1.1 優化設計概述

所謂優化，是指最大化或最小化，而優化設計是指尋找一種方案以滿足所有的設計要求，并且需要的支出最少。

優化設計有兩種分析方法:解析法--通過求解微分與極值，求解出最小值;數值法--借助計算機和有限元，通過反復迭代逼近，求解出最小值。解析法需要列方程并求解微分方程，然而針對復雜的問題列方程和求解微分方程都是比較困難的，因此解析法常用于理論研究，很少應用于工程中。

隨著計算機的發展，結構優化算法取得了較大的發展。根據設計變量的類型不同，結構優化已由較低層次的尺寸優化發展到較高層次的結構形狀優化，進而發展到更高層次的拓撲優化。優化算法也由簡單的準則法發展到數學規劃法，進而發展到遺傳算法等。

在保證產品達到某些性能目標并滿足一定的約束條件的前提下，通過改變某些允許改變的設計變量，使產品的指標或性能達到最期望的目標，就是優化方法。

1.2    優化分析工具

ANSYS Workbench 結構優化分析工具有5種，即 Direct Optimization(直接優化工具)、Goal Driven Optimization(多目標驅動優化分析工具)、Parameters Correlation(參數相關性優化分析工具)、Response Surface(響應曲面優化分析工具)及Six Sigma Analysis(六西格瑪優化分析工具)。

(1)Direct Optimization(直接優化工具):設置優化目標，利用默認參數進行優化分析，從中得到期望的組合方案。

(2)Goal Driven Optimization(多目標驅動優化分析工具):從給定的一組樣本中得到最佳的設計點。

(3)Parameters Correlation(參數相關性優化分析工具):可以得出某一輸入參數對響應曲面的影響的大小。

(4)Response Surface(響應曲面優化分析工具):通過圖表來動態地顯示輸入與輸出參數之間的關系。

(5)Six Sigma Analysis(六西格瑪優化分析工具):基于6個標準誤差理論來評估產品的可靠性概率，以判斷產品是否滿足六西格瑪準則。

1.3    分析問題描述

一個邊長為250毫米、厚度為5毫米的正方形板在其所有頂點上受到簡支（如下圖所示）。

輸入參數：—楊氏模量、泊松比和密度

響應參數：— 第一階固有頻率

參數	類型	限制	期望值	重要性
楊氏模量（E）	輸入	1.8e11 Pa≤E≤2.2e11Pa	無	低
泊松比（ν）	輸入	0.27≤ν≤0.30	無	低
密度（ρ）	輸入	7065 kg/m3 ≤ρ≤8635 kg/m3	無	低
第一階固有頻率（w）	輸出	n/a	最小	高

1.4 理論分析

根據上述條件，第一階固有頻率為：

目標函數為：

得到的尺寸最小值為：

Young's Modulus E = 1.8e11 Pa

Poisson's Ratio μ = 0.27

Density ρ = 8635 kg/m3

代入得到響應參數最小值為：

First Natural Frequency w = 124.0913 rad/s

1.5 ANSYS分析

在ansys workbench中新建優化設計分析如下圖示：

在Engineering Data中將材料屬性Density 密度、Young's Modulus楊氏模量和Poisson's Ratio泊松比參數化：

在Mechanical的Modal模態分析模塊中將第一階固有頻率參數化：

返回Ansys Workbench界面，雙擊打開Design of Experiments，設置輸入參數的限制范圍：P1- Young's Modulus為1.8E+11~2.2E+11，P2- Poisson's Ratio為0.27~0.33，P3- Density為7065~8635；隨后點擊左上角的Preview，查看優化設計點，沒問題便可點擊Update更新各設計點數據。

完成Update后，返回Ansys Workbench界面，在Project處雙擊Response Surface進入響應點界面查看結果。點擊response，默認查看輸入參數與輸出參數的2D結果，在Axes處可分別設置不同的輸入參數及輸出參數，查看各個參數之間的關系；也可以在Mode那設置成查看3D結果。同理，也可以查看局部敏感性柱狀圖，局部敏感性曲線以及蜘蛛網圖。

返回Ansys Workbench界面，在Project處雙擊Optimization進入優化界面設置優化參數，目標參數P4設置為最小值，限制類型為無限制。

然后點擊Update，完成后在Candidate Points即可查看目標函數的三個最優候選點。該分析中，最優值為P1=1.8E+11、P2=0.27、P3=8635時，其第一階固有頻率最小，為P4=123.34。

1.6 結果對比

	理論值	仿真值	誤差(%)
Young's Modulus E	1.8e11 Pa	1.8e11 Pa	0.00
Poisson's Ratio μ	0.27	0.27	0.00
Density ρ	8635 kg/m3	8635 kg/m3	0.00
First Natural Frequency w	124.0913 rad/s	123.3402 rad/s	-0.6053