FDTD中的網(wǎng)格及細(xì)化方式原創(chuàng)

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2025年8月18日 11:46

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1. 前言

在FDTD方法當(dāng)中，時(shí)間空間等均由Yee網(wǎng)格表示，這種離散方法也會(huì)帶來一些系統(tǒng)性誤差，例如網(wǎng)格色散等。此外，通過離散差分所能模擬的最小尺度即為一個(gè)網(wǎng)格，對于小于一個(gè)網(wǎng)格尺寸的結(jié)構(gòu)，只能近似為一個(gè)網(wǎng)格，這將會(huì)給數(shù)值計(jì)算帶來誤差。當(dāng)然最簡單有效的辦法是將網(wǎng)格劃分得足夠細(xì)，但這將需要更多的計(jì)算資源和時(shí)間。另一種方法則是使用共形網(wǎng)格，這種方法可以讓整個(gè)計(jì)算區(qū)域的網(wǎng)格保持較大尺寸，同時(shí)，修正局部網(wǎng)格來減小誤差。

2. 網(wǎng)格色散

首先我們需要了解在FDTD網(wǎng)格離散化時(shí)所帶來的數(shù)值不穩(wěn)定性。由于空間和時(shí)間均由離散化的網(wǎng)格表示，時(shí)間空間離散間隔的選取將決定差分方程的解是否是收斂和穩(wěn)定的。

考慮平面波的解，即 $f(x,y,z,t)=f_0exp(-j(k_xx+k_yy+k_zz))exp(j\omega t)$ ，其二階導(dǎo)進(jìn)行差分近似可以得到

$\cfrac{\partial^2f}{\partial x^2}\thickapprox \cfrac{exp(jk_x\Delta x)-2+exp(-jk_x\Delta x)}{(\Delta x)^2}f=-\cfrac{sin^2(\cfrac{k_x\Delta x}{2})}{(\cfrac{\Delta x}{2})^2}f\tag*{}$

將該離散差分的結(jié)果代入波動(dòng)方程可以得到色散關(guān)系式

$\cfrac{sin^2(\cfrac{k_x\Delta x}{2})}{(\cfrac{\Delta x}{2})^2}+\cfrac{sin^2(\cfrac{k_y\Delta y}{2})}{(\cfrac{\Delta y}{2})^2}+\cfrac{sin^2(\cfrac{k_z\Delta z}{2})}{(\cfrac{\Delta z}{2})^2}=\cfrac{\omega^2}{c^2}\tag*{}$

再將時(shí)間離散化，得到的不等式如下

$(c\Delta t)^2[\cfrac{1}{(\Delta x)^2}+\cfrac{1}{(\Delta y)^2}+\cfrac{1}{(\Delta z)^2}]\leq 1\tag*{}$

該式即為Courant穩(wěn)定性條件。對于三維情況下的立方體元胞 $(\Delta x=\Delta y=\Delta z=\delta)$ 有：

$c\Delta t<\cfrac{\delta}{\sqrt{3}} \tag*{}$

當(dāng)為二維正方形網(wǎng)格 $(\Delta x=\Delta y=\delta)$ 時(shí)為

$c\Delta t\leq \cfrac{\delta}{\sqrt{2}}\tag*{}$

以上兩種情況下，說明時(shí)間間隔須小于波以光速通過元胞對角線長度1/3（三維）或1/2（二維）所需的時(shí)間。上述的色散關(guān)系式可以看出：即使計(jì)算當(dāng)中并沒有色散材料以及損耗材料，由于離散差分近似，波矢 $k$ 與頻率 $w$ 之間已經(jīng)不是簡單的線性關(guān)系式，必然導(dǎo)致相速度與頻率有關(guān)，從而出現(xiàn)色散。將色散關(guān)系式簡化到一維情況下

$\cfrac{sin^2(\cfrac{k\Delta x}{2})}{(\cfrac{\Delta x}{2})^2}-\cfrac{\omega^2}{c^2}=0\tag*{}$

計(jì)算相速度為

$\nu_{\phi}=c\left|\cfrac{sin(\cfrac{k\Delta x}{2})}{(\cfrac{k\Delta x}{2})} \right|\tag*{}$

而當(dāng)角度 $\xi \leq\cfrac{\pi}{12}$ 時(shí)，可以認(rèn)為 $sin{\xi}\thickapprox\xi$ ，即得到空間離散間隔的滿足條件

$\cfrac{k\Delta x}{2}\leq \cfrac{\pi}{12} \\$ $\Delta x\leq \cfrac{\lambda}{12} \tag*{}$

同理可得時(shí)間離散間隔

$\cfrac{\omega\Delta t}{2}\leq \cfrac{\pi}{12} \\$ $\Delta t\leq \cfrac{T}{12} \tag*{}$

在實(shí)際計(jì)算當(dāng)中，采用何種時(shí)間空間離散間隔還需要視需求而定。

3. 網(wǎng)格細(xì)化

3.1 均勻網(wǎng)格

在均勻網(wǎng)格中，對于小于網(wǎng)格尺寸的結(jié)構(gòu)一般使用網(wǎng)格中心點(diǎn)判斷該網(wǎng)格處的材料參數(shù)，該處理方式稱為階梯近似，如下圖所示。

3.2 非均勻網(wǎng)格

而非均勻網(wǎng)格可以根據(jù)需求以及物理場的變化情況來對應(yīng)調(diào)整網(wǎng)格單元的尺寸，因此使用非均勻網(wǎng)格可以更好地捕捉物理場的細(xì)節(jié)和變化，同時(shí)對于折射率變化不明顯的地方使用較大的網(wǎng)格尺寸也可以提高計(jì)算效率。非均勻網(wǎng)格是FDTD方法當(dāng)中一種重要技術(shù)，可以提高模擬的準(zhǔn)確性和效率，能夠更好地適應(yīng)不同的物理模型。如下圖，對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的弧形結(jié)構(gòu)，自動(dòng)根據(jù)材料和形狀建立更密的網(wǎng)格來獲得其邊界的細(xì)節(jié)，而對于規(guī)則的矩形將建立相對尺寸較大的網(wǎng)格。這種方式可以在不損失材料精確度的情況下盡量節(jié)省計(jì)算資源。

3.3 共形網(wǎng)格

共形網(wǎng)格通過在網(wǎng)格細(xì)化方法上做出優(yōu)化，能夠得到Y(jié)ee單元結(jié)構(gòu)內(nèi)的等效材料分布。在FDTD計(jì)算中，共形網(wǎng)格技術(shù)可以處理曲線邊界、不規(guī)則形狀等復(fù)雜情況，可以實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜幾何形狀的精確建模和模擬，提高了模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率。目前共形網(wǎng)格技術(shù)已經(jīng)發(fā)展出多套理論和方法，對于該技術(shù)，在此簡單地介紹兩種以作了解。

3.4 介質(zhì)體平均

介質(zhì)體平均是共形網(wǎng)格技術(shù)當(dāng)中基本的方法之一，其在網(wǎng)格當(dāng)中以各種介質(zhì)所占據(jù)的體積來計(jì)算該網(wǎng)格的等效材料常數(shù)。這種方法沒有太多物理意義，操作簡單，對折射率對比度低的介質(zhì)表面有效。下圖展示了這種方法示意圖，圖中認(rèn)為結(jié)構(gòu)在z方向分布相同，因此僅繪出二維截面。

$\mu_z^{eff}(F)=\cfrac{S_1*\mu_1+S_2*\mu_2}{\Delta x\Delta y\Delta z} \tag*{}$

其中， $S1,S2$ 為介質(zhì)1，介質(zhì)2所占的體積。由上述介紹可知，介質(zhì)體平均的方法在描述復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電磁特性時(shí)存在一定的局限性。這種方法通常假設(shè)介質(zhì)體在空間上是均勻分布的，而忽略了結(jié)構(gòu)內(nèi)部分布的不均勻性。因此不同結(jié)構(gòu)在網(wǎng)格單元內(nèi)的實(shí)際分布可能會(huì)有很大的差異，但通過介質(zhì)體平均得到的等效材料參數(shù)卻可能相同。這正是介質(zhì)體平均方法的局限性。

3.5 Yu-Mittra共形網(wǎng)格方法

Yu-Mittra共形網(wǎng)格方法由Yu和Mittra于2001年提出，利用了如圖中所示的線性平均概念和電場在材料界面的特性，從而實(shí)現(xiàn)了對復(fù)雜邊界的精確建模和模擬。現(xiàn)如今已經(jīng)成為FDTD當(dāng)中一種常見方法，基于該方法，已經(jīng)有多種改進(jìn)方法應(yīng)用在FDTD中。原始的Yu-Mittra共形網(wǎng)格方法是為了解決理想導(dǎo)體與介電材料界面處的精度計(jì)算。理想導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，故有法拉第電磁感應(yīng)定律

$\oint_l \mathbf{E} dl=-\cfrac2sq2q2a{dt}\iint_s\mathbf{B}ds \tag*{}$ ‘

可以得到二維FDTD迭代方程

$H_z^{n+1/2}(i,j)=H_z^{n-1/2}(i,j)+\cfrac{\Delta t}{\mu_z\Delta x_0\Delta y_0}\{[\Delta x_0E_x^{n}(i,j+1/2)-\Delta x_1E_x^{n}(i,j-1/2)]-[\Delta y_1E_y^{n}(i+1/2,j)-\Delta y_0E_y^{n}(i-1/2,j)]\} \\$

?進(jìn)一步的可以將其應(yīng)用到介質(zhì)表面的共形網(wǎng)格當(dāng)中。

$\varepsilon_x^{eff}=\cfrac{\varepsilon_2(\Delta x_0-\Delta x_1)+\varepsilon_1\Delta x_1}{\Delta x_0} \\$ $\varepsilon_y^{eff}=\cfrac{\varepsilon_2(\Delta y_0-\Delta y_1)+\varepsilon_1\Delta y_1}{\Delta y_0} \\$ $\tag*{}\sigma_x^{eff}=\cfrac{\sigma_2(\Delta x_0-\Delta x_1)+\sigma_1\Delta x_1}{\Delta x_0}$ $\sigma_y^{eff}=\cfrac{\sigma_2(\Delta y_0-\Delta y_1)+\sigma_1\Delta y_1}{\Delta y_0} \\$

參考文獻(xiàn)

[1] Allen Taflove. "Computational Electromagnetics: The Finite-Difference Time-Domain Method", Boston:Artech House, (2005). [2] Yu, W., and R. Mittra. "A conformal finite difference time domain technique for modeling curved dielectric surfaces", IEEE Microwave Components Lett, (2001). [3] Yu W , Mittra R , Su T ,et al. "Parallel finite-difference time-domain method", Artech House Publish (2006).

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