1．介紹

動態多模分析的目的是進行激光多模和激光調Q運轉分析。激光腔內橫模結構近似為HG和LG模式。HG和LG模式是不同本征頻率對應的正交特征函數，我們假設模式之間的橫模振蕩互不干擾，因此模式之間的短時干涉影響可以忽略。基于這個假設，起振模式中的反轉粒子數密度和光子數是由下面的以時間為變量的3D速率方程描述：

方程2-3中的參數如下

方程2-3用于四能級激光系統。準三能級系統的多模分析還在研究中。三能級（泵浦能級）和能級2（激光上能級）之間，能級1（激光下能級）和能級（基態能級）之間的快速衰減速率已被假定。

在前面的章節中有詳細的關于計算激光輸出功率，Q開關運轉和光闌影響的參數和方程之間的數學關系的介紹。或者，可以點擊LASCAD主窗口主菜單的“Help DMA Code”。

接下來有一個關于DMA編碼的指南。它顯示了怎樣比較合理地定義DMA GUI中單個輸入參數來模擬CW多模操作，Q開關運轉和光闌的影響。

2．激光器連續輸出時輸出功率，模式競爭，和光束質量的模擬

要使用DMA編碼，需要在腔內插入一個熱透鏡晶體。可以參照教程1的說明，準備一個端面泵浦的晶體。簡便地，我們可以直接打開tutorial-1.lcd文件激活腔結構，該文件可以在LASCAD的子目錄“tutorials”中找到。在我們設置好FEA編碼和在模式腔內插入晶體后，在LASCAD主菜單中選擇 “Dynamic Multimode Analysis”，打開DMA窗口。在該窗口中，點擊Open GUI for DMA，打開“Dynamic Multimode Analysis”。該窗口有5個標簽，如下：

2.1 高斯模式選項

點選該選項并選擇“type of Gaussian modes”來近似激光模式結構。如果模式結構是象散的，選擇Hermite-Gaussian模式。在旋轉對稱腔結構設計時，選擇LG模式更好。但是，如果橫模數量較多，則推薦采用Hermite-Gaussian模式，高階LG在數值上更復雜。模式類型選擇會自動地基于激光模式結構的象散選擇。“Maximum transverse mode order”定義在x和y方向的最大傳輸模式階數N_max。但是，隨著N_max的增加，由于總模式數

因此M也會跟著變大，將耗費一定的計算時間。

如果N_max已經定義，我們需要設置“Number of grid points in x- and y- direction”足夠大來解決高階傳輸模式的傳輸強度振幅分布。否則，該數值和熱FEA中使用的橫向格點大小一樣。熱FEA大小仍然保留“Number of grid points in z-direction”。

“Stretch factor in x- and y-direction related to beam diameter”的定義嚴格依賴于N_max和在Help中描述的泵浦光分布情況。如果N_max=0，我們就需要將伸展因子設置為2來考慮基模和吸收泵浦光功率分布的疊加情況。

2.2 速率方程選項

雖然該標簽的定義已經在LASCAD的“Laser Power Output”窗口定義過，但是還是有必要在該標簽中再定義一次。與時間無關的激光功率輸出結果相比，該窗口處的定義需要與別的輸出一致。

2.3 CW運轉選項

“Time resolution”的默認值10ns，與普通激光結構相符。但是，該條目和“Time period used for simulation”應該受計算結果控制。

2.4 光束質量

光束質量因子

和

是根據Siegman and Townsend用如下方程計算的

2.5 結果

DMA GUI中點擊“Calculate”，彈出DMA Calculation窗口顯示計算進程。在窗口顯示的信息中，如“Power output for TEM00 mode using CW time independent recursion formula” 用于與相關計算的對比，在Laser Power Output窗口打開后開始計算。

在計算末，顯示了最后四分之一模擬時間的單個模式平均功率輸出。為了減少輸出尖峰的影響，平均時間必須嚴格與模擬時間的四分之一相同，如圖1。如果尖峰擴展到最后四分之一模擬時間，我們推薦增加“CW Operation”標簽中的“Time period of simulation”。接下來，如果沒有其他具體的參數指定，物理量按照上述方式進行平均。

如果按照教程1中的條件設置腔結構，并保持DMA GUI選項中的默認設置（除了將Nmax設置為3），我們可以得到表1中的結果。

Mode (0,3): 1.23341

Mode (0,2): 0.598921

Mode (0,1): 0.560508

Mode (1,2): 0.550806

Mode (3,0): 0.545464

Mode (1,3): 0.491664

Mode (0,0): 0.456887

Mode (3,1): 0.417439

Mode (1,1): 0.413295

Mode (1,0): 0.346157

Mode (3,3): 0.323292

Mode (2,2): 0.321322

Mode (2,1): 0.305183

Mode (2,0): 0.160791

Mode (3,2): 0.149285

Mode (2,3): 7.35643e-040

表1 單個模式功率輸出教程1中腔結構

該結果顯示教程1中象散對吸收泵浦功率密度的影響，在x-z平面呈高斯分布，在y-z平面是指數為10的超高斯分布。如表中所示，模式（m ,n）和模式（n, m）的功率大小不同，例如，Mode(0,3)功率為1.31W，Mode(3,0)的功率僅有0.57W。結果，x方向和y方向的光束質量

，

不同。總輸出功率為6.87W。

在關閉DMA和LASCAD之后，我們也可以通過打開DMA相關目錄下的output.txt文件查看數值結果。

點擊DMA GUI的“Show Results”按鈕，打開DMA觀察器查看結果。在觀察窗口下方的下拉框中可以選擇重要的2D和3D圖。

圖1 輸出功率隨時間變化

圖1顯示，隨時間變化的輸出功率圖。計算開始時假定反轉粒子數密度

。因為這不同于熱平衡條件，所以一開始會看到尖峰，隨著時間的增加輸出功率逐漸變小，最后會趨向于常數。基于腔結構，我們有必要增加“Time period used for simulation”來實現收斂。

單個模式隨時間變化的輸出功率也可以單獨顯示。

同時也可以顯示隨時間變化的輸出功率二維圖，沿腔軸TM00模式光斑圖。 “Beam profile in the crystal” 三維圖，基于單個模式對總輸出功率的貢獻，顯示了它們之間的疊加。基于教程1的腔結構的例子，如圖2。該圖顯示了教程1中吸收泵浦光功率密度的象散分布影響。可見，強度分布有很明顯的象散，y方向的高階橫模比較突出。

圖2 晶體中光束截面分布

3 Q開關運轉模擬

在“Pumping”下拉框中可以選擇兩個不同模式的泵浦，CW泵浦和脈沖泵浦。脈沖泵浦可用于近似被動Q開關模型，見第3.3節。

3.1 CW泵浦

對于連續波長泵浦，由重復固定頻率引發的預定義脈沖也可以計算。在速率方程中引入較高的人為腔損耗可以抑制裝入時的激光震蕩，可以在“Q-switch induced loss during load phase”框中定義。我們通常采用該參數的默認值0.8。因為在載入期沒有受激輻射發生，此時產生粒子束反轉。

如果打開周期大于0，人工調Q損耗不會立即減少，但是會在已定義的開放時間不斷地降低到普通腔損耗。但是，該參數對脈沖能量和形狀只有非常微小的影響。

因此，一個合適脈沖周期的定義很重要。該值不代表脈沖物理寬度，僅定義了脈沖計算的時域。在脈沖產生時，粒子束反轉和光子密度會瞬間變化，很有必要在脈沖周期內定義一個數值較大的時步來獲得較好的離散。因為腔結構會導致脈沖生成被延遲，可能需要我們設置脈沖周期比脈沖帶寬大，來阻止脈沖展寬成弛豫周期。

加載時間“Load period”+打開時間“opening period”+脈沖時間“pulse period”必須小于脈沖重復周期“pulse repetition period”。在計算多個脈沖時，剩余時間就是松散周期，是脈沖周期和新的導入時間之間的緩沖區。在松散周期中的時步可以很小，因為粒子束反轉和光子密度在此時幾乎不變化。

3.2 CW泵浦結果

再一次結合教程1中的腔結構與DMA GUI標簽中的默認設置，除了設置基模（N_max=0），計算結果顯示了3個脈沖中的最后一個。

Power output averaged over pulse repetition period [W] = 2.92419 

Pulse energy [mJ] = 0.194946 

Pulse width (FWHM) [ns] = 5.15 

Average Beam Quality M² in x-direction = 1 

Average Beam Quality M² in y-direction = 1 

Peak power output 32216.1 [W] at time 0.000198894 [s]

輸出脈沖的最大值提供了光學元件損耗的重要信息。

像“DMA Viewer Help”描述的，在放大“Power output over time”的二維圖后，可見脈沖外形。圖3顯示了一個典型的脈沖形狀的例子。

圖3 CW泵浦典型脈沖外形

3.3 脈沖泵浦

除了“CW pumping”，“Pulsed synchronous with Q-switch”也可以選作“Mode of pumping”。該輸入可用于創建被動Q開關的近似模型。在脈沖泵浦的情況下，假設泵浦的起始時間與導入時間同步。在連續波泵浦中，脈沖泵浦頻率明顯要比脈沖重復頻率小很多，但是兩種脈沖的時間間隔很大。因此，脈沖之間沒有重疊發生，我們限制脈沖數為1。計算的時間周期以脈沖周期截止。

然而，脈沖重復頻率必須由以下因素來定義。目前的LASCAD版本使用一個時間獨立的代碼進行熱分析。在熱分析時，如果采用脈沖泵浦，我們需要采用泵浦功率平均時間。如果泵浦頻率大于60HZ，近似精度就足夠了。在FEA窗口定義的值是用泵浦功率平均時間除以“Pulse repetition frequency”與“Load period”乘積，采用該計算可以得到脈沖泵浦的泵浦功率。因此，兩個條目都必須在選項卡Q-switch中定義。低泵浦頻率和單泵浦的與時間相關的熱FEA還在研究中。

因為脈沖泵浦很容易實現很高的粒子束反轉，相比于連續波泵浦，輸出鏡的反射率低一些。我們繼續使用教程1中的腔面結構，Nmax=0，速率方程標簽下的輸出鏡的反射率為0.5，調Q條目的設置也一樣，得到如圖4的結果：

Pulse 0: M²x = 1 M²y =1 

Power output averaged over pulse repetition period [W] = 71.8257 

Pulse energy [mJ] = 14.3687 

Pulse width (FWHM) [ns] = 0.495 

Average Beam Quality M² in x-direction = 1 

Average Beam Quality M² in y-direction = 1 

Peak power output 2.3572e+007 [W] at time 0.000200002 [s] 

Power averaged over whole simulation time [W]: 71.8257, 

with whole simulation time [s]: 0.00020005. 

Power output of individual modes averaged over computation period [W]: 

Mode (0,0): 71.8257 

Power output summed up over all considered modes = 71.8257

圖4 脈沖調Q參數設置

圖5 脈沖泵浦脈沖外形

采用圖4的輸出參數，得到圖5所示的脈沖形狀。

4 光闌影響模擬

“Apertures”標簽下的條目可以設置高斯光闌和硬邊光闌，另外，也可以是硬邊、高斯或者超高斯的平面鏡。

4.1 硬邊光闌和平面鏡

硬邊光闌或者平面鏡可以是橢圓的，矩形的。在“Type of Aperture”的下拉框中選擇相關條目。

如果孔徑的位置小于0，光闌代表了輸出平面鏡（即右端面鏡），在x，y方向的光闌大小不等。

采用教程1中的腔面結構，N_max=3，半徑大小為0.2mm的圓形端面鏡，運行連續波計算。表2顯示的結果與表1不同，因為輸出平面鏡的半徑大小有限。只有模式(0,1)，（1,0）和（0,0）對輸出功率起作用。相應地，與2.5節中沒有使用光闌的結果相比，輸出功率從6.9W減少到4W。但是，光束質量得到改善，

。

Mode (0,1): 1.83459

Mode (1,0): 1.42093

Mode (0,0): 0.721171

Mode (1,1): 5.85802e-042

Mode (2,0): 4.07249e-042

Mode (0,2): 2.36935e-042

Mode (2,1): 9.62273e-043

Mode (1,2): 7.98643e-043

Mode (3,0): 6.69612e-043

Mode (0,3): 4.63281e-043

Mode (2,2): 3.62786e-043

Mode (3,1): 3.49377e-043

Mode (1,3): 2.9093e-043

Mode (3,2): 2.12117e-043

Mode (2,3): 2.08619e-043

Mode (3,3): 1.53504e-043

表2 最后四分之一模擬時間的單個模式平均功率輸出

采用教程1中的腔結構，另外，輸出平面鏡的半徑大小為0.2m

4.2 超高斯輸出平面鏡

因為ABCD矩陣算法中沒有考慮超高斯光闌，所以超高斯分布內部就采用指數SG的高斯近似，如圖6所示，SG=4。該近似是合理的，因為只有半徑小于

的模式才會對總的模式外形造成影響。獲得的高斯擬合用在ABCD矩陣算法中。

圖6 SG=4的超高斯反射率分布的高斯擬合

接著，我們繼續采用教程1的腔結構，Nmax=3，其他與10.4.2.4，10.4.4.1節的設置相同。運行連續波計算，我們得到表3的結果。我們可以看到，由于超高斯輸出鏡，僅有00模式存在。相應地，光束截面分布顯示了著名的高斯基模外形。令人驚奇的是，該模式的功率為4.22W。該大小與2.4節得到結果相比，明顯高出了很多，4.2節中所有模式的總功率為6.87W。

與硬邊光闌的結果相比，硬邊光闌條件下的輸出功率為4W，而超高斯光闌的輸出功率為4.22W，然而，x，y方向的光束質量改善到1。

Mode (0,0): 4.22301

Mode (0,1): 3.01251e-041

Mode (1,0): 1.1211e-041

Mode (0,2): 8.25512e-042

Mode (1,1): 6.72075e-042

Mode (0,3): 4.86947e-042

Mode (1,2): 4.73229e-042

Mode (2,0): 4.64064e-042

Mode (2,1): 4.03505e-042

Mode (1,3): 3.73545e-042

Mode (2,2): 3.60176e-042

Mode (2,3): 3.24972e-042

Mode (3,0): 3.24888e-042

Mode (3,1): 3.21808e-042

Mode (3,2): 3.16512e-042

Mode (3,3): 3.05088e-042

表3 最后四分之一受激時間的單個模式的功率輸出

基于超高斯輸出平面鏡，教程1的腔結構的計算

5．結論

上面章節的所有計算證實了DMA編碼用于多模競爭的動態分析和Q開關都是一個非常好用的工具。該工具可以計算與時間相關一系列單個橫模的相互作用，光束質量，激光輸出功率，橫模結構的強度分布，連續波和脈沖泵浦的脈沖外形，脈沖波峰強度等。因此它給激光工程師在優化激光腔結構時提供了重要的信息和幫助。