由于文章四十五、四十六及四十七都是Fluent壁面函數的相關內容，為了便于查看，這篇文章將上述三篇文章的內容整合到一起，文章內容沒有任何增刪。

壁面函數理論及y+的確定

0. 前言

什么叫做壁面函數，為什么引入壁面函數的概念??

 

因為流體無論流動，還是傳熱、傳質都存在邊界層。而之所以有壁面函數這個東西，根源就在于邊界層理論。

 

 

1. 邊界層理論

大家都知道什么是邊界層理論，我們想要理解壁面函數，就必須搞清楚邊界層理論的產生對數值計算帶來了什么影響？？？。

 

邊界層分為速度邊界層、熱邊界層和濃度邊界層。

 

速度邊界層：當具有粘性的流體，經過壁面附近，流速下降，直接貼附于壁面的流體靜止不動的一個薄層。

 

熱邊界層：指黏性流體流動壁面附近形成的以溫度劇變為特征的流體薄層。

 

熱邊界層厚度：

其中δ表示速度邊界層的厚度，δt表示熱邊界層的厚度

濃度邊界層：某組分在流體中的濃度與固體壁面的濃度存在差異，則在壁面垂直方向上的流體內部將存在濃度梯度的流體薄層。

 

濃度邊界層厚度

其中δ表示速度邊界層的厚度，δc表示熱邊界層的厚度，

 

2. 近壁面細節捕獲

這三種邊界層都有一個共同的特點，那就是某個物理量A發生劇變，在邊界層內產生非常大的梯度，且越靠近邊界層梯度越大。而在邊界層外，物理量A與主流中的物理量A值幾乎相等，不存在梯度。

 

為了獲得更加精確的計算結果，必須對邊界層內的物理量梯度進行非常細節的捕獲，如果捕獲呢？？我們首先冒出來的想法---網格加密

邊界層網格加密是一個方式，將邊界層網格畫的非常密，越靠近邊界層網格越密，這樣可以捕獲更多的細節，同時計算也會更加準確。

 

但是邊界層網格加密存在兩個缺點：第一，網格數量大大增加，為了獲取更多的細節，需要不斷細化網格，計算時間大大加長；

第二，網格質量變差，邊界層網格的加密，導致網格的縱橫比非常大，甚至達到上百，高縱橫比可能會導致計算難以收斂，甚至發散。

 

 

 

 

3. 湍流邊界層的壁面律

有沒有一種方法，既不需要劃分更多的網格，同時還能捕獲更多的邊界層細節呢？？

 

于是乎，大佬們想出了這樣一種辦法。既然邊界層內的物理量細節難以捕獲，那么直接通過實驗獲得邊界層內這些物理量的變化規律，然后將這些規律直接應用到數值計算不就可以了嗎？？實際上也確實是這樣做的。

 

通過對邊界層的研究，將邊界層分為了三個區域，分別為粘性底層(0<y+<5)、緩沖層(5<y+<30)和完全湍流層(y+>30)。

這里用兩個無量綱物理量u+和y+來定義邊界層內的規律更具有普遍性。

 

u+表示無量綱速度，u表示邊界層內流體速度，τw為壁面切應力

y+表示到壁面處的無量綱距離，y表示邊界層某點到壁面的距離，v表示流體運動粘度m2/s。

 

 

對邊界層這三個區域進行了大量的實驗，結果表面這三個區域內u+和y+的規律不同。對于粘性底層(0<y+<5)，u+與y+近似呈線性關系；對于完全湍流層，u+與y+近似呈對數關系，被稱為對數律；對于緩沖層，線性關系曲線和對數律曲線在緩沖層有交點，交點所對應的y+值在11附近。

 

 

4. 壁面函數

 4.1 壁面函數的概念

既然已經知道邊界層內的規律了，那么就不必在邊界層內畫很密的網格，而直接使用實驗規律來計算邊界層內的流體流動、傳熱傳質等問題。

 

 

Fluent軟件提供了一種被稱為壁面函數的方式來實現上述的思想。壁面函數是一種半經驗公式，被用來連接壁面和完全湍流區域之間的粘性影響區域。

壁面函數以對數律為基礎來計算邊界層規律，其忽視了粘性底層和緩沖層。因此我們畫邊界層網格時不能畫出粘性底層和緩沖層，而要直接畫到完全湍流層。

也就是說使用壁面函數，我們不但不需要在邊界層內細化網格，反而必須要保證第一層網格處于對數律能夠應用的范圍。

 

我們通常將即y+=15處作為可以使用對數律的分界線，所以第一層網格要保證y+>15。第一層網格大小可以由下式推導：

Fluent使用另一種無量綱速度u*和無量綱距離y*來描述邊界層內的規律

 

u+，y+與U*，y*在湍流邊界層中近似相等，我們應用時直接用u+，y+即可。

 

 

注：使用壁面函數確實簡化了邊界層的網格，但是也忽略了粘性底層和緩沖層，因此壁面函數的方法適用于粘性底層數據不重要的求解。

如果我們想要研究的就是粘性底層的數據，如邊界層分離現象，那么壁面函數的方法很不適用。Fluent提供了另外一種方式用于求解粘性底層。

 

4.2 y+的確定

 

為了留出一定的余量，保證計算結果的準確性，Fluent要求y+必須大于15，如果y+小于15，Fluent就無法保證求解的準確性。y+的下限為15，y+的上限則取決于雷諾數。

 

對于高雷諾數：如輪船，飛機等，對數律范圍擴大，y+上限可以取到幾千，減少網格數量

對于低雷諾數：如渦輪葉片等，y+上限可以取到100

對于很低的雷諾數：對數律范圍很窄，為了保證y+>15，可能會使邊界層網格層數很少，計算結果變差，因此不建議使用壁面函數。

 

 

注：相較于糾結y+的選取，邊界層的網格層數足夠時，能得到更精確的數值結果。

對于非結構網格，邊界層網格層數在10-20之間，對于邊界層Prism棱柱層網格，要保證邊界層內至少15個節點。

 

 

4.3 邊界層厚度

想要在邊界層內畫足夠數量的網格，需要知道邊界層的厚度。如何得到邊界層厚度呢？

 

Fluent提供了一種估算方法。當我們大致劃分網格進行計算得到一個求解結果時，可以在后處理查看turbulent viscosity湍流粘度物理量。

Results-Plots-XY plot

 

在垂直壁面方向畫出turbulent viscosity沿垂直壁面方向的曲線圖，turbulent viscosity的最大值出現在邊界層的中間，最大值出現位置的2倍即為邊界層的厚度。

 

比如下圖為文章后源文件案例的湍流粘度，在x=0.01m處達到最大值，可以認為邊界層厚度為0.02m。

 

對于某些特殊工況，邊界層厚度也可以由理論公式推導出來

 

 

 

5. 估算邊界層第一層網格

 

最后我們回到最關心的問題，邊界層第一層網格如何確定？

當我們在Fluent中選擇壁面函數時，必須要保證y+>15。

由此可一步步反推第一層網格高度y的值。式中ρ為流體密度，U為流體主流速度，U∞為流體動力粘度，d為特征長度。

 

估算雷諾數Re

估算壁面摩擦系數

估算壁面剪切應力

估算

計算邊界層第一層網格

 

以上流程化的東西都可以通過編程實現

進行了一定的驗證后發現，似乎是由于Fluent基于有限體積法，因此上述求出的第一層網格高度y實際上只是網格中心到壁面的距離，真正的第一層網格高度應該為此值的2倍。（自己理解，歡迎私信批評指正）下面的程序已進行修正。

Fluent壁面函數的選取依據

1. Fluent壁面函數

前面介紹了壁面函數的由來及相關的理論，這里我們介紹Fluent中壁面函數的選取依據。牢記：使用壁面函數的前提是y+>15

Fluent在兩種湍流模型中需要選擇壁面函數分別是k-e模型和Reynolds Stress雷諾應力模型，其他的湍流模型不必考慮壁面函數的問題，同時也不必考慮y+問題，我們后面會詳細說明。

Fluent提供了四種壁面函數以供選擇，分別是：

Standard Wall Functions 標準壁面函數

Scalable Wall Functions  擴展壁面函數

Non-Equilibrium Wall Functions 非平衡壁面函數

User-Defined Wall Functions  自定義壁面函數

2. 標準壁面函數

2.1 Standard Wall Functions

標準壁面函數是由Launder and Spalding提出的，廣泛應用于工業流體流動，是Fluent默認的壁面函數。但是我們計算時盡量不要使用這種壁面函數。

 

標準壁面函數使用典型的對數律：

 

其中

式中，κ= 0.4187為卡門常數；E= 9.793為經驗常數；Up為緊鄰壁面網格中心速度；kp為緊鄰壁面網格中心湍動能；μ為動力粘度。U*和y*是Fluent中的無量綱物理量，等同于u+和y+。詳情可查看四十五、壁面函數理論及y+的確定

 

標準壁面函數對y+要求非常嚴格，y+必須大于15，如果低于這個值，求解結果準確性會變得很差。其他的壁面函數對于y+的要求有所寬松，但盡量還是保證y+>15。

上述公式是對邊界層內速度的近似，對于能量方程、組分方程和湍流方程同樣有近似規律，這里不做介紹。

 

2.2 使用限制

標準壁面函數基于壁面恒剪切應力和局部平衡假設，因此當近壁流動受到很大的壓力梯度的影響時(邊界層分離)，即流動處于非平衡狀態時，預測結果可能會不準確。

其實就是因為標準壁面函數忽略了粘性底層，當粘性底層存在大壓力梯度時，計算結果肯定是有問題。

 

3. 擴展的壁面函數

3.1 Scalable Wall Functions

顧名思義，Scalable Wall Functions在標準壁面函數的基礎之上進行了擴展。當y*<11時，標準壁面函數是無法使用的，而Scalable Wall Functions可以正常使用。

 

Scalable Wall Functions對y*進行了一定的限制。

 

式中y*limit=11.25

如果y*>11.25，就取它自身的值。如果y*<11.25，就直接令y*=11.25。也就是說，y*>11.25時，Scalable Wall Functions和standard wall function功能相同。但是如果y*<11.25，那么小于11.25的網格結果相同，且都等于11.25時的規律。

舉個例子，如果我們有三層網格的y*<11.25，那么這三層網格的y*直接按照等于11.25計算的，計算結果肯定是相同的。

 

3.2 使用限制

在y*問題上，Scalable wall functions比標準壁面函數應用范圍要廣，但是和標準壁面函數相同，當近壁流動受到很大的壓力梯度的影響時(邊界層分離)，當流動處于非平衡狀態時，預測結果可能會不準確。

 

 

4. 非平衡的壁面函數

4.1 Non-Equilibrium Wall Functions

由于Standard Wall Functions和Scalable wall function對于壁面壓力梯度較大時都不適用，因此需要提出一種新的方式來解決這個問題。Fluent提供了Non-Equilibrium Wall Functions。

 

Non-Equilibrium Wall Functions基于兩層假設來計算壁面剪切應力τw、湍動能k和湍動能耗散率e。而和壓力梯度相關性不大的物理量如能量方程、組分方程等則和標準壁面函數保持一致。

yv為粘性底層的厚度，y為網格到壁面的距離。y處于粘性底層和粘性底層之外時，分別使用不同的公式來描述流動。

 

4.2 使用限制

通過這種方式，Non-Equilibrium Wall Functions能夠彌補標準壁面函數的缺陷，適用于分離、撞擊等復雜流動

 

 

5. 標準壁面函數 VS擴展的壁面函數

 

為了對比上述的內容，我們使用一個案例加以說明，案例的源文件在公眾號文章chapter45中。

5.1 網格情況

模型為二維平板，長2.5m，寬0.1m，進口流速為6m/s，物性參數保持默認。通過計算可知y+>15，第一層網格高度取2.1E-03m；y+=1時，第一層網格高度取8E-5m。分別對上下兩個壁面進行不同的y+網格劃分如下圖

以下使用標準壁面函數進行計算。

5.2 兩壁面Y+

上壁面y+基本等于1，很?。幌卤诿鎦+整體都大于15。

5.3 速度云圖

直觀上看，上下壁面的速度云圖并不相同，主要還是因為標準壁面函數對y+非常敏感。通過前面的分析，我們應該知道下壁面的速度分布更加合理

通過x=1截面上的曲線圖也能看出，兩壁面附近速度有所區別。

5.4 擴展的壁面函數對比

標準壁面函數和擴展的壁面函數明顯有所不同。兩種壁面函數在y+>15處速度曲線幾乎重合，而在y+很小時差距變大。Scalable wall functions在y+較小時相對更準確一些。

 

6. 壁面函數的使用限制

盡管基于標準壁面函數做了很多改進如Scalable Wall Functions和Non-Equilibrium Wall Functions，但是壁面函數仍然存在一些問題。

壁面函數基于對數律，要么忽略粘性底層，要么對粘性底層進行修正，對于粘性底層的求解仍然不夠精確，因此對于以下問題，壁面函數并不適用：

很低的雷諾數流動，如毛細現象

壁面相變問題，如壁面沸騰現象

大壓力梯度導致的邊界層分離現象

依靠體積力驅動的流動，如自然對流，浮力等

對于3D模型，邊界層歪斜度較大也不適用壁面函數

 

既然壁面函數存在一些適用不了的工況，那么我們就想研究這樣工況應該怎么辦呢？？

 

還記得四十五、壁面函數理論及y+的確定文章，對于邊界層細節捕捉問題，其實是有兩種處理方法的。第一種就是我們剛剛介紹的壁面函數的方式，第二種是我們剛開始就想到的加密網格的方式。

 

本來為了減少網格數量，我們想到使用壁面函數。現在壁面函數無論如何滿足不了需求了，我們就只能回歸老本行，通過加密網格的方式來捕獲細節。

 

Fluent提供了兩種方式用來專門捕獲壁面處細節Enhanced Wall Treatment和Menter-Lechner。這部分我們下篇文章再詳細講解。

 

 

7. 壁面函數總結

  

1) 壁面函數只會出現在k-e模型和Reynolds Stress雷諾應力模型

 

2) Standard Wall Functions：適用于高雷諾數流動，要求y+>15

3) Scalable Wall Functions：也適用于高雷諾數流動，但對于y+要求比較寬松，但盡量滿足y+>15。不要用Standard Wall Functions，而盡量選擇Scalable Wall Functions

4) Non-Equilibrium Wall Functions：適用撞擊、分離等問題，y+<15也可以使用。

 

5) 如果不想考慮那么多，就直接使用Scalable Wall Functions

 

雖然進行了壁面函數的推薦，但實際上對于k-e模型和Reynolds Stress雷諾應力模型，Fluent推薦不要使用壁面函數，而使用近壁面處理。限于篇幅，下篇文章詳細講解。

Fluent近壁面處理

1. 近壁面處理

前面介紹了壁面函數的由來及相關的理論，我們已經知道，壁面函數只考慮了對數律的適用范圍，而完全忽略了粘性底層的影響。

但是對于一些工況，我們所關注的點就是粘性底層物理量的規律，比如邊界層分離現象，這時候壁面函數就不再適用了。參考文章四十六Fluent壁面函數的選取依據，只要有以下的情況，壁面函數就不可用了。

很低的雷諾數流動，如毛細現象

壁面相變問題，如壁面沸騰現象

大壓力梯度導致的邊界層分離現象

 依靠體積力驅動的流動，如自然對流，浮力等

對于3D模型，邊界層歪斜度較大也不適用壁面函數

 

那應該如何處理呢？？？

我們只能回到最初的想法----對邊界層網格進行加密，同時對湍流模型進行修正，使其能夠對粘性底層進行求解。

 

2. Enhanced Wall Treatment

增強近壁面處理方式將兩層模型和增強的壁面函數結合，對于壁面粗網格（y+>15，完全湍流區）和精細網格（y+≈1，粘性底層）都不會產生太大的誤差。

2.1 Two-Layer Model

兩層模型將邊界層劃分為粘性底層和完全湍流層，兩層的分界線用雷諾數Rey區分

y為網格中心到壁面的距離。

如果Rey<200，流體處于粘性底層區，使用Wolfstein一方程求解；如果Rey>200，流體處于完全湍流區，使用k-e模型或者雷諾應力模型求解。

 

增強的壁面處理（Enhanced Wall Treatment）能夠在整個近壁區域（即粘性底層，緩沖區和完全湍流外區域）都適用，這種方式將線性律和對數律組合在一起，從而擴大模型的使用范圍。

2.2 混合函數

 

其中a=0.01，b=5。

當y+很小約等于1時流體處在粘性底層，流動規律符合線性律。此時混合函數：

 

同理y+≈15時，流體處在完全湍流區，流動規律符合對數律。此時混合函數：

從上能夠看出，Enhanced Wall Treatment能夠自動根據y+的值選擇不同的湍流規律，因此Enhanced Wall Treatment適用于整個湍流區域，對y+不敏感。但是如果想要研究粘性底層，還是必須要將網格劃分的足夠細才可以。

 

注：

Enhanced Wall Treatment適用于所有基于e方程的湍流模型，如k-e模型，雷諾應力模型

 

2.3 壁面函數VS Enhanced Wall Treatment

選用文章四十五的案例，將Standard Wall Functions、Scalable Wall Functions和 Enhanced Wall Treatment進行對比，一側y+=1，另一側y+>15。

可以看出，Scalable Wall Functions和 Enhanced Wall Treatment的速度曲線明顯比較接近，而Standard Wall Functions在y+=1一側，出現了較大的誤差。

 

 

3. Menter-Lechner treatment

有兩種方式可以用來求解壁面邊界層流動，分別是壁面函數法和低雷諾數模型。

壁面函數法文章四十五、四十六進行了詳細介紹，它對y+要求很嚴格；而所謂低雷諾數模型，就是考慮到粘性底層的流動，要求y+<1，如果y+>=1，則求解不準確。

 

這兩種模型對于y+要求苛刻，那么有沒有一種模型能夠對y+不敏感呢？？Menter-Lechner treatment就是這樣一種模型。當壁面網格很細，使用低雷諾模型，當壁面網格較粗時，使用壁面函數。

實際上Enhanced Wall Treatment對y+也不敏感。

上文提到Enhanced Wall Treatment依據Rey是否大于200將流動區域劃分為粘性底層和完全湍流層。這種劃分方法存在一些問題：

1）當湍流強度較低時，流體距離壁面較遠，Rey仍然小于200。但Enhanced Wall Treatment方法仍然將這部分流體劃分為粘性底層，這顯然不正確。

2）當流動處于粘性底層時，一方程用于求解湍流規律，但一方程求解非平衡現象存在問題。

 

Menter-Lechner treatment方法就是為了解決Enhanced Wall Treatment在低雷諾數時出現的問題。門特-萊克納近壁處理在湍流動能的輸運方程中增加一個源項

式中，Snear-wall僅作用在粘性低層中，用于代替低雷諾數模型。在對數律區域內，Snear-wall自動變為零。

 

注：

Menter-Lechner treatment方法可用于standard、realizable和RNG k-e湍流模型

 

4. ω方程--y+不敏感近壁面處理

所有ω方程都可以對粘性底層進行積分，而不需要像e方程那樣采用兩層模型的方法。因此ω方程默認的就是將粘性底層和對數律層的規律通過混合函數進行混合，從而達到對y+不敏感的近壁面處理。

ω方程將粘性底層與對數律的混合方法與Enhanced Wall Treatment相同，默認對于近壁面的處理就是這種方式。

混合函數

 

因此對于所有基于ω方程的湍流模型，都不需要考慮近壁面的處理方式，同樣也不需要考慮壁面函數。

如k-ω模型，Transition k-kl-omega ( 3 eqn )模型等。Fluent中基于ω方程的湍流模型界面都沒有壁面函數的選項。

 

 

5. LES Near-Wall Treatment

對于大渦模型LES，Fluent也提供了一種近壁面處理方式LES Near-Wall Treatment。這種處理方式由Werner和Wengle提出，因此也被稱為werner-wengle wall function。

 

這種近壁面處理方式并不能通過界面打開。需要在打開LES模型的前提下，在控制面板輸入文本命令：define/models/viscous/near-wall-treatment/werner-wengle-wall-fn?

 

 

注：

LES大渦模型在三維模型可以在Fluent湍流模型界面打開，但是二維模型時，需要輸入文本命令才能打開LES模型。

文本命令：(rpsetvar 'les-2d? #t)

 

 

 

 

6. Fluent壁面處理推薦設置

總結：對于k-e模型和雷諾應力模型，可以選擇壁面函數，也可以設置近壁面處理；

對于k-ω模型和Spalart-Allmaras，默認方式就是y+不敏感的近壁面處理方式，不需要進行任何設置。

 

大家選擇壁面函數時，推薦使用以下設置：

1) 對于基于e方程的模型，直接使用Menter-Lechner(ML- e)或者Enhanced Wall Treatment。盡量不使用壁面函數。

2) 對于e方程模型，如果必須使用壁面函數，那就選擇scalable wall functions

3) 對于k-ω模型，使用默認的y+不敏感的壁面處理方式。實際上所有基于ω方程的湍流模型都是如此，不需要進行任何壁面函數設置。

4) 對于Spalart-Allmaras模型，使用默認的y+不敏感的壁面處理方式，也不需要進行任何壁面函數設置。

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