01

OBMA綜述

旋轉機械廣泛應用于各種工業場合中，識別旋轉機械在運行狀態下的模態參數，有利于解決旋轉機械的減振降噪、故障診斷和產品優化等問題。傳統的運行模態分析（Operational Modal Analysis，OMA）方法基于白噪聲激勵的假設，不需要測量激振力，只需要測量結構在運行狀態下的振動響應信號就可進行模態參數識別。但是旋轉機械在運行狀態下所受的激勵以頻率為轉頻和轉頻倍頻的諧波激勵為主，白噪聲激勵的假設不再成立，OMA方法在旋轉機械的模態參數識別中受到了限制。PSD或HPSD中的諧波頻率可能會被錯誤地識別為共振頻率，產生虛假模態，也稱作“諧波模態”。

OBMA技術的發展

為了在使用OMA方法之前消除諧波的影響，可以通過插值或二次重采樣的方法，但是若諧波激勵在總激勵中占主導地位，該方法并不能完全消除諧波對于模態參數識別的影響。故而衍生出了基于階次的運行模態分析（Order Based Modal Analysis，OBMA）方法。OBMA方法認為轉子升速或降速的過程是一個掃頻激勵的過程，將階次跟蹤（Order Tracking，OT）技術與傳統的運行模態分析方法相結合，利用階次跟蹤技術提取旋轉機械在某一階激勵下的幅值和相位隨轉速上升或下降的變化趨勢，進行處理后將其作為偽頻響函數，進行模態參數識別。

2006年，Janssens等首次明確提出了基于階次的運行模態分析方法。首先采用階次自動檢測算法識別實測數據中的重要階次，然后采用基于時變離散傅里葉變換（Time Variant Discrete Fouier Transform，TVDFT）的階次跟蹤方法提取這些階次，最后利用模態參數識別算法中的多參考最小二乘復頻域法（Poly-reference Least-Squares Complex Frequency-domain method，polyLSCF）進行模態參數識別，并利用該方法處理了汽車在起步過程中的聲音數據，為解決旋轉機械運行模態分析中存在諧波干擾的問題提供了新的思路。Peeters等采用OBMA方法分析了汽車外殼在發動機升速過程中的振動數據，并與激振臺激勵的振動數據分析結果進行了對比，證明了該方法的正確性和有效性。2014年，比利時的Di Lorenzo E等在具有多個參考軸轉速的風力發電機上進行了振動測試試驗，并對得到的振動信號分別進行了OBMA分析和傳統的OMA分析，證明OMA方法受到終階（end-of-order）效應的影響，而OBMA并未受到終階效應的影響。2015年，Manzato等采用OBMA方法分析了風力發電機在不同扭矩負載下升速和穩速狀態時的加速度振動信號。Di Lorenzo等比較了兩種階次跟蹤方法TVDFT和基于Vold-Kalman 濾波的階次跟蹤（Vold-Kalman Filter Order Tracking，VKF-OT）對于模態參數識別精度的影響，提出VKF-OT方法可與polyLSCF相結合達到較好的模態參數識別效果，并將OBMA方法應用到軸承試驗臺、汽車、風力發電機軸承箱的模態參數識別中。

階次跟蹤技術的發展

在旋轉機械的振動信號分析中，常用傅里葉變換對穩定轉速下的振動信號進行分析。但升降速過程中的振動信號是非平穩信號，若仍采用傅里葉變換，將會出現嚴重的頻率模糊現象，使分析結果出現較大的誤差。為了解決這一問題，出現了一種將轉速信號與振動信號相結合的階次跟蹤技術。旋轉機械每轉內發生的振動循環次數稱為階次。目前，常用的的階次跟蹤技術主要有以下幾類：

（1）硬件式階次跟蹤

硬件式階次跟蹤通過硬件實現信號的等角度采樣。一類是通過轉速計控制采樣率變化實現等角度采樣，一類是通過光電脈沖角度編碼盤實現等角度采樣。由于硬件式的階次跟蹤設備結構復雜，成本較高，且不適用于轉速變化較快的場合，因此目前應用較少。

（2）基于角域重采樣的階次跟蹤

1997年，Fyfe等提出了基于角域重采樣的階次跟蹤（Angle Domain sampling based-Order Tracking，AD-OT）方法，也稱作計算階次跟蹤（Computed Order Tracking，COT），該方法將同步采集的轉速脈沖信號與振動信號相結合，通過軟件將等時間間隔采樣的信號轉換為等角度間隔采樣的信號。該方法易于實現，是目前應用最廣泛的階次跟蹤方法，但其不能對多參考軸的交叉階次進行解耦。

（3）基于時變離散傅里葉變換的階次跟蹤方法

1997年，Blough J R等提出了基于時變離散傅里葉變換的階次跟蹤方法。該方法通過改進傅里葉變換的核函數實現階次跟蹤，且其在應用正交補償矩陣（Orthogonality Compensation Matrix，OCM）后，能夠實現多參考軸交叉階次的解耦。

（4）基于Vold-Kalman濾波的階次跟蹤

1993年，Vold H等在Kalman濾波器的基礎上，提出了第一代基于角速度的Vold-Kalman階次跟蹤算法，但是只能提取單個階次分量。1997年，Vold H在第一代算法的基礎上進行改進，提出了第二代基于角位移的Vold-Kalman階次跟蹤算法，能夠同時提取多個階次分量，而且能夠解耦鄰近和交叉階次。Herlufsen H等對不同階數和不同帶寬的Vold-Kalman濾波器的時域特性和頻域特性進行了深入研究。Tuma J對不同階數的Vold-Kalman濾波器的加權因子的取值進行了詳細研究，給出了加權因子與帶寬之間的函數關系式。Vold提出的VKF-OT方法在運算過程中需要進行大量的矩陣運算，運算量較大，通常只能進行離線分析，臺灣國立中央大學的Pan M C團隊對VKF-OT理論及濾波器特性等進行了相當深入的研究，在細節上全面闡述了基于角速度和基于角位移的兩種VKF-OT方法，并對其進行了改進，實現了在線分析。趙曉平等將瞬時頻率估計算法與VKF-OT相結合，實現了無轉速計的階次跟蹤。傅煒娜將基于能量中心校正法的轉速曲線計算方法與VKF-OT結合實現無轉速計的階次跟蹤。Blough J R等對以上多種階次跟蹤方法的原理和優缺點進行了梳理，并對未來階次跟蹤技術的發展和應用進行了展望。

除以上幾種階次跟蹤方法之外，還有基于Gabor時頻變換的階次分量提取、最小二乘自適應濾波等方法。

02

階次跟蹤理論

基于角域重采樣的階次跟蹤

基于角域重采樣的階次跟蹤方法要求以恒定采樣率同步采集轉速脈沖信號和振動信號。轉速脈沖信號主要有三個作用：一是計算轉子系統的轉速，二是作為振動信號的等角度劃分基準，計算等角度采樣點的時間序列，三是根據計算得到的轉速設置數字濾波器的截止頻率。

基于角域重采樣的階次跟蹤方法首先將等時間間隔采樣的振動信號重采樣成為等角度間隔采樣的信號，將重采樣后的信號劃分為若干個數據塊，然后對數據塊內的信號進行FFT，獲得不同轉速下的階次譜，將階次譜以階次為X軸，以轉速為Y軸，以幅值為Z軸進行排列，獲得階次譜瀑布圖，之后即可提取相應的階次。

首先以較高的采樣率等時間間隔采集時域信號，理論上，時域的采樣率可以通過式(1)確定：

（1）

其中r_max表示最高轉速，單位rpm，O_max為最高分析階次。在實際的工程應用中，通常會以較高的采樣率采集信號，然后在信號處理時采用低通濾波器，濾除高頻成分。

重采樣技術

重采樣的目的是將等時間間隔采樣的信號變為等角度間隔采樣的信號，角度間隔Δθ由最高分析階次O_max決定，角域信號的分析與時域信號一樣需要避免混疊問題，依然需要滿足采樣定律。為了避免出現階次混疊，角度間隔必須滿足：

（2）

轉子的角位移θ(t)是一個關于時間的函數，將其通過Taylor級數展開，得到二次多項式的近似：

（3）

上式中含有3個未知量，需要至少3個方程才可解出。由轉速脈沖傳感器發出的脈沖能夠確定某一時刻轉子轉角的精確位置。取三次轉速脈沖發出的時間及其對應的轉角位置，可以得到式方程組：

（4）

根據兩個轉速脈沖之間是等角度間隔Δ?，求解上述方程，得到系數b₀、b₁、b₂，如下式所示：

（5）

如果轉子每轉過一轉，轉速脈沖傳感器僅發出一個脈沖，那么 Δ?=2π，同理，如果轉速傳感器在一轉內發出m個脈沖，Δ?=2π/m。求得系數b₀、b₁、b₂之后，求解二次方程(3)即可得到(0~4π/m)內任意轉角所對應的時刻：

（6）

在實際計算過程中，為了避免重復重采樣，通常令：

（7）

在確定重采樣時刻的過程中，發現角域采樣點與時域采樣點并不重合，如圖1所示，紅色豎線表示轉速傳感器的脈沖上升沿位置，藍色"?"表示原時域采樣點，紫色"?"表示重采樣后的角域采樣點。因此需要先確定角域重采樣點對應的時刻，然后通過插值的方法確定這一時刻對應的信號值。根據所需插值方法和插值精度的不同，可分為線性插值，立方插值，三次樣條曲線插值方法。其中，三種插值方法中，三次樣條曲線插值具有更高的插值精度。

圖1 等時間采樣和等角度采樣對比

階次譜計算

將等時間間隔采樣的振動信號重采樣成為等角度間隔采樣的信號后，將其劃分成若干個數據塊，每個數據塊內僅包含N_rev轉以內的振動數據，截斷數據的轉數N_rev由階次譜的分辨率決定：

（8）

其中，ΔO是階次分辨率，為了在之后進行FFT時提高運算速度，一般選擇為1/2的整數次冪。

每個數據塊內的信號基本可以認為是轉子以恒定轉速旋轉時的振動信號。準確求得數據塊所對應的轉速是之后進行模態分析的基礎。由于采樣率的限制等因素，轉速脈沖上升沿所對應的時間點不可能完全準確，因此，通過兩個轉速脈沖的時間差求轉子轉速，誤差較大。為了減小誤差，取數據塊內的全部脈沖，分別計算相鄰兩個脈沖間對應的轉速，然后對所有轉速求平均值以實現誤差補償：

（9）

其中R_b表示數據塊內的平均轉速，單位rpm，t_i表示數據塊中第i個轉速脈沖上升沿所對應的時刻，單位是s。

與等時間間隔采樣的時域信號經過傅里葉變換得到相同頻率間隔的頻譜線類似，等角度間隔采樣的角域信號經過傅里葉變換得到相同階次間隔的階次譜線。角域信號的傅里葉變換原理與時域信號的傅里葉變換原理類似。

對每個數據塊內的角域信號進行傅里葉變換時，通常需要加上Hanning窗以減小泄漏。得到不同轉速下的階次譜后，將階次譜以階次為X軸，以轉速為Y軸，以幅值為Z軸進行排列，獲得階次譜瀑布圖。

基于Vold-Kalman 濾波的階次跟蹤

Kalman濾波是時域內的最優濾波器，廣泛應用于通信與信號處理、天氣預報、地質勘探、故障診斷以及金融等領域。1993年，Vold在Kalman濾波器的基礎上，提出了第一代Vold-Kalman階次跟蹤算法，但是只能提取單個階次分量。1997年，Vold在第一代算法的基礎上進行改進，提出了第二代Vold-Kalman階次跟蹤算法，能夠同時提取多個階次分量，而且能夠解耦鄰近和交叉階次。其基本原理是構造一個依據轉頻定義的正弦信號，與實測信號中該頻率成分信號進行對比，采用梯度迭代法使兩者之間的差別最小。與基于角域重采樣的階次跟蹤方法相比，基于Vold-Kalman濾波的階次跟蹤方法在時域上直接進行階次提取，沒有由于時-頻變換而導致的泄漏問題，也沒有由于海森堡測不準原理導致的不能同時滿足較高的時間分辨率與頻率分辨率的問題。

狀態方程

基于Vold-Kalman濾波的階次跟蹤的原理與Kalman濾波器的原理類似，其基于狀態方程（State equation）和觀測方程（Observation equation）。階次是參考軸旋轉一周發生的振動循環次數。由旋轉運動產生的某個階次分量可以定義為一個幅值和頻率隨時間變化的正弦函數，階次的頻率與參考軸的轉動頻率成線性關系。在轉子系統運行過程中，需要跟蹤的各階次分量之和x(n)可以表示為：

（10）

式中k為參考所要提取的階次，即所要提取的階次頻率是參考軸轉頻的k倍，x_k(n)表示第k個階次的時域信號，可以寫成載波的形式：

（11）

其中，a_k(n)為θ_k(n)的低頻幅值調制（復包絡），載波θ_k(n)為

（12）

式中ω_o(m)為表示參考軸的角速度，Δt為采樣間隔。

a_k(n)在局部范圍內可以認為是一個低階的多項式，因此，使用低階多項式來擬合某個階次振動信號的幅值變化。該條件可表示為含非齊次項ε_k(n)的狀態方程：

（13）

式中，?^p表示p階差分算子。對于Kalman濾波器通常只取前三階，即：

（14）

設采樣點數為N，公式(14)展開狀態方程寫成矩陣形式分別為：

（15）

（16）

（17）

公式(15)、公式(16)和公式(17)分別為一階、二階和三階差分方程的矩陣形式，統一公式為Da_k=ε_k。顯然矩陣D為對角帶狀稀疏矩陣。

觀測方程

當Vold-Kalman濾波器提取單個階次分量，觀測方程可寫作：

（18）

式中y(n)是實測數據，η(n)中包括非提取階次分量和測量誤差。將觀測方程，寫作矩陣形式：

（19）

其中

（20）

僅僅使用狀態方程和觀測方程并不能求解a(n)，因而需要集合采用最小二乘算法補充方程。狀態方程中的非齊次項ε_k(n)的平方和為：

（21）

觀測方程中非提取階次分量和測量誤差η(n)的平方和為

（22）

得到綜合平方和為

（23）

式中，r為引入的加權因子，用于平衡非齊次項ε(n)與非提取階次和測量誤差η(n)的比例。由最小二乘算法：

（24）

解得：

（25）

在求解過程中引入的加權因子r，對濾波器的跟蹤性能有直接的影響。Tuma對加權因子r的選取進行了深入的研究，給出了一階、二階、三階濾波器的加權因子r與濾波帶寬之間的函數關系式：

（26）

選取濾波帶寬f_bw時，既可以選擇恒定帶寬，也可選擇與參考軸轉頻成比例的相對帶寬。

03

測試案例

漢航NTS.LAB測試分析系統中的階次模態分析模塊能對振動信號的轉速和階次進行提取，使用OBMA方法對旋轉機械工作狀態下的模態進行分析。測試案例使用漢航漢航NTS.LAB的階次模態分析模塊對一塊受到旋轉機構激勵的平板結構進行分析。旋轉機構從靜止均勻升速到4000rpm過程中，平板結構的振動數據如下圖所示：

圖2 平板結構的試驗模型及其受到旋轉機構激勵的振動數據

首先讀取轉速數據，若實測數據為原始Tacho信號而非轉速信號，可從Tacho數據中提取轉速。本案例使用0.5s~6.5s之間的振動數據進行分析。獲得轉速后，對振動數據做時頻分析，查看結構的頻率和階次特征，根據時頻譜來判斷需要提取的階次。在本案例中選取第一階數據進行振動數據的提取和分析。

圖3 階次數據提取

將提取出的第一階振動數據作為輸入數據進行OMA分析，即可得到剔除諧波干擾的準確模態試驗結果。

圖4 極點計算結果（最小二乘復頻域法）

圖5 模態振型結果

04

總結

本文介紹了階次模態分析方法的發展過程和基本原理，并使用漢航NTS.LAB測試分析系統中的階次模態分析模塊進行了案例分析。實踐經驗表明，階次模態分析利用階次提取技術和OMA方法，能較好地排除諧波干擾，對旋轉機械在工作狀態下的模態能夠進行有效提取。

如需了解更多產品信息與應用詳情，歡迎您與我們聯系。

點擊下方藍色字體“閱讀原文”，了解更多信息。