文章doi：10.1016/j.ijplas.2014.02.001

推薦理由：

對于的HCP結構，由于存在較多的滑移和孿晶系統，因此參數確定往往需要大量的數值反演與實驗進行對照，作者采用Levenberg–Marquardt方法確定參數，與實驗結果非常吻合。迭代優化過程遵循分層方案，在該方案中，大大減少了計算時間。并應用于識別織構化AZ31鎂合金中主動滑移系統和拉伸孿晶的初始和飽和臨界分解剪切應力以及硬化模量。結果與文獻中的數據基本一致，分析表明，用作輸入的獨立實驗應力-應變曲線的數量對于獲得逆優化問題的精確解至關重要。作者研究表明在高織構鎂合金的情況下，至少需要三條獨立的應力-應變曲線來確定多晶測試中的單晶行為。

作者研究使用的滑移+孿晶的本構模型遵循Surya R. Kalidindi 提出的孿生方案。示意圖如下：

即積分點處包含兩相，分別為母項和孿生項，其體積分數之和為1.0，孿晶體積分數和母項體積分數分別為

中間構型的塑性剪切應變分為三項，分別為基體區域的滑移，孿晶區域產生的孿晶剪切，孿晶區域產生的滑移，三部分對應的速度梯度表示為：

其中孿晶體積分數的變化表示為：

中間構型的PK2應力計算為

其中基體區域，孿晶區域，以及孿晶區域的滑移對應的施密特因子不同對應的分切應力也不同，分別為：

不用系統對應的硬化表示為：

作者考慮了3組滑移+1組孿晶共24個系統，這里說明一點的是，在孿生區域對應的滑移包含的個數為6*18，即每一組滑移都會因為特定的孿晶方向而旋轉。

這種處理孿晶的方案可以很好的和試驗對照，并被大量采用，在damask中也被使用。基于該本構作者利用Levenberg–Marquardt方法確定參數為

作者的模擬效果

相比于該本構，部分模擬為了數值的積分效率也在模擬時忽略了孿晶區域的滑移。

這里嘗試利用作者的思路基于超彈性晶體塑性模型和雙重迭代方案進行類似的孿晶模型編寫同時為了對照，也對damask內置的孿晶模型進行編寫，模擬結果與damask軟件中具有良好的一致性：

數值案例：

編寫的umat和damask軟件輸入對應的初始織構：

20%拉伸變形下damask對應的織構

20%拉伸變形下umat對應的織構

變形過程中應變場對比：

變形過程中應力場對比：