摘要：基于車輛-軌道耦合動力學及齒輪傳動系統動力學理論，建立完整的考慮齒輪齒條動態嚙合激勵的齒軌車輛-軌道耦合動力學理論模型。提出了基于勢能原理的齒輪齒條嚙合剛度計算方法，并與 Simpack 自帶的 225 號力元以及有限元法計算結果進行對比分析，表明提出的方法具有良好的精度與效率。基于該動力學模型，分析了軌道隨機不平順激擾下齒輪齒條動態嚙合力、齒輪角加速度、輪軌垂向力、車體加速度等動態響應特性，探究了齒條基體撓度變形對齒軌動態響應的影響，揭示了線路坡度以及行車速度對齒軌車輛動力學性能的影響規律。研究結果表明，提出的解析法和有限元法均能反映齒條基體撓度變形對齒軌動態響應低頻特性的影響；齒輪齒條嚙合力、齒輪角加速度等齒軌嚙合動態響應隨線路坡度和行車速度的增加而增加；輪軌垂向力和橫向力均方根值隨運行速度的增加而增加；在分析的10～35 km/h 速度范圍內，各輪對脫軌系數均小于 0.8(允許限值)，車體垂向和橫向平穩性指標均小于 2.5(優)，滿足相關標準對行車安全性與平穩性指標的要求。

關鍵詞：齒軌列車；齒輪齒條傳動；動力學分析；時變嚙合剛度；軸重轉移

0 前言

山地齒軌鐵路是一種地形適應能力較強的軌道交通制式。與普通依靠輪軌黏著產生牽引力的鐵路相比，山地齒軌鐵路能夠適應山區大坡度的地形特點和交通需求。這是由于齒軌鐵路增加了齒輪齒條驅動裝置，在鐵路軌道中間增加齒條軌道，在列車轉向架上裝有齒輪傳動裝置，具有更大的牽引能力。通過齒輪齒條嚙合補充輪軌驅動力的不足或直接使用齒輪齒條嚙合力替代輪軌黏著力牽引列車行駛，使得齒軌列車能在坡度超過 200‰的大坡道線路上運行并保證行駛可靠性與安全性。齒軌鐵路在國外已經成功運行多年，已建成的齒軌線路達 180 條，總里程超 3 000 km，分布于美國、瑞士、法國、日本和澳大利亞等國家[1]。1871 年開通的瑞士瑞吉山鐵路是歐洲的第一條齒軌鐵路。經過一百多年的發展，齒軌鐵路已經衍生出多種齒軌形式，應用較為廣泛的包括 Riggenbach、Marsh、Abt、Strub 及 Locher等幾種形式。

齒軌鐵路憑借其出色的爬坡能力使其成為我國山地旅游交通新的出行方式之一，具有良好的工程應用前景。目前，國內都江堰、張家界和九寨溝等地也在積極規劃修建用于景區旅游觀光的齒軌鐵路，如都江堰至四姑娘山旅游扶貧線、張家界七星山齒軌項目等[2]，齒軌相關的行業標準也已正式發布。針對齒軌鐵路交通，部分學者進行了前期研究和分析，例如，牛悅丞等[3]介紹了齒軌鐵路關鍵技術，總結了常見齒軌車輛及軌道的特點，分析了未來國內齒軌車輛的發展方向；尚勤等[4]分析了不同齒軌系統的特點及適用條件，通過對齒軌車輛新技術的分析，提出了齒軌車輛的發展趨勢；潘相楠等[5]介紹了國內外齒軌鐵路發展現狀，分析了不同齒軌制式的特點及適用情況；CHEN 等[6]建立了考慮齒輪齒條非線性接觸和輪軌非線性的齒軌空間模型，探究了牽引電機布置模式對齒軌動態特性的影響。

齒輪齒條傳動是齒軌鐵路與普通鐵路最顯著的區別，也是齒軌列車實現大坡道線路運行的關鍵裝置。針對齒輪齒條傳動系統，已開展了較多的研究工作。例如，馮定等[7]以齒輪齒條鉆機平臺為對象，建立了大模數齒輪齒條嚙合有限元模型，研究了接觸應力和應變分布情況；黃鴻鑫等[8]以大型機床刀架進給裝置中的齒輪齒條裝置為研究對象，對軸向調隙后變厚齒輪齒條的靜態傳遞誤差、接觸應力、接觸力等進行了有限元分析；王明旭等[9]利用ABAQUS 對大模數漸開線直齒齒輪齒條進行了靜力學與動力學強度分析，研究了齒輪齒條的非線性接觸問題。時變嚙合剛度是齒輪傳動系統動力學的重要參數，也是系統內部一種主要的激勵源，對系統振動噪聲水平有著明顯的影響。目前，關于齒輪傳動時變嚙合剛度的準確計算，已有大量學者已開展和正在開展相關研究工作。例如，YANG 等[10]通過勢能原理計算了齒輪時變嚙合剛度，SAINSOT等[11]提出了一種考慮實際輪體結構的齒輪基體剛度修正模型。基于 SAINSOT 建立的齒輪基體修正模型，CHEN 等[12-14]和 CHAARI 等[15]考慮齒輪輪齒及輪體彈性變形，獲得了正常齒輪和具有裂紋故障齒輪的時變嚙合剛度。萬志國等[16]對時變嚙合剛度算法進行了優化修正，開展了齒輪齒根裂紋故障的動力學分析。CHEN 等[17-18]充分考慮輪齒誤差以及輪體變形的影響，提出了輪齒誤差以及齒間耦合效應影響下的齒輪時變嚙合剛度計算方法，構建了考慮齒間耦合效應的齒輪動力學仿真分析模型，揭示了齒間耦合效應對齒輪傳動動態響應的影響規律。

目前，山地齒軌鐵路的研究在我國尚處于起步階段，雖然國內多地規劃了齒軌線路，但至今還沒有一條線路建成投入使用，當前針對齒軌的研究也多停留在齒軌不同制式適用性、可行性等方面的調研分析上，鮮有針對齒軌系統動力學特性開展相關研究的報道。本文以山地齒軌交通車輛及軌道系統為研究對象，詳細考慮了齒輪齒條嚙合動態激勵，建立了齒軌車-軌耦合系統多體動力學模型，開展了齒軌車輛牽引爬坡條件下的動力學仿真分析，研究了坡道及行車速度等參數對齒軌嚙合動態特性、車輛運行安全性指標和平穩性指標的影響規律，為齒軌車輛動力學參數設計、齒軌結構參數設計、運營速度的合理確定等提供理論依據。

1 齒軌車輛-軌道耦合動力學模型

為研究齒軌車輛-軌道耦合系統動力學特性，本文基于車輛-軌道耦合動力學及齒輪系統動力學理論，建立了考慮齒輪齒條傳動系統動態特性的齒軌車輛-軌道耦合動力學模型，如圖 1 所示。該模型包括車體(Mc、Ic)、構架(Mt、It)、輪對(Mw、Iw)、齒輪(Mg、Ig)和齒條等主要部件，車體、轉向架構架、輪對等假設為剛體，具有 6 個方向的自由度；車體與轉向架通過二系懸掛連接(Ks、Cs)，構架與輪對通過一系懸掛連接(Kp、Cp)，一系、二系懸掛由等效線性剛度和阻尼力元模擬，且對稱布置于構架兩側；齒輪齒條嚙合通過嚙合剛度和阻尼等效(k、c)；齒條位于兩條鋼軌中間，通過彈簧阻尼支撐(Kc、Cc)；忽略齒輪支撐剛度，齒輪與車軸鉸接。

1.1 基于 SIMPACK 的齒軌系統動力學建模

SIMPACK 是鐵路領域廣泛應用的動力學專業軟件，本文也采用 SIMPACK 軟件進行多體動力學建模，建立的齒軌車輛-軌道耦合動力學模型如圖 2所示(為顯示清晰，圖中僅顯示了單個轉向架)。建立正確的齒輪齒條嚙合是齒軌動力學模型的關鍵，齒輪齒條嚙合傳動在 SIMPACK 中主要有兩種實現方式，一種是直接使用軟件集成的齒輪力元(225 號力元)模擬嚙合過程，另一種是用戶通過函數表達式、輸入函數和移動 Marker 點等方式定義齒輪嚙合力元，利用動態傳遞誤差求解嚙合力并通過 51 號力元輸出[19]。

SIMPACK 軟件包中自帶的 225：Gear Pair 齒輪力元能夠對齒輪嚙合副的剛度、阻尼、摩擦等進行詳細建模，同時能通過參數化建模和自定義輪廓實現齒輪修型，但對齒條支撐方式及齒條分段情況模擬有一定難度。而使用移動 Marker 點定義嚙合力元的方式中剛度曲線可以采用有限元法或解析法求出，可以更準確考慮齒條支撐方式、齒條基體變形等因素對嚙合剛度的影響。

1.2 齒輪齒條時變嚙合剛度計算

時變嚙合剛度是齒輪傳動系統中重要的內部激勵之一，剛度值隨嚙合齒對數的變化而呈周期性波動。嚙合剛度的計算可以采用解析法和有限元法，另外，SIMPACK 中自帶的 225 號力元也能求解嚙合剛度。齒條在軌道上的安裝方式如圖 3 所示。

1.2.1 基于勢能原理的齒輪齒條嚙合剛度計算方法

齒輪齒條時變嚙合剛度可分解為齒輪剛度和齒條剛度。齒輪剛度可以分解為彎曲剛度 kb、剪切剛度 ks、軸向壓縮剛度 ka、齒基剛度 kf，由材料力學中應變能公式可得[12-14]

式中，F 為嚙合力，Ub 為輪齒彎曲勢能，Us 為輪齒剪切勢能，Ua 為壓縮勢能，Uf 為齒基變形勢能。所以儲存在齒輪中總的勢能為

所以齒輪單齒剛度 kc可表示為

與齒輪剛度類似，齒條剛度也可分解為彎曲剛度 kw、剪切剛度 kj、軸向壓縮剛度 ky、齒條基體剛度 kt，所以齒條單齒剛度 kr可表示為

式中，kt 主要通過齒條撓度變形和壓縮變形求得，利用撓度疊加進行求解，齒條受力如圖 4 所示。

當嚙合力延長線與齒條基體中心線交點在基體外時，嚙合位置處 x、y 方向的位移分別為

式中，E 為彈性模量，A 為齒條基體橫截面積，l 為齒條長度，M 為嚙合力等效到齒條左端的轉矩。當交點在齒條基體內時，嚙合位置處 x、y 方向的位移分別為

所以，根據疊加原理，齒條基體剛度可以表示為

式中，β 為壓力角，x、y 分別為齒條基體的軸向和垂向壓縮變形。當嚙合力延長線與齒條基體中心線交點在基體外時 x 等于 x1、y 等于 y1，當嚙合力延長線與齒條基體中心線交點在基體內時 x 等于 x2、y等于 y2。對于齒輪齒條嚙合，重合度 2<ε<3，嚙合剛度可表示為

式中，kh 為齒輪齒條赫茲接觸剛度，i=1 表示第一對齒嚙合剛度，i=2 表示第二對齒嚙合剛度，i=3 表示第三對齒嚙合剛度。

1.2.2 基于 SIMPACK 中 225 號力元的齒輪齒條嚙合剛度計算

225 號力元是 SIMPACK 中處理齒輪副接觸的專用力元，根據輸入的齒輪參數，按照標準 DIN3990-1—1987 求解齒輪嚙合剛度，能夠對直齒、斜齒、錐齒及齒輪齒條進行建模仿真，同時詳細考慮齒輪副的變位系數、摩檫系數以及齒面修型的影響。

1.2.3 基于有限元法的齒輪齒條嚙合剛度計算

利用有限元分析軟件 ABAQUS 中建立齒輪齒條有限元模型，有限元建模及靜力學分析方法參考文獻[20]中的分析方法進行，通過提取模型的應變能，利用應變能公式得到嚙合剛度。模型采用C3D8R 六面體網格，根據齒軌列車齒輪齒條傳遞的載荷大小，分別在齒輪齒條各嚙合位置上沿嚙合線方向施加大小為 5 kN 的載荷，建立的有限元模型如 圖 5、6 所示。

2 齒軌車輛-軌道系統動力學特性分析

本節基于某型山地齒軌車輛設計參數(表 1、2)，基于前一節建立的齒軌車輛-軌道耦合系統動力學模型，開展系統動力學特性研究。在本文研究中，考慮了鋼軌隨機不平順的影響，施加波長范圍為 0.5～50 m 的美國五級譜，而齒條軌道的不平順未詳細建模，僅考慮了齒條在載荷作用下的撓度變形。

本文研究的齒軌系統的動力學性能主要包括齒軌嚙合系統動態特性(嚙合力、齒輪角加速度)、運行安全性(輪軌力、脫軌系數)、乘坐舒適性(車體振動加速度、平穩性指標)等三方面的指標參數。根據國家標準 GB/T 5599—2019[21]規定，針對客車和動車組，在曲線半徑大于 400 m 的工況中，為防止脫軌，脫軌系數應滿足

式中，Q 為某時刻作用于車輪上的橫向力，P 為某時刻作用于車輪上的垂向力。

列車平穩性指標計算公式為[21]

式中，W 為平穩性指標，A 為振動加速度(g)，f 為振動頻率，F(f)為頻率修正函數。軌道客車平穩性評定等級如表 3 所示[21]。

同時，為了反映系統動態性能，本文也采用均方根(RMS)來評估動態波動的劇烈程度，其計算式為[22]

式中，N 為信號長度， x 為信號均值。

2.1 齒條基體撓度變形對齒軌動態響應的影響

本節利用 225 號力元、解析法和有限元法進行齒輪齒條嚙合剛度求解，并將得到的剛度曲線通過移動 Marker 點輸入耦合模型中，對比三種嚙合建模方式對齒軌動態響應的影響，同時探究齒條基體撓度變形的影響。計算工況中線路坡度設置為 100‰，齒軌車以 30 km/h 的速度勻速行駛。

得到的齒輪齒條時變嚙合剛度曲線如圖 7 所示，從圖中可以看出解析法和有限元法求解的剛度曲線除了嚙合齒數變化引起的雙齒與三齒交替波動外還有明顯的由于離散支撐齒條撓度變形引起的嚙合剛度周期性低頻波動，而 225 號力元計算獲得的嚙合剛度僅能反映嚙合齒數的變化，難以反映齒條撓度的影響。

采用本文建立的耦合動力學模型仿真計算獲得不同齒條剛度下的動態嚙合力時域曲線如圖 8a 所示。通過數據統計，利用 225 號力元時所得嚙合力最大值為 19.78 kN，最小值為 6.41 kN，均值為11.51 kN，方均根值為 1.76 kN；利用解析法時所得嚙合力最大值為 20.41 kN，最小值為 6.27 kN，均值為 11.49 kN，方均根值為 1.79 kN；利用有限元法所得嚙合力最大值為 18.11 kN，最小值為 6.46 kN，均值為 11.50 kN，方均根值為 1.65 kN。由此可見，三種建模方式對嚙合力時域統計值影響較小。

圖 8b 為齒輪齒條動態嚙合力頻譜曲線，由圖可知，利用 225 號力元進行齒輪齒條嚙合建模時嚙合力頻譜主要為 83.2 Hz 的嚙合頻率及其諧波成分，對應的基波幅值為 1 249 N；利用解析法進行嚙合建模時嚙合力頻譜主要包括幅值為180 N的齒條通過頻率(13.8 Hz)和幅值為 1 437 N 的齒輪齒條嚙合頻率(83.2Hz)；利用有限元進行嚙合建模時嚙合力主要頻率為齒條支撐通過頻率 13.8 Hz 和齒輪齒條嚙合頻率83.3 Hz 及其倍頻成分，對應的基頻幅值分別為 87 N 和 1 094 N。由于有限元法和解析法考慮了齒條撓度變形，所以頻譜中出現了齒條支撐通過頻率，而且在嚙合頻率及其倍頻成分兩側還出現了以13.8 Hz 為間隔的邊頻帶，該頻率為齒條支撐通過頻率(間隔 0.6 m)，表明齒輪齒條嚙合力被齒條通過頻率對應的信號所調制。

齒輪角加速度時域和頻域響應曲線如圖 9 所示，其中圖 9a 為時域響應結果，圖 9b 為頻域響應結果。在時域上，三種方法求解的齒輪角加速度差異不大；在頻域上，有限元法和解析法的響應結果中都出現了大小為 13.8 Hz 的齒條支撐通過頻率，而且在嚙合頻率及其倍頻兩側還出現了以 13.8 Hz為間隔的邊頻帶，表明齒輪角加速度被齒條支撐通過頻率所調制。

齒輪齒條嚙合對輪對垂向和橫向振動加速度差異較小，但對縱向振動有明顯影響，如圖 10 所示，其中圖 10a 為時域響應結果，圖 10b 為頻域響應結果。在時域響應上，225 號力元求解時輪對縱向加速度較大，加速度最大值為 2.37 m/s2，方均根值為0.55 m/s2；解析法求解時縱向加速度最大值為2.038 m/s2，方均根值為 0.58 m/s2；有限元法求解時加速度最大值為 1.95 m/s2，方均根值為 0.52 m/s2。在頻域響應上，有限元法和解析法對應的振動加速度低頻幅值明顯增加，出現了頻率為 13.8 Hz 的齒條支撐通過頻率。

對比三種齒輪齒條嚙合建模下的齒軌動態響應，在時域上，嚙合力、齒輪角加速度和輪對縱向振動加速度等動態響應差異較小；在頻域上，響應的低頻特性差異較大，解析法和有限元法都出現大小為 13.8 Hz 的齒條支撐通過頻率，并且嚙合頻率都被齒條支撐通過頻率對應的信號所調制，而 225號力元求解時該頻率成分不明顯，其原因在于解析法和有限元法求解嚙合剛度時能反映齒條支撐及撓度變形對結果的影響，而 225 號力元在求解剛度時難以考慮齒條在多點支撐下的撓度變形。

2.2 齒軌車輛爬坡運行動態響應特性分析

齒軌車輛在爬坡線路上運行時依靠齒輪齒條進行驅動，本節研究線路坡度及運行速度對齒軌動態響應的影響。

2.2.1 線路坡度對齒軌動態響應的影響

計算工況中，齒軌車以 20 km/h 速度勻速運行，線路坡度分為 50‰、100‰、150‰、200‰、250‰，研究在不同坡度下齒軌車的動態響應。根據仿真計算結果，線路坡度對齒軌車體加速度等響應的影響不明顯，所以本小節重點研究齒軌嚙合系統在坡度變化下的響應特性。

圖 11 為不同坡度下齒輪角加速度方均根統計結果，從圖中可以看出，齒輪角加速度隨著線路坡度的增加而增加，線路坡度由 50‰增加到 250‰時，齒輪角加速度由 1.30 rad/s2增加為 4.68 rad/s2，約為3.6 倍。

圖 12 為不同坡度下齒輪齒條嚙合力統計值，其中圖 12a 為嚙合力均值，圖 12b 為嚙合力方均根值。可以看出，線路坡度對齒輪齒條嚙合力影響明顯，隨著線路坡度的增加，嚙合力均值和方均根值分別由 5.99 kN、1.02 kN 增加到 27.07 kN、4.40 kN。

坡度變化對輪軌垂向力方均根值影響較小，但對均值有明顯影響，圖 13 為不同線路坡度下輪軌垂向力均值統計結果，從圖中可以看出，輪軌垂向力均值隨線路坡度的增加而減小，并且 1、3 位輪對輪軌垂向力的減小量大于 2、4 位輪對。隨著線路坡度的增加，輪軌垂向力差值也增加，說明齒軌在坡道行駛時存在軸重轉移并且坡度越大軸重轉移越明顯。當坡度為 50‰時，1、2 位輪軌垂向力差值為1.52 kN，與靜軸重的比值約為 2.9%，3、4 位輪軌垂向力差值為 1.57 kN，與靜軸重的比值約為 3.0%；坡度為 250‰時，1、2 位輪軌垂向力差值為 6.22 kN，與靜軸重的比值約為 11.8%，3、4 位輪軌垂向力差值為 6.46 kN，與靜軸重的比值約為 12.2%。

2.2.2 運行速度對齒軌動態響應的影響

該工況下，齒軌車分別以 10 km/h、15 km/h、20 km/h、25 km/h、30 km/h 和 35 km/h 的速度勻速運行，線路坡度為 100‰，以研究在爬坡線路中不同速度下齒軌車的動態響應。

圖 14 為不同運行速度下車體加速度均方根統計，對比可以看出，車體加速度隨運行速度的增加而增加，當運行速度由 10 km/h 增加到 35 km/h 時，車體垂向加速度由 0.018 m/s2增加到 0.082 m/s2，車體橫向加速度由 0.011 m/s2增加到 0.063 m/s2，車體縱向加速度由 0.028 m/s2增加到 0.088 m/s2。

圖 15 為不同運行速度下齒軌車輛運行平穩性指標計算結果，從圖中可以看出，垂向和橫向平穩性指標隨運行速度的增加而增加。當車輛運行速度由 10 km/h 增加到 35 km/h 時，垂向平穩性指標由0.91 增加到 1.50，橫向平穩性由 0.85 增加到 1.45。根據 GB/T 5599—2019[21]中的相關限值，平穩性指標滿足 1 級(優)標準。

圖 16 為運行速度為 35 km/h 時 1、2 為輪對脫軌系數，可以看出 1 位輪對脫軌系數大于 2 位輪對脫軌系數。圖 17 為齒軌在不同運行速度下各輪對脫軌系數的最大值，可以看出 1、3 位輪對脫軌系數大于 2、4 位輪對脫軌系數。根據 GB/T 5599—2019[21]中的相關規定，脫軌系數須小于 0.8，在計算的所有速度工況中，脫軌系數均滿足這一限值要求。

圖 18 為不同運行速度下齒軌各輪對輪軌橫向力均方根值統計結果，從圖中可以看出，2、4 位輪對輪軌橫向力隨運行速度的增加而增加。當運行速度由 10 km/h 增加到 35 km/h 時，2 位輪軌橫向力均方根由 2.03 kN 增加到 2.34 kN，4 位輪軌橫向力均方根值由 2.04 kN 增加到 2.35 kN。

圖 19 為不同速度下齒輪角加速度方均根統計結果，從圖中可以看出齒輪角加速度隨著行車速度的增加而增加，當速度由 10 km/h 增加到 35 km/h時，角加速度均方根由 1.22 rad/s2增加為 2.24 rad/s2，約為 1.8 倍。

圖 20 為不同行車速度下齒輪齒條嚙合力統計值結果，其中圖 20a 為嚙合力均值，圖 20b 為嚙合力均方根值。從圖中可以看出，運行速度對齒輪齒條嚙合力影響規律明顯，隨著運行速度的增加，嚙合力均值和方均根分別由 11.36 kN、1.07 kN 增加到11.54 kN、1.95 kN。

3 結論

本文針對某 Strub 型山地齒軌車輛，基于軌道車輛動力學及齒輪系統動力學理論，建立了齒軌車輛-軌道耦合系統動力學模型，提出了基于勢能原理的齒輪齒條嚙合剛度解析計算方法。基于該模型，研究了齒軌車輛牽引爬坡運行時的動態響應，對比了齒條撓度變形對齒軌系統動態響應的影響，揭示了線路坡度及運行速度對齒軌車輛動力學特性的影響規律。

(1) 提出的基于勢能原理的齒輪齒條嚙合剛度解析計算方法能準確反映齒條支撐及撓度變形對嚙合剛度的影響，與有限元法計算的結果吻合良好，驗證了所提方法的正確性。

(2) 齒條基體變形對齒軌系統動態響應的低頻振動影響明顯，在頻域上明顯觀察到了大小為13.8 Hz 的齒條支撐通過頻率及其在嚙合頻率及倍頻成分兩側形成的邊頻帶。

(3) 齒軌動態嚙合力、齒輪角加速度等動態嚙合響應結果隨線路坡度和運行速度的增加而增加，在分析的 10 km/h 至 35 km/h 速度范圍內，齒軌車輛的脫軌系數和平穩性指標都滿足相關限值要求。

(4) 在爬坡線路工況下齒軌車輛出現了軸重轉移，并且隨著線路坡度的增加，隨著坡度由 50‰增加到 250‰，1、2 位輪軌垂向力差值與靜軸重的比值由 2.9%增加至 11.8%，而 3、4 位輪軌垂向力差值與靜軸重的比值由 3.0%增加至 12.2%。

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文章來源：機械工程學報