料，有一個普遍適用的簡單規則：增加平均應變將降低疲勞壽命。通常還假設金屬的潛在疲勞開裂面垂直于最大主應力方向。

圖2. 顯示平均應變對金屬疲勞壽命影響的Haigh圖（左）和Wohler曲線（右）

橡膠材料與金屬材料有許多不同之處

1.在原子尺度上

At the atomic scale

橡膠由長鏈分子組成，這些分子經歷恒定的熱運動，同時以永久的網絡拓撲結構相互連接。這種結構允許發生大的彈性/可逆應變。而金屬則完全不同，它們以單個原子的形式存在于有序的晶體中，偶爾會出現位錯或晶格空位。在非彈性變形發生之前，這種結構僅允許極小的應變。

2.在介觀尺度上

橡膠通常是一種含有填料（如炭黑、二氧化硅或粘土）以及其它化學成分的復合材料。而金屬的介觀尺度通常用晶粒邊界和夾雜物或空隙來描述。橡膠表現出許多在金屬中看不到的“特殊效應”，例如：速率和溫度依賴性、老化特性、循環軟化特性?；谶@些因素，橡膠的分析方法與金屬的分析方法有很大不同，這并不奇怪。

橡膠的疲勞性能與平均應變的關系更為復雜。對于無定形（即非結晶）橡膠，與金屬材料一樣，增加平均應變會降低疲勞壽命。但是，對于表現出應變誘導結晶的橡膠，平均應變的存在可能會大大增加疲勞壽命，如圖3所示。因此，橡膠的疲勞仿真必須考慮材料的應變結晶效應。

圖3. 在恒定振幅下進行的簡單拉伸疲勞試驗表明，增加載荷均值后，有應變結晶的天然橡膠（NR）的壽命顯著增加，而無定形的丁苯橡膠（SBR）的壽命減少[2]。

在Endurica疲勞仿真分析軟件中，基于橡膠材料的斷裂力學行為，通過定義等效全松弛撕裂能Teq來描述材料的平均應變效應。當全松弛載荷對應的撕裂能產生與非松弛條件下撕裂能相同的裂紋擴展速率時，則稱此時的全松弛撕裂能為等效撕裂能。

對于無定形橡膠，等效的全松弛撕裂能Teq等于撕裂能幅值ΔT，ΔT=Tmax-Tmin，也可以用R=Tmin/Tmax來描述平均應變效應。將該規則代入到冪律裂紋擴展速率函數中，即可得到眾所周知的Paris模型，由該模型可以預測出，當平均應變增加時，材料的裂紋擴展速率會加快。

對于應變結晶橡膠，可以使用Mars-Fatemi模型來定義等效全松弛撕裂能。在這種情況下，等效全松弛撕裂能取決于函數F(R)，該函數通過定義裂紋擴展速率模型的冪律斜率，來描述應變結晶效應對材料疲勞的影響。無定形橡膠和結晶橡膠的關系總結在表1中[3，4]。

表1. 計算無定形和應變結晶橡膠中裂紋擴展速率的模型

橡膠的疲勞特性可以繪制在Haigh圖中，但橡膠的等壽命曲線與金屬有很大不同。在金屬疲勞分析中，假設裂紋總是垂直于最大主應力方向擴展，而這對于橡膠來說并不總是正確的，特別是在涉及應變結晶和非松弛載荷的情況下。因此，對于橡膠疲勞分析，需要使用臨界平面分析方法[5]，通過計算材料單元在多個潛在疲勞開裂面上的疲勞壽命，找出其中具有最短壽命的裂紋平面，將其確定為最危險的開裂面。

圖4顯示了疲勞壽命和臨界平面方向對應變幅度和平均應變的依賴性。為每對應變振幅和平均應變坐標繪制一個球體，其上的顏色表示疲勞壽命，單位法向量表示臨界平面方向。可以看出，平均應變和應變幅值的不同組合可以產生一定范圍的裂紋平面取向。

圖4. 臨界平面分析包括整合每個可能裂紋方向的裂紋擴展速率定律，并確定產生最短壽命的方向（圖4左）。Haigh圖（圖4右）中的每個點都與其自身的臨界平面方向相關聯。

天然橡膠（NR）和丁苯橡膠（SBR）的Haigh圖如圖5所示。在這些圖像中，紅色表示疲勞壽命短，藍色表示疲勞壽命長。對于天然橡膠（圖5左），Haigh圖的長壽命區域呈現出顯著的圓頂狀形狀，表明在應變誘導結晶的影響下平均應變對提高壽命的有益效果。相反，SBR的疲勞壽命總是隨著平均應變的增加而降低。即使如此，SBR的Haigh圖具有與材料的超彈性相關的非線性特征，這也不同于金屬。

圖5. 為NR（左）和SBR（右）橡膠計算的圖表。

需要注意的是，橡膠中的應變結晶效應與溫度相關。在較冷的溫度下，這種影響較強，而在較高溫度下，這種影響較弱。圖6比較了三種不同溫度下結晶橡膠的實驗Haigh圖[6]（頂部）和計算結果（底部）。

圖6. 天然橡膠在3個溫度下的實驗Haigh圖【6】（頂部），與計算的Haigh圖（底部）進行比較。溫度升高往往會降低應變結晶的有益效果。

總之，拉伸平均應力對于金屬材料總是有害的，但對于橡膠材料中，它可能是有益的，也可能是有害的，這取決于橡膠是否具有應變結晶效應。給橡膠施加平均應力的好處可能十分明顯——有時會讓疲勞壽命提高幾個數量級。尤其是在較低的環境溫度下，對壽命的增強效果更強，而在較高的溫度下，這種有益效果會減弱。臨界平面分析對于準確預測橡膠中的應變結晶效應至關重要。

如果將金屬疲勞分析的Wohler曲線（S-N曲線）理論用于橡膠的疲勞分析，會錯誤地認為材料斷裂平面總是垂直于最大主應力方向。對于受到非松弛加載作用的應變結晶橡膠而言，這一結論是不對的。

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參考文獻：

[1] Stephens, R. I., Fatemi, A., Stephens, R. R., & Fuchs, H. O. (2000). Metal fatigue in engineering. John Wiley & Sons.

[2] Ramachandran, Anantharaman, Ross P. Wietharn, Sunil I. Mathew, W. V. Mars, and M. A.Bauman.(2017) “Critical plane selection under nonrelaxing simple tension with strain crystallization.” In Fall 192nd technical meeting of the ACS Rubber Division, pp. 10-12.

[3]Mars,W. V. (2009). Computed dependence of rubber’s fatigue behavior on strain crystallization.Rubber Chemistry and Technology, 82(1), 51-61.

[4] Harbour, Ryan J., Ali Fatemi, and Will V. Mars. “Fatigue crack growth of filled rubber under constant and variable amplitude loading conditions.” Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures 30, no. 7 (2007): 640-652.

[5] Mars, W. V. (2021). Critical Plane Analysis of Rubber. Fatigue Crack Growth in Rubber Materials: Experiments and Modelling, 85-107.

[6]Ruellan, Beno?t, J-B. Le Cam, I. Jeanneau, F. Canévet, F. Mortier,and Eric Robin. “Fatigue of natural rubber under different temperatures.” International Journal of Fatigue 124 (2019): 544-557.