1、模型修正基本理論

在土木、航空、航天、汽車、船舶等工程領域中，有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是結構設計過程中不可或缺的關鍵步驟。準確的有限元模型對于預測結構在荷載作用下的響應至關重要。然而，建立一個與實際結構高度一致的有限元模型，僅依靠工程師的經驗是難以實現的。由于眾多不確定性因素的存在以及分析過程中不可避免的假設，有限元模型往往存在一定程度的誤差。這些誤差可能來源于多個方面，例如邊界條件的簡化、結構連接條件的失真、材料物理參數的偏差、局部或整體非線性行為的忽略、實際工作狀態與假設分析狀態的不一致，以及單元類型選擇或網格劃分的不當等。這些因素共同導致有限元分析結果無法完全真實地反映結構的實際特性。

結構的試驗模態分析（Experimental Modal Analysis, EMA）基于實際結構的測試數據，避免了理論分析中的許多簡化假設。特別是自二十世紀六十年代以來，試驗模態分析技術取得了顯著進展。高速計算機的出現和快速傅里葉變換（FFT）算法的應用，使得試驗數據處理技術煥然一新，模態測試精度得到了大幅提升。與有限元分析結果相比，試驗模態分析結果具有更高的可信度。

因此，可以結合有限元分析技術和試驗模態分析技術的優勢，利用有限元分析建立結構的初始分析模型，再通過試驗模態參數對其進行修正，從而獲得高精度的有限元模型。這種高精度模型可為結構響應預測、動力特性修改、優化設計、可靠性分析、損傷監測與故障診斷等工程應用提供重要支持。這一過程被稱為有限元模型修正技術，也稱為理論-試驗聯合建模技術。

有限元模型修正方法主要包括靈敏度分析法、粒子群算法和神經網絡算法等。其中，基于參數的靈敏度分析法因其高效性和確定性，相較于其他具有隨機性的算法更具優勢。在模型修正過程中，待修正參數通常從模型的設計參數中選取，這些參數可以是材料屬性、幾何參數或邊界條件等。當調整原始模型的待修正參數p=(p1, p2, ..., pn)時，模型的模態參數、模態置信準則（Modal Assurance Criterion, MAC，用于評估模態間的獨立性和一致性）、質量矩陣或剛度矩陣等修正目標 f 會隨之發生變化。因此，修正目標f可以表示為待修正參數p的函數，記作f(p)。為了簡化問題，通常在初始參數p處對f(p)進行一階泰勒展開，以實現問題的線性化：

上式中，p0為待修正參數的初始值對于m個修正對象，n個待修正參數得到的靈敏度矩陣為

將公式（2）代入公式（1）得：

模型修正的目標是通過調整待修正參數，使修正對象與試驗結果之間的誤差最小化，同時確保待修正參數保持其物理意義。為此，需要為待修正參數設定合理的取值范圍，并以誤差函數的二范數Min(∥ΔE∥2作為優化目標。其中，誤差函數ΔE定義為修正對象與試驗結果之間的差異：

其中，fs(p)和ft(p)分別為修正對象的有限元仿真值和試驗值，pmin和pmax分別為待修正參數取值范圍的最小值和最大值。利用Lagrange乘數法（Lagrange Multiplier Method, LMM）聯立公式（3）和公式（4），得：

進而，設計參數的變化量可表示為

式中上標+表示廣義逆。然而，即使采用廣義逆算法，待修正參數的類型不同時，其大小的數量級波動較大，使靈敏度矩陣極易出現病態，所以靈敏度矩陣的元素需要先進行歸一化處理。為了使迭代計算更加高效準確，分別對待修正參數的變化量Δp和修正對象的誤差ΔE進行加權處理，NTS.LAB Link中默認采用的歸一化的方式如下：

式中，Wp和We分別為變化量Δp和修正對象的誤差ΔE的加權項，λ2為加權系數。以模態頻率和模態振型MAC值為修正對象為例，加權系數矩陣We可表示如下：

式中，Wf為頻率加權系數對角矩陣，WMAC為模態振型MAC值得加權系數對角陣。公式（7）中Wp可表示為

式中。

對公式（7）中的變化量Δp求偏導，以求目標函數的極小值，解得：

2、電路板的模型修正

2.1 試驗模態分析

在本次試驗中，電路板通過彈性繩進行水平懸掛，以此模擬自由 - 自由邊界條件（如圖1所示）。采用漢航Hunter H18高精度數據采集儀，并結合NTS.LAB DSA數據采集與分析軟件，通過單點激勵多點響應（SIMO）的錘擊法對試驗件進行模態試驗。試驗過程中，NTS.LAB DSA軟件實時采集頻響函數（FRF）及相干函數等數據，其操作界面如圖2所示。

圖1 模態測試的試驗件及支撐狀態

圖2 NTS.LAB DSA數據采集軟件界面

試驗完成后，將測得頻響函數發送至NTS.LAB Analysis中，采用試驗模態分析模塊進行模態參數識別，如圖3所示，識別出電路板的前10階模態參數列表如表1所示，對應的振型如圖4所示：

圖3 NTS.LAB Analysis參數識別過程中的極點穩態圖

表 1 識別出的模態參數

圖4 NTS.LAB Analysis識別出的模態振型

2.2 有限元模態分析

采用實體單元建立電路板的有限元網格模型，單元個數為27247，自由度數為331284，如圖5所示：

圖5 電路板有限元網格模型

由于復合材料的理論參數未知，臨時設置材料屬性參數：楊氏模量為147GPa、密度為7800kg/m3、泊松比為0.3，采用有限元軟件計算得到結構模態，其中前6階模態為剛體模態，不做展示，第7~16階的模態參數如下：

圖6 有限元計算模態

2.3 模型修正

（1）相關分析

將有限元網格模型數據和試驗模態分析結果導入漢航NTS.LAB Link軟件中，使用軟件中動力學模塊重新計算有限元模型的結構模態（頻率設置大于1），在相關分析模塊中進行幾何模型匹配和節點匹配，結果如下：

圖7 試驗模型與有限元模型匹配前后對比

圖8 測點與節點匹配結果

在節點匹配準確的基礎上，進行模態匹配和相關性分析，頻率匹配結果如表2所示，MAC矩陣的三維圖如圖9所示，振型匹配情況如圖10所示：

表2 修正前模態匹配結果

圖 9 試驗與有限元前10階結構模態的MAC圖

圖10 前10階模態振型匹配結果

（2）模型修正

通過模態相關分析可知，有限元模態頻率與試驗模態頻率的偏差較大，這是由于模型材料參數是任意設置的，不能反映電路板的真實材料特性。因此，選擇前10階模態頻率作為主要修正響應，進行材料參數修正。先進行參數靈敏度分析，然后進行模型修正，具體結果如下：

圖11 參數靈敏度分析

圖12 電路板修正結果

由上圖結果可知，修正前后對比模態頻率和MAC值均得到了較好的改善，其中，10階模態MAC值的平均值從修正前的86.1%提高到了95.1%，模態頻率修正結果如下：

表3 修正前后有限元計算模態頻率

修正前后的材料參數為

表 4 修正前后的材料參數

3、總結

模態測試及有限元模型修正作為連接理論設計與工程實踐的關鍵紐帶，通過“實測驗證模型、模型指導設計”的閉環流程，對PCB電路板開展模態測試及有限元模型修正工作，可顯著提升其設計質量、可靠性和使用壽命，同時優化產品開發流程，降低開發成本。

漢航NTS.LAB軟件功能完備，集模態測試分析、模型修正及有限元仿真分析等功能于一體，深度融合理論與實際應用，使設計更具科學性和合理性，形成良性循環。該軟件能夠實現PCB多物理場耦合特性的綜合評估，并為設備通過振動環境試驗（如GJB 150A-2009、ISO 16750-3）提供重要支撐數據，助力產品在復雜環境下的可靠性和穩定性驗證。

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