1.1 優化設計概述

所謂優化，是指最大化或最小化，而優化設計是指尋找一種方案以滿足所有的設計要求，并且需要的支出最少。

優化設計有兩種分析方法:解析法--通過求解微分與極值，求解出最小值;數值法--借助計算機和有限元，通過反復迭代逼近，求解出最小值。解析法需要列方程并求解微分方程，然而針對復雜的問題列方程和求解微分方程都是比較困難的，因此解析法常用于理論研究，很少應用于工程中。

隨著計算機的發展，結構優化算法取得了較大的發展。根據設計變量的類型不同，結構優化已由較低層次的尺寸優化發展到較高層次的結構形狀優化，進而發展到更高層次的拓撲優化。優化算法也由簡單的準則法發展到數學規劃法，進而發展到遺傳算法等。

在保證產品達到某些性能目標并滿足一定的約束條件的前提下，通過改變某些允許改變的設計變量，使產品的指標或性能達到最期望的目標，就是優化方法。

1.2 優化分析工具

ANSYS Workbench 結構優化分析工具有5種，即 Direct Optimization(直接優化工具)、Goal Driven Optimization(多目標驅動優化分析工具)、Parameters Correlation(參數相關性優化分析工具)、Response Surface(響應曲面優化分析工具)及Six Sigma Analysis(六西格瑪優化分析工具)。

(1)Direct Optimization(直接優化工具):設置優化目標，利用默認參數進行優化分析，從中得到期望的組合方案。

(2)Goal Driven Optimization(多目標驅動優化分析工具):從給定的一組樣本中得到最佳的設計點。

(3)Parameters Correlation(參數相關性優化分析工具):可以得出某一輸入參數對響應曲面的影響的大小。

(4)Response Surface(響應曲面優化分析工具):通過圖表來動態地顯示輸入與輸出參數之間的關系。

(5)Six Sigma Analysis(六西格瑪優化分析工具):基于6個標準誤差理論來評估產品的可靠性概率，以判斷產品是否滿足六西格瑪準則。

1.3 分析問題描述

建造一個橫截面為b和d的均勻矩形柱，用于支撐質量為m的水箱（例子摘自S. S. Rao, Optimization Theory and Application Second edition, example 1.10, page 28-30）。要求如下：

1. 為節省成本，需最小化柱體的質量；

2. 為避免可能因風引起的共振，需最大化系統橫向振動的固有頻率。

柱體的設計需避免因直接受壓導致的失效（直接壓應力應小于最大允許壓應力）和屈曲失效（屈曲應力應大于直接壓應力）。假設最大允許壓應力為 σmax。設計向量定義為：

其中：

b = 柱體橫截面寬度

d = 柱體橫截面深度

輸入參數：寬度和高度；

響應參數：質量、固有頻率、直接應力、屈曲應力

1.4 理論分析

最小化（柱子的質量）：

最大化（水箱橫向振動的固有頻率）：

約束條件：

計算得到各參數最優解：

b = 0.36102 m

d = 1.3181 m

M = (minimum) = 21890 kg

W = (maximum) = 0.87834 rad/sec

Direct stress = 2.0386e7 Pa

Buckling stress = 6.1526e6 Pa

1.5 ANSYS分析

在Ansys Workbench中導入APDL文件，并新建優化設計分析如下圖示：

在Mechanical APDL中的Analysis將APDL的參數定義好是輸入參數還是輸出參數，并參數化：

返回Ansys Workbench界面，雙擊打開Design of Experiments，設置輸入參數的限制范圍：P1-X1為0.36~0.44，P2-X2為1.08~1.32；隨后點擊左上角的Preview，查看優化設計點，沒問題便可點擊Update更新各設計點數據。

完成Update后，返回ansys workbench界面，在Project處雙擊Response Surface進入響應點界面查看結果。點擊response，默認查看輸入參數與輸出參數的2D結果，在Axes處可分別設置不同的輸入參數及輸出參數，查看各個參數之間的關系；也可以在Mode那設置成查看3D結果。同理，也可以查看局部敏感性柱狀圖，局部敏感性曲線以及蜘蛛網圖。

返回ansys workbench界面，在Project處雙擊Optimization進入優化界面設置優化參數，目標參數P3設置為最小值，P4為最大值，限制類型為無限制；P5和P6則是值大于等于0。

然后點擊Update，完成后在Candidate Points即可查看目標函數的三個最優候選點。該分析中，最優值為P1=0.36102、P2=1.3181時，其P3最小、P4最大并且P5跟P6均大于0。

1.6 結果對比

	理論值	仿真值	誤差(%)
Width b	0.36102 m	0.36102 m	0.00
Depth d	1.3181 m	1.3181 m	0.00
Mass of column M	21890 kg	21890 kg	0.00
Natural frequency w	0.87834 rad/sec	0.87815 rad/sec	-0.020
Direct stress	2.0386e7 Pa	2.0385e7 Pa	-0.015
Buckling stress	6.1526e6 Pa	6.15112e6 Pa	-0.013