文獻作者：Michael Kuhn, Frank Wyrowski, and Christian Hellmann

文獻來源： Non-sequential Optical Field Tracing. Advanced Finite Element Methods and Applications. Springer Berlin Heidelberg, 2013:257-273.

 

摘要

通過考慮諧波場而非光線，光場追跡法對光線追跡法進行了概括推廣。光場追跡法可以容許位于系統不同子區域的不同的建模技術進行無縫連接。基于分解和互聯的理念，這篇文章介紹了非序列場追跡的基本概念，同時推導出了相應的算子方程組和一個求解公式用于仿真。對問題的求值需要局部麥克斯方程的解（分解）；并且隨著迭代過程的收斂實現解決方案在通過界面處的連續性（互聯）。通過使用引入的一種新的光路樹算法，對需要求解的局部問題的數量進行優化。最后，我們展示了一些選擇局部麥克斯韋方程組的案例和數值結果。

 

1.簡介

 

現代光學系統設計需要高級模擬技術。通常，仿真過程中需要在時域或者頻域中求解麥克斯韋方程組。即使這些方程的解決方案已經在過去數十年被廣泛的討論，使用比如有限元法（FEM），但由于以下主要原因，其在光學領域仍然非常具有挑戰性：（1）感興趣的波長一般在1微米以下，有時甚至在100納米之下，（2）一個系統中的長度量級可能在納米和米之間變化。應用波長532納米（綠光）的標準激光系統，使用特征尺寸僅有幾微米的結構界面并且需要在一個系統中與數厘米或者米的結構一同模擬。這表明物理光學模擬，例如，使用標準的有限元法，如今在標準計算機上并不可行。

 

另一方面，大部分光學系統可以通過使用近似的方法，實現足夠精確的模擬。尤其是光線追跡方法在光學模擬中得到了廣泛的使用。幾款基于光線追跡方法的商業工具在二十世紀八十年代隨著個人電腦技術的新興便已確立。然而，光線追跡方法有一些嚴重的限制，例如，當系統中存在微結構時，其便會失效。

 

這就是我們引入場追跡的原因[6,12]。場追跡將一個光學系統分解成子域。與光線追跡相比，場追跡是計算通過系統的電磁諧波場。在實際應用中，此方法具有三個基本的優勢：（1）場追跡法統一光學建模。其概念允許我們在系統的不同子域中應用任何表述矢量諧波場的技術。（2）應用矢量諧波場作為場追跡的基礎，為光源建模提供了極大的便利性。通過讓諧波場集在系統中傳輸，可以研究部分時間和空間相干光源以及超短脈沖[9]。（3）在系統建模和設計中，探測器函數的任意類型評價非常重要。使用矢量表述諧波場，能夠自由的獲取所有的場參數，因此能夠引入和評估任意類型的探測器。在場追跡中，通過求解局部麥克斯韋問題以計算各子域。這些局部問題具有這樣的屬性：能夠在所有容許函數的子空間中產生解。此外，近似的麥克斯韋求解器足夠精確且比嚴格的麥克斯韋求解器更高效。從這個意義上來說，我們調整了“域分解以及分解和互聯”方法的主要理論，而這些方法已經被使用在許多應用中，參考引用文獻[3]和[4]。場追跡的目標是通過聯合不同的子域求解器，在保證計算精度的情況下，盡可能快的構筑出一個針對問題的求解器。通過施加連續條件，將局部解進行耦合以求解全局問題。為了這個目的，我們希望將那些在光學中已經完善建立的追跡技術普遍化。文獻[12]著重介紹了序列情況。此處我們希望將此理論擴展到非序列情況中并增加更多的描述求解器的算法模塊。這篇文章展示了如何進行將分解和互聯進行應用。

 

這篇文章結構如下。在第二部分，我們討論了局部麥克斯韋求解器的定義。我們描述了如何使用分解和互聯的方法來闡述3D麥克斯韋問題。基于諾依曼級數推導出來的使用局部算子的解公式導致一個無窮求和。通過使用一個修訂的公式，可以將求和作為一個迭代過程進行重構，這個公式將在第三部分討論。算法本身可以歸結為一個光路邏輯樹。應用場追跡方法求解局部問題將在第四部分討論。最后，我們將在第五部分呈現數值結果并在第六部分進行總結。

2.分解和互聯方法

 

光學系統建模主要是求解麥克斯韋方程組以在R³中獲得電場E和磁場H。麥克斯韋方程組的頻域表示如下

 

對于線性物質方程和各向同性介質。系統的折射率n ?(r)是非均勻的，并且定義如下：

 

，其中r=(x,y,z)。各頻譜w的解是一個電磁諧波場，它是由三個電場分量和三個磁場分量決定的。在光學系統建模中，求解系統域Ω中所有場的分量是一個最普遍待解決的任務。

為了簡化符號我們使用場矢量V來概述六個場方向：

 

由麥克斯韋方程來看，很明顯六個場方向并不是獨立的。尤其是我們總是可以從電場矢量計算出磁場。然而我們使用場矢量V是為了強調模擬中必須包含了六個場分量，這為我們定義探測器提供了最大的靈活性，能夠方便的讓我們進行光場性能評估。例如，在能量考慮方面，坡印廷矢量是非常實用的。其定義結合了磁場和電場。

圖1闡述了所關心的建模情景。系統位于域Ω?R³中。J 個子域Ωj都處在折射率n ?(r)中，其中r=(x,y,z)是非均勻的。我們使用Γj來表示各子域Ωj的邊界。

圖1.形式上一個系統被分成J個子域Ωj。所有的子域都處在一個折射率為n的均勻和各項同性介質中。子域的邊界用Γj表示。

從實際的角度來看，子域與系統的元件緊密相關，但對于接下來要討論的內容來說那并不重要。特別是其有利于將一個元件分解成多個子域。此外，有時候這有利于在系統的均質區域定義一個子域。根據建模技術的規格，可以在一定程度上自由地選擇子域的形狀和尺寸。所有的子域都處在折射率為n的均勻電介質中。

 

為了獲得一個公式以模擬整個系統，我們應用了一些分解和互聯的方法。首先我們為每個子域Ωj定義了散射問題。然后我們確定方程以將局部散射問題的解進行互聯。最終，全局問題由一個均衡方程描述以確保場的連續性。

為了定義局部散射問題，我們將邊界Γj處的光場表示為

 

此外，我們使用來定義作用于子域Ωj的輸入光場，使用來定義對應的輸出光場。通過算符 散射問題的解定義了輸入場到輸出場的映射

互聯問題描述了在均質中一個輸入場和一個輸出場中任意一對（，）之間的關系。為此我們引入了算子，將輸出場子域?映射到輸入場子域j，其中?≠j：

圖2.場追跡經過邊界Γj（左邊）的兩個平面部分之間的一個子域和場追跡在兩個子域（右邊）的平面邊界部分間的傳播的應用示意圖。

以前計算需要求解一個麥克斯韋問題，但是現在在均勻介質R³的半空間（與Γj相關）且在邊界Γj處的入射場為時，在邊界Γi處所求得的解僅產生。

 

最后，我們必須確保光場的連續性。由此引出處理所有子域間的多次作用問題的均衡方程。在Γj處的輸出場必須滿足方程

可選的光源場會作用于子域j的輸出場，并因此和包含所有其他子域貢獻的和相加。根據（10）我們推導出一系列J 方程以用于計算未知的，其中j=1，…,J。

下一步我們推導方程（10）的矩陣公式。為此，我們定義以下的矢量和矩陣：

 

I是恒等算子的對角矩陣。因為我們不考慮子域輸出場到其自身輸入場的映射，因此P的對角元素總是0。基于此定義我們重寫了方程（10），其形式如下

其將產生

 

如果下列條件

       

滿足的話，則方程（17）可以很好的被定義并使用諾曼級數[7]來進行求解

 

對廣泛的應用來說，條件（18）是成立的。在介質中、外部邊界處（無限）或者與探測器相連的邊界處的任意吸收過程都會導致||CP||<1，因為||C||≤1且||P||≤1。然而，對于沒有任何損耗的腔體，||CP||=1，因此，諾曼級數不會收斂。在這種情況下，分解和互聯方法必須在一個本征求解器中使用。

(19）中的級數極限是光學仿真問題的解。一個合適的截斷可以用于近似解。很明顯，連續的被加數可以通過一個更新后的公式進行計算。這種方法會導致一個所謂的光路樹算法，我們將在下一部分討論。為了進行求和計算，必須求解局部麥克斯韋問題以評估算子C和P。只要使用場矢量V的耦合確定了，任意嚴格或是近似的求解器的都能使用。這種方法稱之為場追跡，我們將在第四部分進行討論。

 

3.光路樹

 

此部分我們將討論如何有效地對方程（19）進行求解。為了避免重復相同的操作，我們將使用更新的公式。通過對無窮和進行截至，我們定義了一個迭代過程。第k次迭代的定義為

我們引入了一個輔助變量 。然后，通過定義初始條件

     

我們獲得了如下的更新公式

 

給予一個閾值δ，一個合適的終止判據可由此定義

        

其中rk是更新的的相對功率：

     

即使，為了求解矢量，我們已經定義了一個迭代過程。在每一步迭代中，我們必須求解多組局部麥克斯韋問題：一種是對每個子域Ωj（應用算子C）；一種是對任意子域Ωi和Ωj（應用算子P）之間的每個自由空間區域。如果(18)成立，則結果將會收斂。我們將在第5部分給出了使用終止判據（25）獲得的收斂結果。

 

事實證明更新公式（23）需要進行進一步的討論。對某一行j 進行矩陣符號擴展，可以給出求和形式

 

每個被加項都代表一個諧波場。為了利用那些勇于有效的構建子域求解器的場的局部特性，可取的的方法是不進行求和計算，而是在后續進行計算中操作單項被加數。

 

上述情況促使我們開發了光路樹。這個算法能夠考慮迭代矢量的稀疏性。這種稀疏性常見于光學模擬。實際上，這似乎有以下原因：（1）只有單個光源存在，（2）光沿一個路徑傳播通過元件（例如，在顯微鏡中經過一系列透鏡），（3）僅僅在表示探測器的一個（或者一些）平面上計算結果（例如，一個相機）。在[12]中已經討論了序列場追跡（其中命名為“對流單鄰近似”），對一個包含初始（光源）到終止（探測器）光路系統，它生成一個非零輸入的。這里，我們將這種方法推廣到一般情況，我們也稱之為非序列場追跡。

 

舉一個簡單的例子，我們來討論光路樹的結構，這個例子是一個包含了一個光源、兩個平板和一個用于計算光場的探測器的光學系統。裝置如圖3所示。

圖3.包含一個光源，兩個平板和一個探測器的光學系統的例子。箭頭表示的是求和中的單個被加項，級次代表了計算截斷求和的迭代步數。

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