基于經(jīng)驗公式的不同硬度下橡膠Mooney?Rivlin模型本構(gòu)參數(shù)的確定方法

—使用LS-DYNA隱式算法進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)橡膠壓縮數(shù)值模擬

一、引言

   橡膠材料的力學(xué)特性一般是通過材料力學(xué)性能試驗得到應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)，之后擬合相應(yīng)的本構(gòu)模型來得到其材料系數(shù)，然而這組系數(shù)只能在橡膠相應(yīng)的實驗應(yīng)變范圍內(nèi)使用，一旦超出實驗應(yīng)變范圍，這組系數(shù)就不再可靠。考慮到實驗的成本、實驗條件的多變、橡膠的材料不均勻及仿真研究時的迅速、高效性，本文基于理論分析和實驗經(jīng)驗結(jié)果，結(jié)合仿真分析在不需進(jìn)行試驗的前提下對不同硬度的橡膠Mooney?Rivlin模型本構(gòu)參數(shù)予以確定，所確定的本構(gòu)參數(shù)可滿足大部分仿真工況。

  Mooney?Rivlin是一個比較經(jīng)典的橡膠本構(gòu)模型，使用它幾乎可以模擬所有橡膠材料的力學(xué)行為，其適用于中、小變形，一般可應(yīng)用于應(yīng)變約為100%(拉)和30%（壓）的情況。在仿真分析中使用較簡單、應(yīng)用最廣泛、精度可接受的應(yīng)變能密度函數(shù)首選Mooney?Rivlin模型，其是可表達(dá)接近不可壓縮天然橡膠應(yīng)力應(yīng)變特性的較合理的橡膠本構(gòu)模型。

二、理論分析

橡膠的剪切模量和彈性模量主要取決于其邵氏硬度，根據(jù)彈性理論：

由式（1）和（2），令彈性模量相等可得：

由于橡膠的容積彈性模數(shù)K≈2720N/mm²，剪切模量G≤2.4N/mm²,代入可得其泊松比典型值為0.4996，與0.5十分接近，本構(gòu)模型參數(shù)確定時可將泊松比視為0.5。因此橡膠材料的彈性模量和剪切模量有如下關(guān)系：

Mooney?Rivlin模型的表達(dá)式為：

該模型可很好的描述變形小于150%的橡膠材料力學(xué)性能，完全能夠滿足橡膠實際應(yīng)用的性能計算。

對于不可壓縮橡膠材料，小應(yīng)變時，其剪切模量與材料系數(shù)的關(guān)系如下：

代入式（4）可得：

因此，在知曉G和E的前提下，僅需確定C2/C1即可得到Mooney?Rivlin模型的本構(gòu)參數(shù)，G和E可通過相關(guān)實驗的經(jīng)驗公式結(jié)果獲取，問題轉(zhuǎn)化為確定C2/C1的值。

根據(jù)相關(guān)實驗結(jié)果數(shù)據(jù)，橡膠材料的彈性模量E或剪切模量G與其邵氏硬度HS之間有如下幾個經(jīng)驗關(guān)系式：

將式（6）或（7）與經(jīng)驗公式結(jié)合即可計算不同硬度下的Mooney?Rivlin模型的本構(gòu)參數(shù)如表1（基于經(jīng)驗公式（8））、表2（基于經(jīng)驗公式（9））和表3（基于經(jīng)驗公式（10））所示。

經(jīng)過表（1）、（2）、（3）中的數(shù)據(jù)比對，各表中的數(shù)據(jù)稍有差別，這是因為實驗條件、實驗材料之間的差異，其中表（2）中參數(shù)值偏低，表（3）中參數(shù)值偏高，因此選定表（1），基于經(jīng)驗公式（8）來仿真確定C2/C1的值，以此進(jìn)一步獲得C1和C2具體參數(shù)值。

三、仿真分析

  單軸壓縮實驗是材料力學(xué)性能測試的基礎(chǔ)性試驗，在材料科學(xué)和工程領(lǐng)域中具有重要的地位和作用，在材料領(lǐng)域，其可以提供材料在受壓條件下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，從而幫助了解材料的彈性模量、屈服強(qiáng)度、極限強(qiáng)度等力學(xué)性能，這些參數(shù)對于材料的設(shè)計、選擇和應(yīng)用具有重要意義；在工程領(lǐng)域，其可以評估材料的承載能力、變形特性以及在不同環(huán)境條件下的穩(wěn)定性，從而確保工程結(jié)構(gòu)的安全可靠。

  本文采用LS-DYNA中的隱式算法對橡膠材料進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)壓縮仿真研究，以進(jìn)一步確定較優(yōu)的Mooney?Rivlin模型的材料系數(shù)。橡膠試件尺寸按照美國測試與材料協(xié)會頒發(fā)的橡膠壓縮性能的標(biāo)準(zhǔn)試驗方法中設(shè)置^[1]，圓柱狀測試樣件直徑設(shè)為28.6mm，厚度設(shè)為12.5mm，載荷加載速率設(shè)置為12mm/min。

  具體的仿真設(shè)置可參見付費(fèi)文件，文件包含DYNA隱式準(zhǔn)靜態(tài)壓縮的K文件、參考文獻(xiàn)PDF及本文內(nèi)容文檔。

 本例采用表1中Mooney?Rivlin模型的材料系數(shù)進(jìn)行了硬度為50和70， C2/C1 分別為0.05、0.25和0.5時的硅橡膠壓縮仿真，所得到的等效應(yīng)力云圖和最大主應(yīng)變云圖如圖1和圖2。

圖1 等效應(yīng)力云圖

圖2 最大主應(yīng)變云圖

  提取仿真結(jié)果中的載荷和變形曲線，如圖3所示，無論橡膠硬度50還是70，在變形低于1.5mm時，三組系數(shù)的計算結(jié)果幾乎無差異；變形較大時，所進(jìn)行的三組MR系數(shù)中均是 C2/C1  為0.25時在其余兩組曲線中間，因此選定比值為0.25作為MR系數(shù)的計算參考是較為合適的參數(shù)，可盡可能減小誤差，適用于大多數(shù)橡膠材料的仿真計算。

圖3 單軸壓縮載荷隨材料變形的變化曲線

聲明：本文僅根據(jù)理論推導(dǎo)、半經(jīng)驗公式及仿真分析進(jìn)行了Mooney?Rivlin模型本構(gòu)參數(shù)的確定，有條件應(yīng)根據(jù)實際實驗具體確定經(jīng)驗公式及比值，但可參照本文的仿真計算方法開展參數(shù)對比確定。

參考文獻(xiàn)：

[1]American Society for Testing and Materials. (2001). Standard Test Methods for Rubber Properties in Compression (D 575 – 91). West Conshohocken, PA: ASTM.