流體力學仿真揭秘“任意球”的奧妙

仿真APP

2024年歐洲杯淘汰賽，德國對陣丹麥，京多安任意球一錘定音，2 : 0 送丹麥回家。

足球比賽中，當你聽解說員說到“香蕉球”、“落葉球”、“電梯球”時，你能說出他們的區別嗎？更關鍵的是，怎樣才能踢出這些匪夷所思的球呢？今天就帶你一起來認識一下這三種經典任意球，并結合流體力學理論和仿真軟件Simdroid來探究一下踢出這些球的關鍵因素。

一、初識“香蕉球”、“落葉球”、“電梯球”

香蕉球，因為球的運行軌跡類似香蕉形狀的弧形，因此以“香蕉球”得名。這種球一般速度不快，但是帶著強烈的側旋（左右旋轉），球的運行軌跡在后半程會突然“拐彎”，使得此類任意球可以從人墻的一側繞過之后突然折回，飛入球門。如下圖（左）為巴西球星卡洛斯的一記經典“香蕉球”，下圖（右）則是香蕉球運行軌跡示意圖。

卡洛斯-香蕉球

香蕉球運行軌跡

而落葉球，和香蕉球類似，只是落葉球的旋轉不是水平面內的側旋，而是在豎直平面內的前后旋轉。因此“落葉球”可以近似地看作是在豎直平面內的“香蕉球”。這種球可以從防守球員頭頂越過人墻后，突然“拐彎”，墜入球門。

C羅-落葉球

落葉球運行軌跡

和左右旋轉的香蕉球、前后旋轉的落葉球都不相同，電梯球幾乎不旋轉，但踢出速度很快，且在最后階段也不是拋物線軌跡（拋物線軌跡上升段和下落段是對稱的），而是突然“拐彎”后并近乎豎直下墜。見下圖（左）C羅的進球及下圖（右）的軌跡示意圖。

C羅-電梯球

電梯球運行軌跡

然而在實際的足球比賽中，這三種球并不是很容易分辨的：一方面在比賽中，進球往往發生在眨眼之間，球迷在極短的時間里很難清晰地看到足球的運行軌跡；另一方面，“完全不旋轉”、嚴格意義上的“左右側旋“或是“前后旋轉”，都是很難做到的，或多或少都有些偏差。因此大多數情況下，這三類進球的特征經常是雜合在一起的，只是某一種特征會相對明顯一些。如很多時候電梯球也有旋轉，也經常帶有“落葉球”甚至是“香蕉球”的某些特征。這也是現實中，即便是資深足球迷也時常分不清這三類進球的主要原因。

二、足球突然“拐彎”的奧秘

從以上描述中可知，這三種球的精妙之處在于它們都能夠在繞過人墻后突然拐彎，飛入球門。現在我們就利用流體力學知識和仿真軟件Simdroid，一起來探索足球“拐彎”的奧秘。

我們使用仿真軟件Simdroid的二維流體分析模塊來計算足球與空氣的相互作用。模型如下圖（左）所示，圓形代表球截面，矩形區域為空氣。給球一個逆時針旋轉的角速度，并給定一個穩定的入口速度來模擬空氣與球的相對速度，即球的飛行速度，出口則為壓力出口，上下為壁面。網格剖分如下圖（右）所示。

幾何模型和邊界條件

網格模型

經過計算，得出球周圍的空氣流速和壓力分布如下圖所示：

速度分布

壓力分布

從分析結果可以看出，球兩側的空氣速度和壓力有明顯的差異。且流速大的地方，壓強小；流速小的地方，壓強大。這時兩側壓力不平衡使得球受到一個如下圖所示的側向力F，流體力學中稱之為馬格努斯力。

馬格努斯效應示意圖

在此側向力的作用下，球會產生側向加速度，并隨著時間的積累，會產生越來越大的側向速度U。而球向前飛行的速度V由于受到空氣阻力的影響會越來越小。此消彼長，側向速度U相對于前進速度V會越來越大。由于球的實際速度是兩個速度（U和V）的矢量和，因此剛開始當側向速度U相對于前進速度V很小的時候，球的運行軌跡由V主導；當側向速度U相對于前進速度V不可忽略的時候，他們共同作用決定球的軌跡；但當側向速度U相對于前進速度V足夠大的時候，球的運行軌跡由U主導，這時球的軌跡會發生突變。這就是“香蕉球”和“落葉球”會“拐彎”的力學原理。

而“電梯球”是不旋轉的，但初始速度很大。根據空氣阻力的公式：

F = ρV2CdS

式中：Cd為空氣阻力系數，和物體的幾何外形有關；

ρ為空氣密度；

S為物體迎風面積；

V為物體與空氣的相對運動速度。

可知，空氣阻力和速度V的平方成正比，意味著當速度很大時，阻力也很大，足球從高速到速度減為零的過程就會很快。因此，“電梯球”被踢出時，速度很快，軌跡近乎是一條直線；但由于減速很快，當越過人墻到達最高點時速度降到接近于零，隨后在重力作用下，自由落體式下降，而不是沿著拋物線軌跡下降。這個過程中，空氣阻力如同一個墻壁(空氣阻力壁)阻礙了足球在到達最高點后繼續向前運動。

三、如何踢出“香蕉球”、“落葉球”、“電梯球”

通過上文所述，我們知道影響“香蕉球”“落葉球”“電梯球”運行軌跡的關鍵因素為：球的射出速度和旋轉角速度，此外，球的大小，空氣的密度、粘度、重力、射出角度等眾多因素可能都會對球的運行軌跡產生或多或少的影響。如果使用傳統仿真軟件去研究這些參數的敏感性，我們需要規劃出一個復雜的參數組合矩陣，并將每一種組合作為一個算例，進行一次仿真分析，最后將結果整理到一起進行比較，操作繁復，費時費力。

而Simdroid仿真軟件支持全參數建模和無代碼開發功能，可以把建模仿真的整個流程封裝為一個輕量的APP——足球側向力影響因素分析APP，并將待研究的參數集成到一個面板上，用戶只需要拖動進度條，就可以改變各參數的數值，調整完參數后，便可一鍵完成前處理、求解和結果后處理等整個仿真流程。同時還可以將此APP分享給其它人，哪怕他不懂仿真，電腦上也沒有安裝仿真軟件，同樣可以使用這個APP來進行參數敏感性分析。從而大大簡化重復操作過程，降低仿真技術應用門檻，提高工作效率。

下圖所示為Simdroid的APP開發器界面，在此界面上，仿真工程師通過簡單地“拖、拉、拽”方式，將開發器提供的標準控件組合到一起，就可以完成仿真APP的開發，無需任何編程經驗。

Simdroid仿真APP開發器

下圖為基于Simdroid開發的一個簡易的研究足球側向力影響因素的仿真APP。為了計算方便，本APP采用了二維流體仿真分析，并將足球簡化為一個圓形，其它參數和真實情況相比也不精確，但定性的分析足球的側向力影響因素還是夠用的。如果要精確計算足球的運動軌跡，需要真實準確的三維模型和分析參數，以及更為復雜的流體計算技術（如動網格、流固耦合等），后續可作為技術專題討論。