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在OpticStusio的序列和非序列模式中，我們可以使用各式的工具進行自由曲面的光學設計。本文中，我們提供了一個以切比雪夫多項式表面（Chebyshev Polynomial surface）設計出離軸拋物面的范例，且此系統是在系列模式中進行設計的。另外，在OpticStudio的序列模式中有超過20種自由曲面供選擇，本文將提到鏡頭數據編輯器（Lens Data Editor）中一些好用的篩選功能，可以協助設計者根據不同的應用決定適合的自由曲面。

簡介

相較于傳統的球形光學原件，自由曲面是一種復雜、且擁有更大設計自由度的表面。雖然在制程上較為困難，但自由曲面的使用可以大幅的減少系統的體積。自由曲面可被應用在各式不同的領域，天線、激光光束整形器（laser beam shaper）和哈伯太空望遠鏡等的設計中，早已可見自由曲面的蹤跡。

OpticStudio提供了許多好用的功能，供用戶在序列和非序列模式中進行自由曲面的設計。這篇文章，我們會在序列模式中以切比雪夫多項式表面設計出離軸拋物面。同時，我們還會討論如何快速的針對不同系統找出適合的自由曲面種類。

切比雪夫多項式表面(Chebyshev Polynomial surface)

在眾多OpticStudio的自由曲面選擇中，唯獨此表面是由切比雪夫多項式 （Chebyshev Polynomial）所定義的。這種類型的多項式的項次在歸一化方形孔徑上彼此正交，代表構成表面幾何形狀的系數呈線性獨立。如此一來，當我們對表面的幾何關系進行優化時，將不再受到局部最小值（local minima）的限制。與非球面的系統相比，自由曲面的設計過程可因此而變得更直觀。此外，切比雪夫多項式是由卡氏坐標推導出的，而多數的多項式自由曲面則用于描述旋轉對稱的系統。如此的特性使我們可以在非旋轉對稱或非橢圓孔徑的系統中對表面進行定義。

第一類的切比雪夫多項式如下：

前十個切比雪夫多項式參數如下：

T0（x） = 1

T1（x） = x

T2（x） = 2x2- 1

T3（x） = 4x3- 3倍

T4（x） = 8x4- 8倍2+ 1

T5（x） = 16x5- 20倍3+ 5 倍

T6（x） = 32x6- 48倍4+ 18 倍2- 1

T7（x） = 64x7- 112倍5+ 56 倍3- 7倍

T8（x） = 128x8- 256倍6+ 160 倍4- 32倍2+ 1

T9（x） = 256x9- 576倍7+ 432 倍5- 120倍3+ 9 倍

T10（x） = 512x10- 1280倍8+ 1120 倍6- 400倍4+ 50 倍2- 1

我們可以使用下方的tij （x，y）關系，將上式簡化為二維切比雪夫多項式：

將切比雪夫多項式的有限項次進行加總，產生如下的自由曲面矢高公式：

這里的一個ij 代表多項式總和的系數; x和y則是歸一化表面的坐標; N和M則是多項式在x和y方向上的最大項次; c則代表基本球體的曲率半徑，球體位于多項式的最上方。

由于多項式的最大階數僅受到運算速度的限制，因此就一般的情況而言，10階的多項式就已經能充分的描述大部分的表面了。

使用切比雪夫多項式表面設計離軸拋物線

我們使用切比雪夫多項式產生離軸的拋物面作為一個簡單的范例。系統的規格如下方的圖 1。

參數	數值	備注
焦距 (Focal length)	500 毫米
鏡面孔徑 （Mirror aperture）	50 x 50 毫米
偏心距離 （Decenter distance）	60 毫米	須大到足以讓焦平面位于入射光束外側
入瞳直徑（入射瞳孔直徑）	71 毫米	須容納50 x 50 平方毫米的方鏡
波長 （Wavelength）	1 微米
視場角 （Field angle（s））	0	根據理論計算最佳成像的角度

圖1：系統的實體模型，包含了一個由切比雪夫多項式表面所產生的離軸拋物面。

表面2上的coordinate break將表面在y方向上平移了60毫米。表面3則包含了切比雪夫多項式表面。因為我們想要產生一個500毫米長的焦距，因此設定該表面的厚度為500毫米。而材質的部分則設為“Mirror”，以產生一個反射表面。

圖2：在鏡頭數據編輯器中，切比雪夫多項式表面位于編號第三的字段

下方圖3顯示了表面3的表面屬性。切比雪夫多項式表面的孔徑設為50 x 50，并有-60毫米的偏心。在系統選項（System explorer）中，我們設定入瞳直徑為71毫米以容納個方形面鏡。

圖3：表面3的屬性窗口，定義了面鏡的方形和偏心孔徑。

對于切比雪夫多項式表面而言，C（2，0）這一項的系數與多項式T2（x） ? T0(y) (即 2x2 – 1）有關，而C（0，2）則會受到多項式T0（x） ? T2(y) (即 2y2 – 1）的影響。假如 C（2，0）和C（0，2）的值是相等的，則會產生出一個旋轉對稱的拋物線。要注意的是在鏡頭數據編輯器中，切比雪夫多項式表面的基本球體曲率半徑被設為零（如圖2），如此一來C（2，0）和C（0，2）即可完整的表是表面的曲率半徑。

在本范例中，切比雪夫多項式表面的最大項次為2，如圖4所示。我們可以同時由圖4得知歸一化的x和y長度。在編輯器中，這兩項均被設為85毫米，與偏心長度和面鏡的半寬總和，或是參考拋物線的曲率半徑（radius）相同。

圖4：x和y的歸一化長度設為85毫米，而x和y的最大項次為2。

為了產生拋物線，C（2，0）和C（0，2）表面被設為變量，如圖5所示。而在這兩個字段中，我們先輸入一個猜測值（-0.0001）。接著我們可以先觀察實體模型（shaded model，圖6），此時的結果并不正確，無法將入射光匯聚到指定的像面上。

圖5：使用切比雪夫多項式表面產生拋物面，我們需要設定C（2，0）和C（0，2）的系數。假如這兩項數值是相等的，則產生的結果將會是一條旋轉對稱的拋物線

圖6：實體模型的結果顯示切比雪夫多項式的系數是有偏差的，導致光線無法順利匯聚到指定像面上

當我們正確的設定方形面鏡的系統孔徑后，接著就可以使用預設優化函數進行優化了。假如拋物線在y方向上的定義十分明確，則主光線必定會落在像面上y=0的位置，此時操作數REAY便可幫助我們快速的達成目標。優化函數的設定和結果如圖7和圖8所示。

優化完成后，預期的拋物線如圖9和圖10所示。C（2，0）和C（0，2）的正確系數為-2.5e-4。標準點列圖（spot diagram）顯示了預期的理想結果。

圖7：默認優化函數的設定

圖8：優化函數編輯器中的前幾行

圖9：優化功能協助我們找到切比雪夫多項式表面的C（2，0）和C（0，2）項系數。

圖10：3D視圖和點列圖顯示產生的離軸拋物線結果，光線如預期的匯聚于像面上。

選擇自由曲面

鏡頭數據編輯器中的表面分類可以幫助用戶快速找到適合的表面。在 OpticStudio 中，我們可以在表面類型的下拉菜單中找到所有可用的自由曲面，數據庫中有超過20種表面供選擇。假如傳統的Q型非球面 （Q-Type）或偶次非球面較符合需求，我們也可以在“常規面”的選單中找到這些常見的表面。

圖11：我們可以依照系統需求在鏡頭數據編輯器中找到適合的表面分類。

自由曲面數據庫中包含了由多項式定義的一般表面和繞射表面，以及由數個控制點（control point）定義的表面。

多項式自由曲面

• 雙錐Zernike （Biconic Zernike）
• 切比雪夫多項式 （Chebyshev Polynomial）
• 圓柱菲涅爾 （Cylinder Fresnel）
• 擴展菲涅爾 （Extended Fresnel）
• 通用菲涅爾 （Generalized Fresnel）
• 奇次非球面和擴展奇次非球面 (Odd Asphere和Extended Odd Asphere)
• 多項式和擴展多項式 （Polynomial和Extended Polynomial）
• 超圓錐面 （Superconic）
• 澤尼克環形標準下垂
• 澤尼克邊緣凹陷
• 澤尼克標準下垂

繞射自由曲面

• 橢圓光柵1和2 （Elliptical Grating 1 和 Elliptical Grating 2）
• Toroidal 光柵 and 擴展 Toroidal 光柵 （Toroidal Grating 和 Extended Toroidal Grating）

自由形式擬合控制點

• 三次樣條和擴展三次樣條 （Cubic Spline and Extended Cubic Spline）
• 網格漸變 （Grid Gradient）
• 網格矢高 （Grid Sag）
• 徑向NURBS (Radial NURBS)
• 環形NURBS

參考文獻

1. M. Tricard 和 D. Bajuk，“自由曲面光學的實際實例”，載于《可再生能源與環境》，OSA 技術文摘（在線）（美國光學學會，2013 年），論文 FT3B.2。